142857

26

BÀI TẬP

1. Tìm hệ số lợi ích của số Meschi.

2. Khai triển thành phân số liên tục $\frac{157}{225}$.

3. Thu gọn phân số liên tục [3; 12, 2, 1, 50].

4. Khai triển thành phân số liên tục
   a) $\sqrt{3}$, b) $\sqrt{5}$, c) $\sqrt{6}$.

Hãy thử tự mình (chưa cần tìm đến sách) suy nghĩ về các tính chất của những phân số liên tục nhận được khi khai triển $\sqrt{n}$, trong đó $n$ — là số tự nhiên không phải là bình phương của số tự nhiên.

5. Tìm các giá trị của các phân số liên tục tuần hoàn a) [0; $a$, $a$, $a$, …]; b) [0; $a$, $b$, $a$, $b$, …].

6. Một số dân tộc phương Đông sử dụng lịch hỗn hợp Mặt Trời — Mặt Trăng. Các tháng của họ khi thì có 29, khi thì có 30 ngày. Các tháng có 29 ngày được gọi là «rỗng», còn các tháng có 30 ngày là «đầy». Năm lịch gồm mười hai hoặc mười ba tháng. Nhà toán học Hy Lạp Meton (433 năm trước Công nguyên) đã đề xuất một lời giải đáng chú ý cho vấn đề lịch âm dương. Theo Meton, trong mỗi 19 năm có bảy năm có mười ba tháng, còn mười hai năm còn lại có mười hai tháng. Trong tổng số 235 tháng Mặt Trăng, được xếp vào chu kỳ mười chín năm «vàng», có 110 tháng rỗng và 125 tháng đầy. Ở đây con người gặp một bài toán phức tạp hơn về sự xấp xỉ đồng thời của tỉ số ba đại lượng — độ dài của ngày, độ dài của tháng Mặt Trăng và độ dài của năm Mặt Trời. Với độ gần đúng khá tốt

$$\frac{1 \text{ năm dương lịch}}{1 \text{ tháng Mặt Trăng}}$$

Bạn sẽ nhận được lời giải thích cho sự thành công của phát minh của Meton.

Hãy khai triển thành phân số liên tục tỉ số độ dài của tháng Mặt Trăng với ngày.

Bạn có biết bí mật của con số kỳ diệu này không? Hãy viết các chữ số của nó thành vòng tròn: bây giờ lần lượt nhân nó với 2, 3, 4, …, 7 và mỗi lần hãy so sánh với vòng tròn kỳ diệu. Bạn sẽ nhận thấy rằng nó luôn luôn không ra khỏi vòng tròn kỳ diệu, cho đến khi số «kỳ diệu» 7 phá vỡ nó!

Hãy cố gắng hiểu vấn đề nằm ở đâu? Vì sao lại có một con số thú vị như vậy? Hóa ra, đây là chu kỳ của $1/7$ khi chuyển nó thành số thập phân.

Hãy tự tìm những «con số kỳ diệu» trong các hệ đếm khác, chẳng hạn trong hệ có cơ số 8 hoặc 9, hoặc 5. Hãy thử khái quát hóa quy luật nhận được.

Chú ý rằng người ta thường dùng con số này để kiểm tra độ tin cậy trong hoạt động của máy tính số hoặc một máy tính toán khác.

P. A. Novikov