142857

26

ЗАДАЧИ

1. Найдите коэффициент выгодности для числа Мещи.

2. Разложите в цепную дробь $\frac{157}{225}$.

3. Сверните цепную дробь [3; 12, 2, 1, 50].

4. Разложите в цепную дробь
   a) $\sqrt{3}$, б) $\sqrt{5}$, в) $\sqrt{6}$.

Попробуйте самостоятельно (еще не обращаясь к книжкам) подумать о свойств цепных дробей, которые получаются при разложении $\sqrt{n}$, где $n$ — натуральное число, не являющееся квадратом натурального числа.

5. Найдите значения перiodических цепных дробей a) [0; $a$, $a$, $a$, …]; b) [0; $a$, $b$, $a$, $b$, …].

6. Некоторые восточные народы пользовются смешанным солнечно-лунным календарем. Мещи у них имеют to 29, то 30 дней. Мещи из 29 дней называются «пустыми», а из 30 дней «полными». Календарный год состоит из двенадцати, то из тринадцати месяцев. Греческий математик Метон (433 год до нашей эры) предложил заменательное решение проблемы лунно-солнечного календаря. По Метону из каждой 19 лет семь имеют по тринадцать месяцев, а остальные двенадцать лет — по двенадцать месяцев. Из общего числа 235 лунных месяцев, помещаются в «золотом» девятнадцатилетнем периоде, 110 пустых и 125 полных. Здесь люди столкнуть с более сложной задачей одновременного приближения к отношением трех величины — длины суток, длины лунного месяца и длины солнечного года. С достаточно хорошим приближением

$$\frac{1 \text{ солнечный год}}{1 \text{ лунный месяц}}$$

Вы получите объяснение удачи изобретения Метона.

Разложите в цепную дробь и отношение длины лунного месяца к суткам.

Знаете ли Вы тайну этого магического числа? Напишите его цифры по кругу: теперь умножайте его последовательно на 2, 3, 4, …, 7 и всякий раз сверайте с магическим кругом. Вы заметите, что все время не выходит из магического круга, пока «магический» число 7 не разорвет его!

Постраайте понять, в чем дело? Почему такое забавное число? Оказывается, это период до 1/7 при обращении ее в десятичную.

Найдите сами «магические числа» в других системах числения, например при основании системы счета 8 или 9, или 5. Попробуйте обобщить полученную закономерность.

Заметим, что этим числом построено пользоваться для проверки надежности работы арфметра или другой счетной цифровой машины.

П. А. Новиков