Тригонометрия помогает алгебре

68

Тригонометрия
помогает алгебре

П. И. ГОРНШТЕЙН

Часто при решении алгебраических задач бывают удобно заменить переменную (или переменные, если их несколько) тригонометрической функцией и свести тем самым алгебраическую задачу к тригонометрической. Такие замены — тригонометрические подстановки — порой существенно упрощают решение. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, системы уравнения или алгебраического выражения, которое требуется упрощить. Например, если из условия следует, что допустимые значения переменной $x$ определяются неравенством $|x| \leq 1$, то удобны замены $x=\sin \alpha$, $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, или $x=\cos \alpha$, $\alpha \in [0; \pi]$, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.

В случае, когда переменная может принимать любые значения, используются замены $x=\mathrm{tg} \alpha$, $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ и $x=\mathrm{ctg} \alpha$, $\alpha \in (0; \pi)$.

Разберем несколько примеров.

Задание 1 (ЛПИ, 1976). Решите уравнение

$$\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x.$$

Решение. В данном случае $|x| \leq 1$. Положив $x=\cos \alpha$, $\alpha \in [0; \pi]$, приходим к уравнению $$\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha$$ или $|\sin \alpha|=\cos 3\alpha$, но в нашем случае $\sin \alpha \geq 0$, так что $\sin \alpha=\cos 3\alpha$, или

$$\cos 3\alpha-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=0.$$

Решая последнее уравнение, получим

$$\alpha=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z$$

69

или

$$\alpha = \frac{3}{4} \pi + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}.$$

Условию $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$ удовлетворяют три значения

$$\alpha_1 = \frac{\pi}{8}, \ \alpha_2 = \frac{5\pi}{8} \text{ и } \alpha_3 = \frac{3\pi}{4},$$

поятому

$$x_1 = \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}} =$$

$$= \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}};$$

$$x_2 = \cos \frac{5\pi}{8} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{5\pi}{4}}{2}} =$$

$$= -\sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = -\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}};$$

$$x_3 = \cos \frac{3\pi}{4} = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $\left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}; \right.$

$\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Рассмотрим несколько более сложную задачу.

Задача 2 (ЛПИ, 1976). Решите уравнение

$$\sqrt{1 - x} = 2x^2 - 1 + 2x\sqrt{1 - x^2}.$$

Решение. И в этом уравнения $|x| \leqslant 1$. Пусть, как и в предыдущем примере, $x = \cos \alpha$, где $\alpha \in [0; \pi]$. Выполнить подстановку и учитывая, что $\sin \frac{\alpha}{2} \geqslant 0$, $\sin \alpha \geqslant 0$, получим уравнение

$$\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} = \cos 2\alpha + \sin 2\alpha,$$

которое преобразуется к виду

$$\sin \left( \frac{3\alpha}{4} + \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{5\alpha}{4} + \frac{\pi}{8} \right) = 0,$$

откуда либо $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$, либо $\alpha = \frac{3\pi}{10} + \frac{4\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Из полученных значений $\alpha$ в промежутке (0; $\pi$) лежит лишь одно $\alpha = \frac{3\pi}{10}$. Итак, $x = \cos \frac{3\pi}{10}$.

Ответ можно оставить в трионометрической форме, но можно выразить и в радикалах, используя формулу $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$, которая выводится из очередного равенства: $\sin 36^\circ = \cos 54^\circ$.

Ответ: $\left\{ \cos \frac{3\pi}{10} = \frac{1}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \right\}$.

Еще более сложная ситuation возникает в следующей задаче.

Задача 3 (МГУ, биологический факультет, 1985). Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение

$$8x(1 - 2x^2)(8x^4 - 8x^2 + 1) = 1?$$

Решение. Это уравнение седьмой степени, так что попытки решить его алгебраических методами заведено безнадежны. Однако наличие множителей $1 - 2x^2$ наводит на мысль сделать трионометрискую подстановку $x = \cos \varphi$, $\varphi \in (0; \pi/2)$ (очевидно, что $x \neq 0$, $x \neq 1$).

Заменяя в левой части данного уравнения $x$ на $\cos \varphi$, получим

$$8 \cos \varphi(1 - 2 \cos^2 \varphi) \times$$

$$\times (8 \cos^4 \varphi - 8 \cos^2 \varphi + 1) =$$

$$= 8 \cos \varphi(-\cos 2\varphi) \times$$

$$\times (8 \cos^2 \varphi(\cos^2 \varphi - 1) + 1) =$$

$$= -8 \cos \varphi \cos 2\varphi(-2 \sin^2 2\varphi + 1),$$

откуда

$$-8 \cos \varphi \cos 2\varphi \cos 4\varphi = 1.$$

Умножим теперь обе части (*) на $\sin \varphi(\varphi \neq 0!)$:

$$-8 \sin \varphi \cos \varphi \cos 2\varphi \cos 4\varphi = \sin \varphi,$$

или

$$-\sin 8\varphi = \sin \varphi,$$

$$\sin 8\varphi + \sin \varphi = 0,$$

$$2 \sin \frac{9}{2} \varphi \cdot \cos \frac{7}{2} \varphi = 0,$$

откуда либо $\varphi = \frac{2}{9} \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, либо $\varphi = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}$, $n \in \mathbb{Z}$. Из первой серии промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$ принадлежат два

70

значения: $\varphi_1 = \frac{2\pi}{9}, \varphi_2 = \frac{4\pi}{9}$, во второй серии таких значений тоже два: $\varphi_3 = \frac{\pi}{7}, \varphi_4 = \frac{3\pi}{7}$.

Ответ: исходное уравнение имеет на промежутке [0; 1]ровно четыре корня.

Приведем еще один пример с довольно неожиданной заменой переменной вида $x = \text{tg} \alpha, \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.

Задача 4 (Олимпида ГДР, 1980 г.). Определите все трики действительных чисел $(x, y, z)$, которые удовлетворяют системе
$$\begin{cases} 2x + x^2y = y, \\ 2y + y^2z = z, \\ 2z + z^2x = x. \end{cases}$$
Решение. Легко убедиться, что система
$$\begin{cases} y = \frac{2x}{1-x^2}, \\ z = \frac{2y}{1-y^2}, \\ x = \frac{2z}{1-z^2} \end{cases}$$ (*)
равно с использованием исходной.

Нам известна формула $tg 2\alpha = \frac{2tg \alpha}{1-tg^2 \alpha}$. Это наводит на мысль выполнить трионометрическую подстановку $x = \text{tg} \alpha$, где $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, $\alpha \neq -\frac{\pi}{4}$, $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$.

Из системы (*) получаем $x = \text{tg} \alpha$, $y = \text{tg} 2\alpha$, $z = \text{tg} 4\alpha$, $x = \text{tg} 8\alpha$.

Итак, $tg 8\alpha = \text{tg} \alpha$, $tg 8\alpha - \text{tg} \alpha = 0$, $\frac{\sin 7\alpha}{\cos 8\alpha \cos \alpha} = 0$, $\sin 7\alpha = 0$, $\alpha = \frac{\pi n}{7}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Определение суммы цифр числа на ЭВМ
(Начало см. на c. 66)

Темы вычислительных экспериментов

Поставить на компьютер описанные выше алгоритмы вычисления суммы цифр числа $n$, суммы цифр всех чисел от 1 до $n$ методом приного сложения и методом вычисления по формулам $fk(n)$. Испытать их для цифр страниц школьных учебников. Определить в каждом случае $x = \text{tg}\left(\frac{\pi n}{7}\right), y = \text{tg}\left(\frac{2\pi n}{7}\right), z = \text{tg}\left(\frac{4\pi n}{7}\right)$.

Проверка показывает, что при $n \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$ полученные 7 наборов чисел различны и действительно удовлетворяют исходной системе.

Разумеется, все ранее рассмотренные примеры весы искусственных и как бы специально подобраны для абитриентов и участников лимпид.

В заключение рекомендуем вам самостоятельное решить следующие упражнения.

Уражнение

1. (ЛПИ, 1976). Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{1-|x|}{2}} = 2x^2 - 1.$$
2. Решите уравнение
   $$\left(\frac{1+a^2}{2a}\right)^x - \left(\frac{1-a^2}{2a}\right)^x = 1.$$
3. (МГУ, экономический факультет, 1981). Найдите все решения уравнения
   $$|2x - \sqrt{1-4x^2}| = \sqrt{2}(8x^2 - 1).$$
4. (Ленинградская олимпида, 1985). Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 4xy(2x^2 - 1) = 1, \\ x^2 + y^2 = 1. \end{cases}$$
5. (МГУ, биологический факультет, 1985). Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение
   $$8x(2x^2 - 1)(8x^4 - 8x^2 + 1) = 1?$$
6. (МГУ, экономический факультет, 1985). Среди всех решений $(x, y, z, v)$ системы
   $$x^2 + y^2 = 4, \quad z^2 + v^2 = 9, \quad xv + yz \geq 6$$
   найдите такие, при которых выражение $x + z$ принимает наиболее значение.

Определение суммы цифр числа на ЭВМ
(Начало см. на c. 66)

Темы вычислительных экспериментов

Поставить на компьютер описанные выше алгоритмы вычисления суммы цифр числа $n$, суммы цифр всех чисел от 1 до $n$ методом приного сложения и методом вычисления по формулам $fk(n)$. Испытать их для цифр страниц школьных учебников. Определить в каждом случае $x = \text{tg}\left(\frac{\pi n}{7}\right), y = \text{tg}\left(\frac{2\pi n}{7}\right), z = \text{tg}\left(\frac{4\pi n}{7}\right)$.

Проверка показывает, что при $n \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$ полученные 7 наборов чисел различаны и действительно удовлетворяют исходной системе.

Разумеется, все ранее рассмотренные примеры весы искусственных и как бы специально подобраны для абитриентов и участников лимпид.

В заключение рекомендуем вам самостоятельное решить следующие упражнения.

Уражнение

1. (ЛПИ, 1976). Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{1-|x|}{2}} = 2x^2 - 1.$$
2. Решите уравнение
   $$\left(\frac{1+a^2}{2a}\right)^x - \left(\frac{1-a^2}{2a}\right)^x = 1.$$
3. (МГУ, экономический факультет, 1981). Найдите все решения уравнения
   $$|2x - \sqrt{1-4x^2}| = \sqrt{2}(8x^2 - 1).$$
4. (Ленинградская олимпида, 1985). Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 4xy(2x^2 - 1) = 1, \\ x^2 + y^2 = 1. \end{cases}$$
5. (МГУ, экономический факультет, 1985). Среди всех решений $(x, y, z, v)$ системы
   $$x^2 + y^2 = 4, \quad z^2 + v^2 = 9, \quad xv + yz \geq 6$$
   найдите такие, при которых выражение $x + z$ принимает наиболее значение.

Определение суммы цифр числа на ЭВМ
(Начало см. на c. 66)

Темы вычислительных экспериментов

Поставить на компьютер описанные выше алгоритмы вычисления суммы цифр числа $n$, sumмы цифр всех чисел от 1 до $n$ методом приного сложения и методом вычисления по формулам $fk(n)$. Испытать их для цифр страниц школьных учебников. Определить в каждом случае $x = \text{tg}\left(\frac{\pi n}{7}\right), y = \text{tg}\left(\frac{2\pi n}{7}\right), z = \text{tg}\left(\frac{4\pi n}{7}\right)$.

Проверка показывает, что при $n \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$ полученные 7 наборов чисел различаны и действительно удовлетворяют исходной системе.

Разумеется, все ранее рассмотренные примеры весы искусственных и как бы специально подобраны для абитриентов и участников лимпид.

В заключение рекомендуем вам самостоятельное решить следующие упражнения.

Уражнение

1. (ЛПИ, 1976). Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{1-|x|}{2}} = 2x^2 - 1.$$
2. Решите уравнение
   $$\left(\frac{1+a^2}{2a}\right)^x - \left(\frac{1-a^2}{2a}\right)^x = 1.$$
3. (МГУ, экономический факультет, 1981). Найдите все решения уравнения
   $$|2x - \sqrt{1-4x^2}| = \sqrt{2}(8x^2 - 1).$$
4. (Ленинградская олимпида, 1985). Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 4xy(2x^2 - 1) = 1, \\ x^2 + y^2 = 1. \end{cases}$$
5. (МГУ, экономический факультет, 1985). Среди всех решений $(x, y, z, v)$ системы
   $$x^2 + y^2 = 4, \quad z^2 + v^2 = 9, \quad xv + yz \geq 6$$
   найдите такие, при которых выражение $x + z$ принимает наиболее значение.