Các bài toán M1—M5; Ф1—Ф4

52

VỀ TOÁN HỌC

M1. Ở nước An-chu-ri-a, nơi tổng thống Mi-ra-phlo-rét*) trị vì, thời gian bầu cử tổng thống mới đã đến gần. Trong nước có đúng 20 triệu cử tri, trong đó chỉ có một phần trăm (quân đội chính quy của An-chu-ri-a) ủng hộ Mi-ra-phlo-rét. Mi-ra-phlo-rét dĩ nhiên muốn được bầu, nhưng mặt khác ông ta muốn cho cuộc bầu cử có vẻ dân chủ. Mi-ra-phlo-rét gọi là «bỏ phiếu dân chủ» việc sau đây: tất cả cử tri được chia thành một số nhóm bằng nhau, sau đó mỗi nhóm này lại được chia thành một số nhóm bằng nhau, rồi những nhóm cuối cùng này lại được chia thành các nhóm bằng nhau, v.v.; trong những nhóm nhỏ nhất, người ta bầu đại diện của nhóm—người bỏ phiếu, sau đó người bỏ phiếu được đại diện của nhóm lớn hơn nữa bầu để bỏ phiếu, v.v.; cuối cùng, các đại diện của những nhóm lớn nhất bầu ra người đại diện. Mi-ra-phlo-rét chia các cử tri thành các nhóm theo ý mình và chỉ thị cho những người ủng hộ mình phải bỏ phiếu như thế nào. Liệu ông ta có thể tổ chức «bầu cử dân chủ» như vậy để được bầu làm tổng thống không? (Nếu số phiếu bằng nhau thì phe đối lập thắng.)

XXXII Kỳ thi Olympic toán học Mát-xcơ-va

*) Xem O’Henry, Vua và bắp cải. Tuyển tập tác phẩm trong hai tập, GIXL, 1955, tập 1, tr. 7.

52

Dưới đây công bố một số bài toán toán học và vật lý, bắt đầu từ Chuyên san bài tập «Kvant». Nhiều bài trong số đó khá khó. Những lời giải tốt nhất của các bài toán này, do độc giả đề xuất, sẽ được đăng trên tạp chí.

M2. Cho một mặt cầu bán kính 1. Trên đó có các đường tròn bằng nhau $\gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_n$ bán kính $r (n \geqslant 3)$. Đường tròn $\gamma_0$ tiếp xúc với tất cả các đường tròn $\gamma_1, \dots, \gamma_n$; ngoài ra, các đường tròn $\gamma_1$ và $\gamma_2$; $\gamma_2$ và $\gamma_3$; …; $\gamma_n$ và $\gamma_1$ tiếp xúc với nhau. Với những $n$ nào điều này có thể xảy ra? Tính bán kính tương ứng $r$.

Olympic toán học lần thứ XVIII
Tiệp Khắc

Hình 1.

M3. Trong hình 1 mặt phẳng được phủ bởi các hình vuông có năm màu. Tâm của các hình vuông cùng một màu nằm trên các đỉnh của một lưới vuông. Với số lượng màu nào có thể có cách phủ mặt phẳng tương tự?

53

Trong hình 2 mặt phẳng được phủ bởi các hình lục giác có bảy màu sao cho tâm của các hình lục giác cùng một màu tạo thành các đỉnh của một mạng lưới gồm các tam giác đều giống nhau. Với số lượng màu nào có thể có cách xây dựng tương tự?

Chú ý. Trong bài toán thứ nhất số màu có thể bằng một (tất cả các hình vuông cùng một màu) và hai (như trên bàn cờ). Trong bài toán thứ hai các bạn sẽ dễ dàng tìm được các lời giải với một màu và với ba màu. Mong muốn đưa ra lời giải đầy đủ cho các bài toán, tức là mô tả tất cả các cách tô màu thỏa mãn các điều kiện đã nêu.

Hình 2.

điều kiện. Tuy nhiên, hãy gửi cả những lời giải chưa hoàn chỉnh nếu các bạn thấy chúng thú vị. Hãy suy nghĩ, chẳng hạn, liệu trong bài toán thứ hai có tồn tại lời giải với mười ba màu hay không?

A. N. Côn-mô-gô-rốp

M4. Cho đoạn thẳng AB. Tìm trên mặt phẳng tập hợp các điểm C sao cho trong tam giác ABC trung tuyến kẻ từ đỉnh A bằng đường cao kẻ từ đỉnh B.

XXXII Kỳ thi olympic toán học Mát-xcơ-va

M5. Trong tập hợp E gồm n phần tử, có chọn ra m tập con khác nhau (khác chính E) sao cho với mỗi hai phần tử của E đều tìm được đúng một trong các tập con đã cho, trong đó có chứa cả hai phần tử ấy.

Chứng minh rằng m≥n. Trong những trường hợp nào có thể xảy ra dấu bằng?

N. Bourbaki

VỀ VẬT LÝ

Ф1. Ba bình thông nhau chứa nước, các tâm của chúng nằm cách nhau cùng một khoảng cách a, được đậy bằng các pít-tông có cùng độ dày, làm từ cùng một vật liệu (hình 3). Vào các pít-tông gắn các thanh đứng giống nhau, được nối khớp với thanh AB. Có thể gắn tải vào điểm nào của thanh để ở vị trí cân bằng thanh vẫn nằm ngang, nếu khối lượng của thanh và các thanh đứng không đáng kể so với khối lượng của các pít-tông và tải. Đường kính của các bình được chỉ ra trong hình.

Ф2. Trên mặt phẳng nằm ngang có hai quả cầu với khối lượng m₁ và m₂, được nối với nhau