Рассказ о кванте

6

РАССКАЗО КВАНТЕ

Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

В статье речь идет об очень сложном и вместе с тем фундаментальном понятию, играющем огромную роль в современной физике. Именно поэтому статья несколько трудна для понимания. Но не рассказать в первом номере журнала о кванте как физический понятие мы не могли, так как наш журнал называется «Квант».

ДВЕ САМЫЕ КОРОТКИЕ ФОРМУЛЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ

Современная квантовая физика родилась 14 декабря 1900 года. В этот день на заседании Берлинского физического общества выступил с докладом Макс Планк. В его докладе впервые появился новая мировая постоянная, обозначенная буквой $h$ и называная элементарным квантом действия. Элементарным она была назван потому, что определяла самую малую энергию, которое может нестис с собой электромагнитное излучение.

Слово квант произходит от латинского слова quantum, означающего «столько» (например, quantum placet означает «столько, сколько хочется»). $h$ называют теперь постоянной Планка, и ее наиболее точное значение равно:

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

(система СИ),

или

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-27} \text{ эрле·сек.}$$

(система СГС).

Вместо $h$ физики чаще пользовются другой величины, которая в 2π раз меньше. Ее также называют постоянной Планка и обозначают

$$\frac{h}{2\pi} = \hbar = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

Формула Планка записывается так:

$$E = hv.$$

Здесь $E$ — наименшая порция света (или радиоволн, или рентгеновских лучей, или любого другого электромагнитного излучения), которое испустить или поглотить atom, молекула или кристалл при заданной частоте излучения $v$. Для видимого света частота определяет «цвет» света. Синему цвету соответствует большая частота, красному — меньше. Частота колебаний излучения связывана с длиной волны $\lambda$ соответствием

$$v = \frac{c}{\lambda},$$

7

где $c$ — скорость света, которая в пустоте равна $3 \cdot 10^8$ м/сек (точнее 299792,5 км/сек). Таким образом, постоянная Планка связаывает наименьшую энергию излучения с его частотой, показывая, что отношение $E$ к $v$ есть всегда величины постоянная.

Формула Планка вместе с формулой Эйштейна, связывающей массу и энергию: $E = mc^2$, — две самые короткие и самые значительные формулы современной физики.

Попробуем понять, что привело Планка к необходимости квантовой гипотезы и почему формула Планка оказывается столь важной.

С ЧЕГО ВСЕ НАЧАЛОСЬ?

Если пропустить свет через призму, то на экране, поставленном за ней, возникнет разноветный спектр. (Его впервые наблюдал Ньюотон.) После узнал, что спектр дает не только солнечный свет, но и излучение от любого нагретого тела. Чем выше температура тела, тем больше в спектре синих лучей. Не очень нагрето тело (градусов до 500 С) — красного цвета, сильно нагрето (градусов до 1000 С) — белого. Постепенно перед исследователем вставли два вопросы: как зависит спектр тела от его температуры и как распределяется энергия вдоль спектра?

Если к разным местам спектра приложить термометры, то можно изменить, какая доля энергии приходится на каждой участок спектра. Если лучшие взяты не термометры, а прямой calorimetры. Измеренные количества тепла, которые падают, скажем, на полоску спектра шириной в 1 см, и будут теми величины, которые нам нужны. Геометрическая длина спектра зависит от расстояния до экрана, поэтому обычно измеряют энергию, упавшую не на 1 см, а на участок спектра, соответствующий частоте излучения $v$ или определенной длине волны $\lambda$.

Отношение величины энергии, сосредоточенной в узкой полоске спектра на участке частот в промежутке от $v$ до $v + \Delta v$, к $\Delta v$ называют спектральной плотностью энергии или просто спектральной функцией и обозначают $f(v)$.

Какой вид имеет спектральная функция $f(v)$? Ясно, что она зависит от температуры тела. Вообще говоря, $f(v)$ разная и уразных тел. Как же определять вид спектральной функции? Это была трудная задача, и чтобы рассказыть о том, как она решалась, придется наать изделека. Но сначала еще несколько слов о спектральной функции.

Схема спектра видимого света

Слева филотовый конец спектра, справа красный. Наверху длины волн в ангстремах $(1 \text{Å} = 10^{-8} \text{cm})$, внизу частоты в обратных секундах ($\frac{1}{\text{сек}} = \frac{1}{2\pi}$ герц). Количество энергии, падающие на выделенные четыре полоски спектра, относится как значения спектральной функции $-f(0,120 \cdot 10^{15})$: $f(0,096 \cdot 10^{15})$: $f(0,080 \cdot 10^{15})$: $f(0,067 \cdot 10^{15})$.

$\omega \frac{1}{\text{сек}}$ 0,75 $\cdot 10^{15}$ 0,59 $\cdot 10^{15}$ 0,49 $\cdot 10^{15}$ 0,43 $\cdot 10^{15}$
$\nu_{\text{герц}}$ 0,120 $\cdot 10^{15}$ 0,096 $\cdot 10^{15}$ 0,080 $\cdot 10^{15}$ 0,067 $\cdot 10^{15}$

8

СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Спектральная функция $f(v)$ — это, вероятоно, самое трудное, что нужно понять в этой статье. Спектр, который мы видим на экране, тянется непрерывной полоской, и в нем представлены все части. Не имеет смысла спрашивать, какую энергию можно сопоставить в спектре точно данной части $v$. Когда из источника течет вода, нельзя спросить, сколько воды вытечет в какой-то определенный момент времени, например,ровно в 12 часов дня. Точно в этот момент вытекает объем воды, равный нулю. Для того чтобы вытекло какое-то количество воды, надо чтобы прошел хотя бы небольшой промежуток времени. Можно спросить, сколько воды вытечет за время от 12.00 до 12.01. Можно спросить, сколько воды за любой интервал времени $\Delta t$ от 12 часов до 12 часов + $\Delta t$ минут. Если вода течет более или менее равномерно и за 1 минуту вытекает $g \cdot cm^3$ воды, то за время $\Delta t$ вытечет $g(t) \cdot \Delta t \cdot cm^3$.

Мы написали не $g$, а $g(t)$, так как в разное время (в час дня, в два часа дня и т. д.) вода может течение по-разному. Это, например, означает, что количество воды, вытекающей за 1 минуту в 12.15 дня, и количество воды, вытекающей за 1 минуту в 12.30, относится как $g(15) : g(30)$, если за начало отсчета времени взять полдень — 12.00.

При подсчете количества воды мы стalkиваем с новой величины, которая описывает интенсивность непрерывного процесса. $g$ есть отношение количества воды, вытекающего за интервал времени $\Delta t$, к этому интервалу, когда он взят очень маленьким.

Спектральная функция имеет аналогичный смысл; она определяет отношение количества энергии в полоске спектра к ширине этой полоски, когда ширина полоски взята очень маленькой. Ширина при этом изменяется, как было уже сказано, не в длинах, а в частотах.

ЧАСТИЦЫ ИЛИ ВОЛНЫ?

С самого начала механика встречалась с задачами, которые можно было разить на два совершенного разных класса. Движение материалов точек и твердых тел описываются уравнениями Ньютона. Из этих уравнений можно было определить траектории движения тела, например, планет солнечной системы, и описывать, как происходит движение вдоль траектории. Но были и другие объекты. Движение воды в каналах, распространение звука в воздухе, изгиб железной балки — все эти задачи относятлись к механике сплошных сред, и имзаимались гидродинамика, аэродинамика, теория ургостии и другие разделы механики.

Сплошная среда и система материалов точек представлялись совершенно разными физическими объектами. Если даже, решая задачу о течение воды, и выделяли мысленное небольшой объем жидкости, то этот объем никак не связывали с молекулами жидкости (о молекулах вообще узнали через много лет после того, как были написаны уравнения гидродинамики).

Волны в воде или в воздухе (пример, те, которые называют звуком) и планета, движущаяся вокруг Солнца, имея, казалось, мало объекта. Все было ясно, вот только в оптическом отслеживании вопрос: что такое свет? Поток мелчайших частиц, как это думал Ньютон — строонник корпускулярной теории, или это волны в какой-то среде — мировом эфире, как думал Гюйгенс — создатель волновой оптики? Популярность каждой из теорий в разное время была различной, но никто не мог найти решающего аргумента в пользовании из них: свет в одних явлениях вел себя, как поток корпускул, в других — как волны. Сейчасы хорошо знаем, что в этом нет противения — повреждить в это столо возможным лишь благодаря квантовой теории. В прошлом жеве

9

противоречие казалось неразрешимым. Свет должен быть либо волной, либо частиц. Это утверждение выглядело логически безупречный.

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ

Разница между системой материалов частиц и сплошной средой выступает очень четко, если посмотреть, каким числом координат задается состояние системы.

Положение каждой точки в пространстве задается трея числа — трея координатми. Говорят, что материалная точка имеет три степени свободы. Если в системе входит $N$ материалов точек, то говорят, что она имеет $3N$ степеней свободы.

Такое же рассужждение можно prove и для скорости. Скорость одной точки описывается трея числа — трея компонентами вектора скорости. Скорости $N$ точек требуют для своего описания $3N$ чисел.

Сколько чисел надо задать, чтобы описать состояние поверхности моря? Строго говоря, для каждой точки поверхности надо задать три числа — вектор скорости воды в данной точке; следовательно, чисел будет бесконечно много. Поверхность моря представляется нам как система с бесконечно большим числом степеней свободы. Далее тот факт, что вода состоит из молекул, а потому число степеней свободы можно определить, состав молекулы, не обладает задачу: молекул настоящего много, что практическими число степеней свободы остается бесконечно большим. В действительности же нас не интересует движение каждой молекулы. Когда по морю бегут волны, например, от индущего корабля, то мы можем описать картину распределения волн, использую сравнительно немного чисел. Мы можем задаать величины амплитуды и фазы каждой волны; волн хотя и много, но все же меньше, чем молекул. Кроме того, картина, в основном, повторяется со временем: волны более или менее одинаковые.

В каждой волне движется много молекул, движение носит коллективный характер, и мы можем говорить о коллективных степенях свободы на поверхности моря, в отличие от индивидальных степеней свободы, скажем, отделной молекулы воды.

Такое же коллективное описание можно использовать, рассказывая о свойствах света. В частиности, мы так и делаем, когда пытаемся описать распределение энергии по спектру.

Свет — волновой процесс, и его описание проще всего выглядит с позиций волновой теории. Конечно, подобное описание света совсем неположке на описание системы точек. Здесь нет даже намека на какие-то степеней свободы — волны и частицы совсем непохожи друг на друга. Но это все-tаки не совсем так. У волн и частиц есть общие свойства. Это, прежде всего, те, которые проявляются, когда мы начинаем изучать тепловые явления и думать, как распределяется между волнами и частицами тепловой энергия.

ТЕМПЕРАТУРА
И ТЕПЛОЕМКОСТЬ

Рассмотрим газ, находящийся в нагретом состоянии. Мы знаем, что температура газа и стенок сосуда должны быть одинаковой. Если это вначаile было не так, то тепл будет до тех пор перегать от более теплого тела к более холодному, пока температуры не станут равными, то есть пока не установлен температуре равновесие между стенками сосуда и находящимся в нем газом.

Температура газа связана с кинетической энергией его atomов (мы будем для простоты говорить об одноатомном газе). Один из самыхрывов кинетической теории газа составляет $3/2 kT$, по $1/2 kT$ на каждую степень свободы, а полная энергия газа равна $3/2 NkT$, где

10

Сосуд с газом

Атомы сталькиются со стенками, и в результате установливается тепловое равновесие между газом и сосудом — газ приберетает температуру стенок. Число атомов при стольновениях не меняется. Чтобы изменить температуру газа, можно вычисить небольшую порцию через маленькое отверстие.

$N$ — число части в газе (3$N$ — полное число стененной свободы). Здесть $k$ — постоянная Больцмана ($k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ джоуль/градус); она играет роль переводного коэффициента от градусов на шкале Кельвина к джоулям. Дальше в кинетической теории газов показывают, что если есть колебания, то на каждую колебательную стенень свободы приходит энергия $kT$, вдвое больше, чем на стенень свободы, отвечающий поступательному движению. Эти утверждения, доказанные и проверенные, относятся к газу. Естественно, возможно сначала об энергии излучения?

Представим себе, что у нас есть сосуд (как говорили раньше «полость»), в котором нет газа. Однако в таком сосуде всегда будет электромагнитное поле. Электромагнитные волны излучаются и поглощаются стенками, и эта энергия как-то будет распределена по спектру. Если сосуд имеет какую-то фиксированную температуру, то распределение энергии будет, очевидно, различным при разных температурах. Мы можем изучить поле внутри сосуда, сделав в нем маленькое отверстие и выпустив пучок света.

Когда впервые начали обсуждать свойства такой «полости», то заметили, что если свет снаружи попадает в отверстие, то он, очень много раз отражится от стенок и «заблудившись», почти не будет иметь шанс совпадать наружу. Отверстие поглощает весь падающий на него свет, поэтому тело и называли «черным», а свет, который выходит из отверстия, называли «излучением черного тела» (так что «черное тело» светится!).

Представьте теперь, что «черное тело» нагревают. Когда можно задать вопрос: какое количество тепловой энергии перейдет в свет? Ответ на него был дан в конце XIX века и состоит в том, что свет, заключенный внутри «черного тела», должен находиться в тепловом равновесии со стенками сосуда. Это равновесие установливается и поддерживает процессы излучения и поглощения световых волн нагретыми стенками (сколько излучают, сколько же поглощают обратно), а количество энергии и ее спектральная плотность полностью определяются только одним параметром — температурой. Ниакого разговора о числе стененной свободы (как это было в случае газа) здесь как будто и не возникнет.

Сосуд с излучением («черное тело»)

Волны или лучи света много раз отражаются от стенок, при этом они поглощаются стенками и излучаются вновь; в результате установливается тепловое равновесие между излучением и стенками. При таких процесах число квантов не остается постоянным: количество энергии и число квантов полностью определяется температурой сосуда. Свет, выходящий из маленького отверстия в таком сосуде, будет иметь спектр «черного тела».

12

свободы, то можно дать ей красивое обьяснение. Формула Релея — Джинса имеет такой вид, как будто участок спектра $\Delta v$ содержит $8\pi v^2/c^3$ степеней свободы, на каждую из которых приходит температура $kT$. Однако эта эффективная интерпретация порочна. Число степеней свободы быстро растет, если переходит ко все большим частотам в ультрафилотовый частъ спектра (направо от максимума кривой). Это значит, что чем больше частота, тем больше энергии содержит спектр. То есть и по этой формуле все тела должны излучать электромагнитные волны с бесконечно большой частотой.

Этот страный вывод носил драматическое название «ультра-филотовой катстрофы», так как демонстрировал полный провал попыток обяснить свойства спектра, оставясь в рамках понятной классической физики.

Другую формулу предложил уже известный нам Вин в 1890 году:

$$f(v) = A v^3 e^{-\frac{b v}{T}}$$

(Правда, он писал эту формулу несколько иначе, выражая часть через длину волны.) В формуле Вина $A$ и $b$ — некоторые постоянные, связанные, как мы это увидим в дальнейшем, с постоянной Планка. Формула Вина описывает ультра-филотовый частъ спектра, но была бесплатна, когда речь заходила о длиноволновой его части.

Итак, перед работами Планка физики знали уже довольно много: площадь под кривой распределения энергии по спектру, положение максимума и форму кривой в «начале» и в «конце». Оставалось сделать последний смелый шаг. Он-то и привед крожению новой физики.

$$e^x \approx 1+x.$$

ФОРМУЛА ПЛАНКА

Сейчас трудно восстановить ход мыслея физков, живших много лет тому назад. По-видимому, Планк просто искал какую-нибудь формулу, которая объединяла бы вместе все, что было известно о спектре «черного тела». Пробуя разные подходы, он в конце концов пришел к выводу, что надо рассматривать свойства atomов, из которых состоит стенка и которые излучают свет. Гипотеза Планка состоит в том, что излучающие atoms могут иметь не любую энергию, а только энергию, равную целому числу $hv$, где $v$ — частота колебаний атома. Отсюда уже получилось, что atom может излучать свет только квантами (хотя эту связь фактически понял несколько позже).

Планк записал свою формулу так:

$$f(v) = n(v) \cdot hv,$$

где $n(v)$ — число квантов, равное $\frac{8\pi v^2}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}} - 1$

$hv$ — энергия кванта. Последняя формула может показаться несовсем точной, так как из нее $n(v)$ получается не целым. В этом ничего нет, так как формула дает среднее число квантов. Например, если в каком-то объеме половину времени есть один квант, а половину времени квантов нет совсем, то среднее число квантов равно $\frac{1}{2}$!

Формула Планка отличается от формулы Релея — Джинса тем, что ее нельзя обьясить с точки зрения степени свободы. Если считать, что каждый квант имеет три степени свободы, то число степеней свободы системы, равное $3n(v)$, оказывается функцией температуры: число степеней свободы растет с повышением температуры. Вывод абсурдный с точки зрения степени свободы частиц. Но именно в этом нарушении привченной логики и лежал выход из тупика. Ведь количество излучающих частиц может и не быть строго определенным числом; оно может изменяться с изменением условий. Это

13

особенно стало ясно, когда было открыто рождение пар: электрон — позитрон, протон — антипротон и т. д.

В тот вечер, когда Планк делал свой доклад, никто не думал о рождении новой физики. На формулу посмотрели с практической стороны и сразу же (в ночь после доклада) сравнили график, даваемый новой формулу, с кривыми, полученными из опыта. Оказалось, что формула Планка хорошо описывает весь спектр.

Для той части спектра, где ν велико, можно вычернуть единицу в знаменатель формулы, по которой вычисляется число квантов $n(\nu)$ — эта единица mala по сравнению с перым членом. тогда формула Планка превращится в формулу Вина. Из сопоставления двух выражений можно заключить, что коэффициенты в формуле Вина равны

$$A = \frac{8\pi h}{c^3} \quad \text{и} \quad b = \frac{h}{k}.$$

Планк, сравняя свою формулу с формулой Вина, дал первое значение постоянной $h$. Он получил, что $h = 6.55 \cdot 10^{-27} \text{ зре·сек.}$. Далее удивительно, как мало отличается значение $h$, вычисленное Планком, от современного, которое приведено выше.

При малых значениях $v$ в формуле Планка можно произвести следующую замену:

$$e^{\frac{hv}{kT}} \approx 1 + \frac{hv}{kT} \quad \text{если } \frac{hv}{kT} \ll 1.$$

Тогда получится в точности формула Релея — Джинса. Используя формулу Планка, можно получить и закон Стефана — Больцмана. Постоянная этого закона σ выражается через $h$ формулуой

$$\sigma = \frac{2\pi^5}{15c^2} \frac{k^4}{h^3}.$$

1 — кривая, соответствующая формуле Релея — Джинса; 2 — графическое изображение формулы Планка; 3 — кривая, которую дает формула Вина.

15

квантами, но что он сам состоит из квантов.

Излучая квант, тело теряет свою энергию, которая передается свету. Значит свет, согласно теории относительности, уносит и массу тела.

Массу кванта можно получить,скомбинировав две формулы: $E=hv$ и $E=mc^2$. Из них: $m=\frac{hv}{c^2}$. (Лучше говорить, как это принято, что квант имеет количество движения $p=mc$, то есть $p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}$. Количество движения $p$, конечно, вектор: он направлен туда, куда летит квант.) Энергия кванта связана с его импульсом соответствием $E=cp$. Таким соответствием описывается частицы, у которых равна нулю масса покоя. Если масса покоя $m_0\neq0$, то энергия и количество движения частицы связаны в теории относительной формулией $E=c\sqrt{p^2+m_0^2c^2}$.

Благодаря Эйштейну квант стал в один ряд с частицами; только он не имеет массы покоя, а потому обречен всегда летать со скоростью света.

КОМПТОН-ЭФФЕКТ

Во всем предыдущеем оставался еще один пункт, не проверенный опитом. Если квант обладает и энергейем и импульсом, то выполняются ли для него законы сохранения энергии и импульса так же, как для других частиц? И хотя в положительном ответе на этот вопросник не сомневался, все же прямая экспериментальная проверка законов сохранения была бы очень полезной. Такая проверка была осуществлена в 1925 году Артуром Комптоном, который изучал, как рассеиваются кванты света, когда они падают на покоящий электрон. Комптоон обнаружил, во-первых, что электрон испытывает от кванта импульс, а во-вторых, что квант теряет энергию и его частота уменьшается. Качественное картина была положенной на стольнове частиц. Но Комптоон показал и больше; он показал, что энергия и количество движения электрона и кванта в конце содержания как раз также, какие получаются из уравнений, описывающих законы сохранения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, начав с изучения световых волн, физики постепенно пришли к механике квантов, очень напоминающей механику Ньютона, только с теми обобщениями, которые принесла с собой теория относительнойности.

Рождение новой научки всегда проискодило так, что в ней приудливuso переплетались разные, в прошлом далеко стоящие друг от друга факты и выявлялись связи, не замечаемые ранее. Термодинамика, кинетическая теория газов, электродинамика, оптика и, наконец, теория относительной — вот тот фундамент, на котором из формулы Планка выросло значение современной физики.

ЗАДАЧИ

1. Есть сосуд — «черное тело», нагрето до температуры $6000^\circ$ К. (Подобную температуру имеет поверхность Солнца.) Определите, какое количество энергии заклононо в $1\text{ cm}^3$ внутреннему при одной и той же частице? Почему?

2. Постройте спектр энергии «черного тела» и спектр числа квантов для температуры $6000^\circ$ К. Будут ли эти кривые иметь максимы при одной и той же частице? Почему?

3. Используя построенную кривую, оцените, какое число квантов находится в $1\text{ cm}^3$ «черного тела», нагрето до температуры $6000^\circ$ К. (Для этого надо изменить площадь кривой. Почему?

4. Квант с энергейем $10\text{ квв}$ ($1\text{ квв}=1,6\times10^{-16}$ джоулей) падает на покоящийся электрон и отлегает назад. Найдите частоту падошего и отраженного кванта. Найдите энергию электрона после стольновения.