Câu chuyện về lượng tử

Kvant 1970, số 1 tr. 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15 Thẻ FBFP

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

CÂU CHUYỆN VỀ LƯỢNG TỬ

YA. A. SMORODINSKY

Bài viết nói về một khái niệm rất phức tạp, đồng thời rất cơ bản, đóng vai trò to lớn trong vật lý hiện đại. Chính vì vậy bài viết hơi khó hiểu. Nhưng chúng tôi không thể không nói trong số đầu tiên của tạp chí về lượng tử như một khái niệm vật lý, vì tạp chí của chúng ta mang tên “Lượng tử”.

HAI CÔNG THỨC NGẮN NHẤT CỦA VẬT LÝ HIỆN ĐẠI

Vật lý lượng tử hiện đại ra đời ngày 14 tháng 12 năm 1900. Ngày đó, tại một phiên họp của Hội Vật lý Berlin, Max Planck đã trình bày báo cáo. Trong báo cáo của ông lần đầu tiên xuất hiện một hằng số thế giới mới, được ký hiệu bằng chữ $h$ và gọi là lượng tử cơ bản của tác dụng. Nó được gọi là cơ bản vì xác định năng lượng nhỏ nhất mà bức xạ điện từ có thể mang theo.

Từ lượng tử bắt nguồn từ từ Latin quantum, nghĩa là “bấy nhiêu” (chẳng hạn, quantum placet nghĩa là “bấy nhiêu tùy ý”). $h$ ngày nay được gọi là hằng số Planck, và giá trị chính xác nhất của nó là:

$h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ jun·giây}$

(hệ SI),

hoặc

$h = 6,6262 \cdot 10^{-27} \text{ ec·giây}$

(hệ CGS).

Thay cho $h$ , các nhà vật lý thường dùng một đại lượng khác, nhỏ hơn 2π lần. Nó cũng được gọi là hằng số Planck và được ký hiệu

$\frac{h}{2\pi} = \hbar = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ jun·giây}$

Công thức Planck được viết như sau:

$E = hv.$

Ở đây $E$ là phần nhỏ nhất của ánh sáng (hoặc sóng vô tuyến, hoặc tia X, hoặc bất kỳ bức xạ điện từ nào khác) mà nguyên tử, phân tử hoặc tinh thể có thể phát ra hoặc hấp thụ ở tần số bức xạ cho trước $v$ . Đối với ánh sáng nhìn thấy, tần số xác định “màu” của ánh sáng. Màu xanh ứng với tần số lớn hơn, màu đỏ — nhỏ hơn. Tần số dao động của bức xạ liên hệ với bước sóng $\lambda$ bởi hệ thức

$v = \frac{c}{\lambda},$

trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng, trong chân không bằng $3 \cdot 10^8$ m/giây (chính xác hơn là 299792,5 km/giây). Như vậy, hằng số Planck liên hệ năng lượng nhỏ nhất của bức xạ với tần số của nó, cho thấy rằng tỉ số của $E$ với $v$ luôn là một đại lượng không đổi.

Công thức Planck cùng với công thức Einstein liên hệ khối lượng và năng lượng: $E = mc^2$ , là hai công thức ngắn nhất và quan trọng nhất của vật lý hiện đại.

Ta hãy thử hiểu điều gì đã dẫn Planck đến sự cần thiết của giả thuyết lượng tử và vì sao công thức Planck lại quan trọng đến thế.

MỌI CHUYỆN BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU?

Nếu cho ánh sáng đi qua lăng kính, thì trên màn đặt phía sau nó sẽ xuất hiện quang phổ nhiều màu. (Newton là người đầu tiên quan sát nó.) Sau đó người ta biết rằng không chỉ ánh sáng Mặt Trời mà bức xạ của bất cứ vật thể bị nung nóng nào cũng cho quang phổ. Nhiệt độ của vật thể càng cao thì trong quang phổ càng có nhiều tia xanh. Vật thể không nóng lắm (đến khoảng 500 C) có màu đỏ, vật thể nóng mạnh (đến khoảng 1000 C) có màu trắng. Dần dần, trước nhà nghiên cứu đặt ra hai câu hỏi: quang phổ của vật thể phụ thuộc vào nhiệt độ của nó như thế nào và năng lượng được phân bố dọc theo quang phổ ra sao?

Nếu đặt nhiệt kế tại các vị trí khác nhau của quang phổ, thì có thể đo được phần năng lượng ứng với mỗi đoạn của quang phổ. Tốt hơn là không dùng nhiệt kế mà dùng nhiệt lượng kế trực tiếp. Những lượng nhiệt đo được rơi, chẳng hạn, lên một dải quang phổ rộng 1 cm, chính là những đại lượng ta cần. Độ dài hình học của quang phổ phụ thuộc vào khoảng cách đến màn, vì vậy người ta thường đo năng lượng rơi không phải lên 1 cm, mà lên đoạn quang phổ tương ứng với tần số bức xạ $v$ hoặc một bước sóng xác định $\lambda$ .

Tỉ số giữa lượng năng lượng tập trung trong một dải hẹp của quang phổ, trên đoạn tần số từ $v$ đến $v + \Delta v$ , với $\Delta v$ được gọi là mật độ phổ của năng lượng, hay đơn giản là hàm phổ, và được ký hiệu là $f(v)$ .

Hàm phổ $f(v)$ có dạng nào? Rõ ràng nó phụ thuộc vào nhiệt độ của vật thể. Nói chung, $f(v)$ cũng khác nhau đối với các vật thể khác nhau. Vậy làm thế nào để xác định dạng của hàm phổ? Đó là một bài toán khó, và để kể về cách nó được giải quyết, sẽ phải bắt đầu từ xa. Nhưng trước hết thêm vài lời về hàm phổ.

Sơ đồ quang phổ ánh sáng nhìn thấy

Bên trái là đầu tím của quang phổ, bên phải là đầu đỏ. Phía trên là các bước sóng tính bằng ångström $(1 \text{Å} = 10^{-8} \text{cm})$ , phía dưới là các tần số tính bằng giây nghịch đảo ( $\frac{1}{\text{giây}} = \frac{1}{2\pi}$ héc). Lượng năng lượng rơi lên bốn dải quang phổ được chọn có tỉ lệ như các giá trị của hàm phổ $-f(0,120 \cdot 10^{15})$ : $f(0,096 \cdot 10^{15})$ : $f(0,080 \cdot 10^{15})$ : $f(0,067 \cdot 10^{15})$ .

$\omega \frac{1}{\text{giây}}$ 0,75 $\cdot 10^{15}$ 0,59 $\cdot 10^{15}$ 0,49 $\cdot 10^{15}$ 0,43 $\cdot 10^{15}$
$\nu_{\text{héc}}$ 0,120 $\cdot 10^{15}$ 0,096 $\cdot 10^{15}$ 0,080 $\cdot 10^{15}$ 0,067 $\cdot 10^{15}$

⟦trang 8⟧

HÀM PHỔ

Hàm phổ $f(v)$ có lẽ là điều khó hiểu nhất trong bài viết này. Phổ mà chúng ta nhìn thấy trên màn hình trải thành một dải liên tục, và trong đó có tất cả các phần. Không có ý nghĩa gì khi hỏi có thể gán năng lượng nào trong phổ cho một phần xác định chính xác $v$ . Khi nước chảy từ nguồn, không thể hỏi bao nhiêu nước sẽ chảy ra tại một thời điểm xác định nào đó, chẳng hạn đúng 12 giờ trưa. Đúng vào thời điểm đó, thể tích nước chảy ra bằng không. Để một lượng nước nào đó chảy ra, cần phải trôi qua ít nhất một khoảng thời gian nhỏ. Có thể hỏi bao nhiêu nước sẽ chảy ra trong thời gian từ 12.00 đến 12.01. Có thể hỏi bao nhiêu nước chảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian $\Delta t$ nào từ 12 giờ đến 12 giờ + $\Delta t$ phút. Nếu nước chảy ít nhiều đều và trong 1 phút chảy ra $g \cdot cm^3$ nước, thì trong thời gian $\Delta t$ sẽ chảy ra $g(t) \cdot \Delta t \cdot cm^3$ .

Chúng tôi viết không phải $g$ , mà là $g(t)$ , vì vào những thời điểm khác nhau (1 giờ chiều, 2 giờ chiều v.v.) nước có thể chảy khác nhau. Điều này, chẳng hạn, có nghĩa là lượng nước chảy ra trong 1 phút lúc 12.15 trưa và lượng nước chảy ra trong 1 phút lúc 12.30 có tỉ lệ là $g(15) : g(30)$ , nếu lấy buổi trưa — 12.00 — làm mốc thời gian.

Khi tính lượng nước, chúng ta gặp một đại lượng mới mô tả cường độ của một quá trình liên tục. $g$ là tỉ số giữa lượng nước chảy ra trong khoảng thời gian $\Delta t$ và khoảng thời gian ấy, khi nó được lấy rất nhỏ.

Hàm phổ có ý nghĩa tương tự; nó xác định tỉ số giữa lượng năng lượng trong một dải phổ và độ rộng của dải ấy, khi độ rộng của dải được lấy rất nhỏ. Như đã nói, độ rộng ở đây được biến đổi không theo bước sóng, mà theo tần số.

HẠT HAY SÓNG?

Ngay từ đầu, cơ học đã gặp những bài toán có thể chia thành hai lớp hoàn toàn khác nhau. Chuyển động của các chất điểm và vật rắn được mô tả bằng các phương trình Newton. Từ những phương trình này có thể xác định quỹ đạo chuyển động của vật, chẳng hạn các hành tinh trong hệ Mặt Trời, và mô tả chuyển động diễn ra dọc theo quỹ đạo như thế nào. Nhưng cũng có những đối tượng khác. Chuyển động của nước trong các kênh, sự truyền âm trong không khí, sự uốn cong của một dầm sắt — tất cả những bài toán này thuộc về cơ học môi trường liên tục, và chúng được nghiên cứu bởi thủy động lực học, khí động lực học, lý thuyết đàn hồi và các ngành khác của cơ học.

Môi trường liên tục và hệ các chất điểm được xem là những đối tượng vật lý hoàn toàn khác nhau. Ngay cả khi giải bài toán về dòng chảy của nước, người ta cũng tách ra trong tưởng tượng một thể tích nhỏ của chất lỏng, thì thể tích ấy cũng không hề được liên hệ với các phân tử của chất lỏng (về các phân tử nói chung chỉ được biết đến nhiều năm sau khi các phương trình thủy động lực học đã được viết ra).

Sóng trong nước hoặc trong không khí (chẳng hạn, những sóng được gọi là âm thanh) và một hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời dường như có rất ít điểm chung. Mọi việc đều rõ ràng, chỉ riêng trong quang học còn câu hỏi: ánh sáng là gì? Một dòng các hạt nhỏ li ti, như Newton — người ủng hộ thuyết hạt — đã nghĩ, hay là sóng trong một môi trường nào đó — ê-te thế giới, như Huygens — người sáng lập quang học sóng — đã nghĩ? Mức độ phổ biến của mỗi lý thuyết ở những thời điểm khác nhau là khác nhau, nhưng không ai có thể tìm được một lập luận quyết định để chọn một trong chúng: trong một số hiện tượng ánh sáng ứng xử như một dòng hạt, trong những hiện tượng khác — như sóng. Hiện nay chúng ta biết rõ rằng ở đây không có mâu thuẫn — chỉ nhờ lý thuyết lượng tử mới có thể thấy được điều đó. Trong quá khứ thì

mâu thuẫn ấy dường như không thể giải quyết. Ánh sáng phải là sóng hoặc là hạt. Khẳng định này có vẻ hoàn toàn chặt chẽ về mặt logic.

BẬC TỰ DO

Sự khác nhau giữa một hệ các hạt vật chất và một môi trường liên tục hiện ra rất rõ nếu xem trạng thái của hệ được xác định bằng bao nhiêu tọa độ.

Vị trí của mỗi điểm trong không gian được xác định bằng ba số — ba tọa độ. Người ta nói rằng một điểm vật chất có ba bậc tự do. Nếu hệ gồm $N$ điểm vật chất, thì người ta nói rằng nó có $3N$ bậc tự do.

Lập luận tương tự cũng có thể áp dụng cho vận tốc. Vận tốc của một điểm được mô tả bằng ba số — ba thành phần của vectơ vận tốc. Vận tốc của $N$ điểm cần $3N$ số để mô tả.

Cần cho bao nhiêu số để mô tả trạng thái của mặt biển? Nói đúng ra, với mỗi điểm trên mặt biển cần cho ba số — vectơ vận tốc của nước tại điểm đó; do đó, số lượng các số sẽ là vô hạn. Mặt biển hiện ra trước chúng ta như một hệ có số bậc tự do vô cùng lớn. Hơn nữa, việc nước gồm các phân tử, và vì vậy số bậc tự do có thể được xác định bằng cách đếm các phân tử, không làm bài toán dễ hơn: số phân tử thực tế rất lớn, nên về mặt thực hành số bậc tự do vẫn vô cùng lớn. Nhưng trên thực tế chúng ta không quan tâm đến chuyển động của từng phân tử. Khi trên biển có sóng chạy, chẳng hạn từ một con tàu đang đi, ta có thể mô tả bức tranh phân bố sóng bằng tương đối ít số. Ta có thể cho các giá trị biên độ và pha của mỗi sóng; tuy sóng nhiều, nhưng vẫn ít hơn các phân tử. Ngoài ra, bức tranh về cơ bản lặp lại theo thời gian: các sóng ít nhiều giống nhau.

Trong mỗi sóng, nhiều phân tử chuyển động, chuyển động mang tính tập thể, và ta có thể nói về các bậc tự do tập thể trên mặt biển, trái với các bậc tự do riêng lẻ, chẳng hạn của một phân tử nước riêng biệt.

Mô tả tập thể như vậy cũng có thể được dùng khi nói về các tính chất của ánh sáng. Đặc biệt, ta làm đúng như thế khi cố gắng mô tả sự phân bố năng lượng theo phổ.

Ánh sáng là một quá trình sóng, và mô tả nó đơn giản nhất là từ quan điểm của thuyết sóng. Dĩ nhiên, mô tả ánh sáng như vậy hoàn toàn không giống mô tả một hệ các điểm. Ở đây thậm chí không có dấu hiệu nào của các bậc tự do — sóng và hạt hoàn toàn không giống nhau. Nhưng điều đó vẫn không hoàn toàn đúng. Sóng và hạt có những tính chất chung. Trước hết, đó là những tính chất biểu hiện khi ta bắt đầu nghiên cứu các hiện tượng nhiệt và suy nghĩ xem năng lượng nhiệt được phân bố giữa sóng và hạt như thế nào.

NHIỆT ĐỘ
VÀ NHIỆT DUNG

Xét một chất khí ở trạng thái nóng. Ta biết rằng nhiệt độ của khí và của thành bình phải bằng nhau. Nếu ban đầu không phải như vậy, thì nhiệt sẽ truyền từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn cho đến khi nhiệt độ bằng nhau, tức là cho đến khi thiết lập cân bằng nhiệt độ giữa thành bình và khí chứa trong đó.

Nhiệt độ của khí liên hệ với động năng của các nguyên tử của nó (để đơn giản ta sẽ nói về khí đơn nguyên tử). Một trong những kết quả đơn giản nhất của thuyết động học chất khí là $3/2 kT$ , mỗi bậc tự do có $1/2 kT$ , còn toàn bộ năng lượng của khí bằng $3/2 NkT$ , trong đó

⟦trang 10⟧

Bình chứa khí

Các nguyên tử va chạm với thành bình, và kết quả là thiết lập cân bằng nhiệt giữa khí và bình — khí nhận nhiệt độ của thành bình. Số nguyên tử không thay đổi khi va chạm. Để thay đổi nhiệt độ của khí, có thể cho thoát ra một phần nhỏ qua một lỗ nhỏ.

$N$ — số hạt trong khí (3 $N$ — tổng số bậc tự do). Ở đây $k$ — hằng số Boltzmann ( $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ jun/độ); nó đóng vai trò hệ số chuyển đổi từ độ trên thang Kelvin sang jun. Sau đó trong thuyết động học chất khí người ta chỉ ra rằng nếu có dao động, thì mỗi bậc tự do dao động có năng lượng $kT$ , gấp đôi so với bậc tự do ứng với chuyển động tịnh tiến. Những khẳng định này, đã được chứng minh và kiểm tra, thuộc về chất khí. Tự nhiên nảy sinh câu hỏi về năng lượng bức xạ?

Hãy hình dung rằng ta có một bình (trước đây gọi là “khoang”), trong đó không có khí. Tuy nhiên, trong bình như vậy luôn có trường điện từ. Sóng điện từ được thành bình phát ra và hấp thụ, và năng lượng này sẽ được phân bố theo phổ theo một cách nào đó. Nếu bình có một nhiệt độ cố định nào đó, thì sự phân bố năng lượng, hiển nhiên, sẽ khác nhau ở các nhiệt độ khác nhau. Ta có thể nghiên cứu trường bên trong bình bằng cách làm một lỗ nhỏ trên đó và cho một chùm sáng thoát ra.

Khi lần đầu tiên bắt đầu bàn về tính chất của một “khoang” như vậy, người ta nhận thấy rằng nếu ánh sáng từ bên ngoài lọt vào lỗ, thì sau khi phản xạ rất nhiều lần từ thành bình và “lạc đường”, nó hầu như không có cơ hội đi ra ngoài. Lỗ hấp thụ toàn bộ ánh sáng chiếu vào nó, vì thế vật được gọi là “đen”, còn ánh sáng đi ra từ lỗ được gọi là “bức xạ vật đen” (vậy nên “vật đen” phát sáng!).

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng “vật đen” được nung nóng. Khi đó có thể đặt câu hỏi: bao nhiêu năng lượng nhiệt sẽ chuyển thành ánh sáng? Câu trả lời được đưa ra vào cuối thế kỷ XIX và là: ánh sáng bị giam trong “vật đen” phải ở trong cân bằng nhiệt với thành bình. Cân bằng này được thiết lập và duy trì bởi các quá trình phát xạ và hấp thụ sóng ánh sáng của các thành bình nóng (phát ra bao nhiêu thì hấp thụ lại bấy nhiêu), còn lượng năng lượng và mật độ phổ của nó hoàn toàn chỉ được xác định bởi một tham số — nhiệt độ. Ở đây dường như không hề nảy sinh chuyện về số bậc tự do (như trong trường hợp chất khí).

Bình chứa bức xạ (“vật đen”)

Sóng hoặc tia sáng nhiều lần phản xạ từ các thành bình, đồng thời chúng bị thành hấp thụ và lại được phát ra; kết quả là thiết lập cân bằng nhiệt giữa bức xạ và các thành. Trong những quá trình như vậy, số lượng lượng tử không giữ nguyên: lượng năng lượng và số lượng lượng tử hoàn toàn được xác định bởi nhiệt độ của bình. Ánh sáng đi ra từ một lỗ nhỏ trong bình như vậy sẽ có phổ của “vật đen”.

tự do, thì có thể giải thích nó một cách đẹp đẽ. Công thức Rayleigh — Jeans có dạng như thể đoạn phổ $\Delta v$ chứa $8\pi v^2/c^3$ bậc tự do, mỗi bậc nhận nhiệt độ $kT$ . Tuy nhiên cách diễn giải hiệu dụng này là sai. Số bậc tự do tăng nhanh khi chuyển sang các tần số ngày càng lớn trong phần tử ngoại của phổ (về bên phải cực đại của đường cong). Điều đó có nghĩa là tần số càng lớn thì phổ chứa càng nhiều năng lượng. Tức là theo công thức này mọi vật thể cũng phải phát ra sóng điện từ có tần số vô cùng lớn.

Kết luận lạ lùng này mang tên gọi đầy kịch tính là “thảm họa tử ngoại”, vì nó cho thấy sự thất bại hoàn toàn của những cố gắng giải thích các tính chất của phổ mà vẫn ở trong khuôn khổ vật lý cổ điển dễ hiểu.

Một công thức khác đã được Wien, người mà chúng ta đã biết, đề xuất vào năm 1890:

$f(v) = A v^3 e^{-\frac{b v}{T}}$

(Thật ra, ông viết công thức này hơi khác, biểu diễn nó qua bước sóng.) Trong công thức Wien, $A$ và $b$ là những hằng số nào đó, như sau này chúng ta sẽ thấy, liên hệ với hằng số Planck. Công thức Wien mô tả phần tử ngoại của phổ, nhưng bất lực khi nói đến phần sóng dài của nó.

Vậy là trước các công trình của Planck, các nhà vật lý đã biết khá nhiều: diện tích dưới đường cong phân bố năng lượng theo phổ, vị trí cực đại và dạng đường cong ở “đầu” và ở “cuối”. Còn phải thực hiện bước táo bạo cuối cùng. Chính nó đã dẫn đến sự ra đời của vật lý mới.

$e^x \approx 1+x.$

CÔNG THỨC PLANCK

Ngày nay khó khôi phục được diễn biến suy nghĩ của các nhà vật lý sống từ nhiều năm trước. Có lẽ Planck đơn giản là tìm một công thức nào đó có thể gộp lại mọi điều đã biết về phổ của “vật đen”. Thử những cách tiếp cận khác nhau, cuối cùng ông đi đến kết luận rằng cần xét các tính chất của những nguyên tử cấu tạo nên thành bình và phát ra ánh sáng. Giả thuyết của Planck là các nguyên tử phát xạ không thể có năng lượng bất kỳ, mà chỉ có năng lượng bằng một số nguyên lần $hv$ , trong đó $v$ là tần số dao động của nguyên tử. Từ đó suy ra rằng nguyên tử chỉ có thể phát ra ánh sáng từng lượng tử (dù thực ra mối liên hệ này được hiểu ra muộn hơn đôi chút).

Planck viết công thức của mình như sau:

$f(v) = n(v) \cdot hv,$

trong đó $n(v)$ — số lượng tử, bằng $\frac{8\pi v^2}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}} - 1$

$hv$ — năng lượng của lượng tử. Công thức cuối cùng có thể có vẻ không hoàn toàn chính xác, vì từ nó $n(v)$ không phải là số nguyên. Điều đó không có gì đáng ngại, vì công thức cho số lượng tử trung bình. Chẳng hạn, nếu trong một thể tích nào đó, một nửa thời gian có một lượng tử, còn một nửa thời gian hoàn toàn không có lượng tử nào, thì số lượng tử trung bình bằng $\frac{1}{2}$ !

Công thức Planck khác công thức Rayleigh — Jeans ở chỗ không thể giải thích nó theo quan điểm bậc tự do. Nếu cho rằng mỗi lượng tử có ba bậc tự do, thì số bậc tự do của hệ, bằng $3n(v)$ , hóa ra lại là một hàm của nhiệt độ: số bậc tự do tăng khi nhiệt độ tăng. Kết luận này vô lý theo quan điểm bậc tự do của các hạt. Nhưng chính trong sự vi phạm lôgic quen thuộc ấy lại có lối thoát khỏi ngõ cụt. Bởi vì số lượng các hạt phát xạ không nhất thiết phải là một số được xác định chặt chẽ; nó có thể thay đổi khi điều kiện thay đổi. Điều này

đặc biệt trở nên rõ ràng khi sự sinh cặp được phát hiện: electron — positron, proton — phản proton, v.v.

Buổi tối Planck đọc báo cáo, không ai nghĩ đến sự ra đời của một nền vật lý mới. Người ta nhìn công thức từ phương diện thực tế và ngay lập tức (trong đêm sau báo cáo) so sánh đồ thị do công thức mới cho với các đường cong thu được từ thực nghiệm. Hóa ra công thức Planck mô tả tốt toàn bộ phổ.

Đối với phần phổ mà ν lớn, có thể bỏ số một ở mẫu của công thức dùng để tính số lượng tử $n(\nu)$ — số một này nhỏ so với số hạng thứ nhất. Khi đó công thức Planck biến thành công thức Wien. Từ việc đối chiếu hai biểu thức có thể kết luận rằng các hệ số trong công thức Wien bằng

$A = \frac{8\pi h}{c^3} \quad \text{và} \quad b = \frac{h}{k}.$

Planck, so sánh công thức của mình với công thức Wien, đã cho giá trị đầu tiên của hằng số $h$ . Ông nhận được $h = 6.55 \cdot 10^{-27} \text{ erg·giây}$ . Hơn nữa, thật đáng ngạc nhiên là giá trị $h$ do Planck tính được khác rất ít so với giá trị hiện đại, đã nêu ở trên.

Khi $v$ có giá trị nhỏ, trong công thức Planck có thể thực hiện phép thay thế sau:

$e^{\frac{hv}{kT}} \approx 1 + \frac{hv}{kT} \quad \text{nếu } \frac{hv}{kT} \ll 1.$

Khi đó sẽ thu được chính xác công thức Rayleigh — Jeans. Dùng công thức Planck, cũng có thể suy ra định luật Stefan — Boltzmann. Hằng số σ của định luật này được biểu diễn qua $h$ bằng công thức

$\sigma = \frac{2\pi^5}{15c^2} \frac{k^4}{h^3}.$

1 — đường cong tương ứng với công thức Rayleigh — Jeans; 2 — biểu diễn đồ thị của công thức Planck; 3 — đường cong do công thức Wien cho.

bằng các lượng tử, mà bản thân nó cũng gồm các lượng tử.

Khi phát ra một lượng tử, vật thể mất năng lượng của mình, năng lượng ấy truyền cho ánh sáng. Vậy ánh sáng, theo thuyết tương đối, cũng mang đi khối lượng của vật thể.

Khối lượng của lượng tử có thể thu được bằng cách kết hợp hai công thức: $E=hv$ và $E=mc^2$ . Từ đó: $m=\frac{hv}{c^2}$ . (Tốt hơn nên nói, như người ta vẫn nói, rằng lượng tử có động lượng $p=mc$ , tức là $p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}$ . Động lượng $p$ , dĩ nhiên, là một vectơ: nó hướng về phía lượng tử bay.) Năng lượng của lượng tử liên hệ với động lượng của nó bởi hệ thức $E=cp$ . Hệ thức như vậy mô tả các hạt có khối lượng nghỉ bằng không. Nếu khối lượng nghỉ $m_0\neq0$ , thì năng lượng và động lượng của hạt liên hệ với nhau trong thuyết tương đối bởi công thức $E=c\sqrt{p^2+m_0^2c^2}$ .

Nhờ Einstein, lượng tử đứng cùng hàng với các hạt; chỉ có điều nó không có khối lượng nghỉ, nên buộc phải luôn bay với tốc độ ánh sáng.

HIỆU ỨNG COMPTON

Trong tất cả những điều trên vẫn còn một điểm chưa được kiểm tra bằng thí nghiệm. Nếu lượng tử có cả năng lượng lẫn động lượng, thì các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng có áp dụng cho nó giống như đối với các hạt khác không? Và tuy không ai nghi ngờ câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này, việc kiểm tra trực tiếp bằng thực nghiệm các định luật bảo toàn vẫn sẽ rất có ích. Sự kiểm tra như vậy đã được Arthur Compton thực hiện vào năm 1925; ông nghiên cứu sự tán xạ của các lượng tử ánh sáng khi chúng rơi lên một electron đứng yên. Compton phát hiện, thứ nhất, electron nhận một xung lượng từ lượng tử, và thứ hai, lượng tử mất năng lượng, tần số của nó giảm đi. Bức tranh định tính phù hợp với cơ sở hạt. Nhưng Compton còn chỉ ra nhiều hơn; ông chỉ ra rằng năng lượng và động lượng của electron và lượng tử ở trạng thái cuối đúng như những gì nhận được từ các phương trình mô tả các định luật bảo toàn.

KẾT LUẬN

Như vậy, bắt đầu từ việc nghiên cứu sóng ánh sáng, các nhà vật lý dần đi đến cơ học lượng tử, rất giống cơ học Newton, chỉ với những khái quát hóa mà thuyết tương đối đem lại.

Sự ra đời của một khoa học mới luôn diễn ra theo cách trong đó những sự kiện khác nhau, trước đây rất xa nhau, đan xen kỳ lạ và những mối liên hệ chưa từng được nhận thấy được phát hiện. Nhiệt động lực học, thuyết động học chất khí, điện động lực học, quang học và cuối cùng là thuyết tương đối — đó là nền tảng mà từ công thức Planck đã phát triển nên ý nghĩa của vật lý hiện đại.

BÀI TẬP

Có một bình — «vật đen», được nung đến nhiệt độ $6000^\circ$ K. (Bề mặt Mặt Trời có nhiệt độ gần như vậy.) Hãy xác định lượng năng lượng chứa trong $1\text{ cm}^3$ ở cùng một tần số? Vì sao?
Hãy dựng phổ năng lượng của «vật đen» và phổ số lượng tử ở nhiệt độ $6000^\circ$ K. Các đường cong này có cực đại tại cùng một tần số không? Vì sao?
Dùng đường cong đã dựng, hãy ước lượng số lượng tử có trong $1\text{ cm}^3$ của «vật đen», được nung đến nhiệt độ $6000^\circ$ K. (Muốn vậy phải đo diện tích dưới đường cong. Vì sao?
Một lượng tử có năng lượng $10\text{ keV}$ ( $1\text{ keV}=1,6\times10^{-16}$ jun) rơi vào một electron đứng yên và bật ngược trở lại. Hãy tìm tần số của lượng tử tới và lượng tử phản xạ. Hãy tìm năng lượng của electron sau va chạm.