Цепные дроби

Квант 1970, №1 с. 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25 Тег M5Y4

ЦЕПНЫЕ ДРОВИ

Н. М. БЕСКИН

Еще в глубокой древности учены интересовало,
как для любого нецелого числа
найти его хорошее приближение
дробями с небольшими значениями.
В статье расссказывается о самом простом
способе нахождения таких дробей.

$\pi = \sqrt{2}$

ДВЕ ЗАГАДКИ
Загадка Архимеда.
Многие полагают: чтобы найти что-нибудь необыкновенное, надо отправиться очень далеко, лучше всего в космос. В обыделной жизни вокруг нас все хорошо известно, и ничего интересного нет.

Какое заблуждение! Мы окружены загадочными явлениями, но не задумываемся над ними, потому что они прививны. Здесь будет расссказано о двух загадочных фактах из истории математики.

Все школьники мира «проходят» в курс геометрии, что Архимед нашел для числа π приближение зна-

чение $\frac{22}{7}$ ). К этому факту так привыкли, что не подозревают, какая тайна в нем скрыта. А между тем стоит только задать естественный вопрос: почему Архимед предпочел сельные доли? Почему не восьмы? Попытка ответить на этот вопрос приведет нас в новую область арифметики.

Уточним задачу «дать приближение выражение действительного числа α в виде дроби со значением q».
Это значит: из всех дробей со значением q найти ближайшую к числу α. Если на числовой оси нанесены все дроби со значением q, то число α попадает между двумя таким соседними дробями (случай, когда α совпадает с одной из них, неинтересен)

$\frac{p-1}{q} < \alpha < \frac{p}{q}.$

Из этих двух дробей выбирается та, которая близке к α. Например, на рис. 1 точка α близке к правому концу отрезка $\left[ \frac{p-1}{q}; \frac{p}{q} \right],$ и поэтому

*) На самом деле Архимед в сочинении «Об измерении круга» сформулировал этот результат чуть-чуть иначе. Он указыл границы для л:

$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}.$

Во всеобщее употребление вошло значение $3 \frac{1}{7},$ как более простое, хотя л близке к $3 \frac{10}{71}.$

Следует принять
$\alpha \approx \frac{p}{q}.$
Если $\alpha$ есть середина отрезка $\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right]$ , то для определения условий условия выбирать его левый конец.

Процесс замены числа $\alpha$ его приближенным значением называют аппроксимации (приближением).

Из изложенного понятно, что для аппроксимации числа $\alpha$ можно пользоваться дробями с любым значением. Выбор значения зависит от нашего желания. Ради технического удобства почти всегда пользовается десятичные дробями. Однако во время нахождения десятичных дроби еще не были изобретены, и Архимед мог выgbать любые доли. Он выбрал себяемые. Почему? Терпенение, скороны в этом разберемся.

При аппроксимации действительного числа $\alpha$ дробю $\frac{p}{q}$ возникает потребность
$\Delta = \alpha - \frac{p}{q}$

(запомним: потребность есть почти значение минус приближенное). Если приближение значение взято с недостатком, то потребность положительная, а если с избытком — отрицательна.

Абсолютная величаная потребность называется абсолютной потребностью.

Ясно, что при избранном способе аппроксимации абсолютная потребция

ность не может превышать $\frac{1}{2q}$ (см. рис. 1)

$|\Lambda| \leqslant \frac{1}{2q}.$

Число $\frac{1}{2q}$ есть верхняя граница абсолютной потребности. При другом способе аппроксимации верхняя граница может быть иной. Например, если мы условились всегда брать приближение с недостатком, то она равналась $\frac{1}{q}$ .

Абсолютная потребность достигает верхней границы в том (самом неблагоприятном) случае, когда $\alpha$ есть середина потребка
$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$

Ясно, что приближение выгодно, если оно при малом значении $q$ даем высокую мощность. Чтобыxaрактизоватьвыгодность, надо сравнить две величины: 1) фактическую абсолютную потребность, 2) верхнюю границу абсолютной потребности:

$\frac{\text{абсолютная потребность}}{\text{верхняя граница абс. погр.}} = \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| : \frac{1}{2q} = 2 \cdot |q\alpha - p|.$

Принято рассматривать положину этой величины. Наозем ее приведенной потребностью
$h = |q\alpha - p|$

и запомним: приведенная потребность $h$ есть полована отношенная фактической абсолютной потребности к максимальной возможной.

Очевидно,
$0 < h \leqslant \frac{1}{2}$

Чем меньше $h$ , тем выгоднее приближение. Если $h$ близко к нулю, значит, число $\alpha$ расположено близко к одному из концов отрезка
$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$ Чем больше $h$ к $\frac{1}{2}$ , тем $\alpha$ близке к середине отрезка.

Величину

$\lambda = \frac{1}{2h} = \frac{1}{2 \cdot |q\alpha - p|}$

назовем коэффициентом выгодности. Его смысл очень прост: коэффициент выгодности показывает, во сколько раз фактическая абсолитная погрешность меньше максимального возможной. Чем больше $\lambda$ , тем выгоднее приближение. Очевидно,

$1 \leqslant \lambda < \infty,$

$\lambda h = \frac{1}{2}.$

Не следует думать, что более мелкие доли всегда дают более точное приближение! Можно сучиться, что при нанесении на числовую ось восемых долей число $\alpha$ занимает менее выгодное положение, чем при нанесении седьмых. Сделаем опыт с числом $\pi$ , аппроксимируя его разными долями — от первых до десятых. Вычисления опущены, читатель может воспроизвести их сам.

Рис. 2.

погрешность не превысила 0,0013, какие доли выбрали бы? Мы записали бы условия $\frac{1}{2q} \leqslant 0,0013$ , откуда $q \geqslant 385$ , а Архимед достит той же точности, взяв гораэд меныший знаменатель.

Теперь вы убедились, читатель, что Архимед выбрал седьмые доли не случайно?

Через много веков голландский математик Адриан Meций дал приближение

$\pi \approx \frac{355}{113}.$

Число Meция обладает теми же удивительными свойствами, что и число Архимед: знаменатель 113 гораэд

*) Вычисление дает $\lambda = \frac{1}{2 \cdot 0,0089} = 56,2$ . Чтобы правильно получить цифры десятих, надо взять $h$ с пятью цифрами после запятой

выгоднее, чем другие близлежащие значенатели. Рекомендуем читателю исследовать число Мещи так, как выше исследовано число Архимеда. Например, чем равен коэффициент выборности?

Загадка Григория XIII. Григорий XIII не был математиком Он был римским папой. Тем не менее его имя связано с важной математической задачей — с проблемой календаря.

Природа дала нам две естественные единницы времени: год и сутки (солнечные). Как сказано в одном старом учебнике космографии *) «к созеленю, год не равен целому числу суток». С этим нельзя не согласиться, так как из упомянутого факта простекает много неудобств. Зато он порождает интересную математическую проблему.

1 год =
= 365 суток 5 час. 48 мин. 46 сек.
или

1 год = 365,242199 суток.

Узаконить в гражданской жизни такую длину года невозможно. А что получится, если считать год равным 365 суткам? На рис. 3 показана ортография — так равше называющей учебный предмет, содержавший общее сведения по астрономии и физической географии.

*) Космография — так равше называющей учебный предмет, содержавший общее сведения по астрономии и физической географии.

Рис. 3.

бита Земли. 1 января 1970 г. в 0 час. Земля находится в точке А. За 365 суток она не придет в ту же точку орбиты и, следовательно, 1 января 1971 г. в 0 час. окажется в точке В, а 1 января 1972 г. — в точке С и т. д. Получится, что если фиксировать неокоторую дату, то положение Земли на орбите будет каждой годю иное (оно будет отставать почти на 6 часов).

За четые года отставание составляет почти сутки, и фиксированная дата будет попадать на разные времена года, т. е. 1 января с зимы постепенно переместится на осень, потом на лето. Это неудобно: периодические мероприятия (посев, начало учебного года) нельзя будет связывать с определенными календарными датами.

Выход из этого положения есть. Нало считать неокоторые года по 365 суток, а неокоторые по 366 суток, черезия их так, чтобы средняя длина года была возможно ближе к истинной. Можно воспроизвести истинную длину года с любой точностью, но для этого может попадиться очень сложный закон черезования коротких (простых) и длинных (високосных) лет, что нежелательно. Нужен компромисс: сравнить/no просойти закон черезования лет, дающий среднюю длину года, достаточно близкую к истинной.

Эту задачу впервые разрешил Юлий Цезарь. Разумеется, к правильному слову «разрешил» может применяться лишь условно. Это сделал для него алекандрийский астроном Созиген, вызванный для этой цели в Рим. Юлий Цезарь введет такую систему: три года подряд коротких, четвертый — длиной.

Много позже, когда было принято христанское летосщение, високоными стали считать годы, номер которых делится на 4. Этот календарь называется «юлианским». По юлианскому календарю средняя длина года составляет

$365 \frac{1}{4} \text{ суток} = 365 \text{ суток } 6 \text{ часов.}$

Заметим, что такая оценка не связана со способом обозначения целых чисел, т. е. с какой-нибудь конкретной системой численения.

Займется числом $\frac{61}{27}$ . Наша оценка «два с лишним» слишком грубая и годится лишь как первое приближение. Если мы хотим сделать второй шаг, то мы должны оценить добавку $x$ . Поскольку она меньше единиццы, естественно представить ее как дробь с числителем 1 (мы опять апеллируем к «естественности», но это — в последний раз)

$\frac{61}{27} = 2 + \frac{1}{x_1}.$

Тепер $x_1$ больше единиццы, и мы опять повторяем те же шаги: выделяем целую часть и т. д. и т. д. Приглашаем читателя внимательно проследить за чередованием этих двух шагов:

$\frac{61}{27} = 2 + \frac{7}{27} = 2 + \frac{1}{27} =$

$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{6}{7}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7}} =$

$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}}}.$

Выражение

$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s},$

где $a_1, a_2, \dots, a_s$ — натуральные числа, а $a_0$ — натуральное число или нуль, называется цепной дробью.

Числа $a_0, a_1, a_2, \dots, a_s$ называются элементами *) цепной дроби. Можно сказать, что мы представили число $\frac{61}{27}$ в виде цепной дроби.

*) Иногда их называют неполybимыми частными.

Не слишком ли громоздко обозначение цепной дроби? В нашем примере получилась трехтажаная дробь, а если получится двацатинэтажная, то ее нельзя уместить на листе бумаги.

Это верно, и поэтому для цепных дробей употребляется различные условия обозначения. Мы будем пользоваться таким:

$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s} =$

$+ \frac{1}{a_s}$

$= [a_0; a_1, a_2, \dots, a_s].$

Обратите внимание на точку с запятой. Она подчеркивает, что роль целой части $a_0$ особая, не такая, как других чисел (особая — не значит более важная, в данном случае скоре наоборот).

Можно ли утверждать, что всякое действительное *) число может быть изображено цепной дробью и притоме единственным образом?

Прежде всего задаумаемся над таким примером:

$\frac{1}{6 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + 1}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}}}$

или в сокращенных обозначениях

$[0; 6, 4] = [0; 6, 3, 1].$

Такое преобразование (отделение единиц от последнего элемента) можно произвести с любой цепной дробью, у которой последний элемент отличает от единиц. Если же последний элемент равен единице, то его можно прибавить к предпоследнему. Например,

$[1; 10, 3, 7, 1] = [1; 10, 3, 8].$

Легко, однako, доказать, что это единственная причина неоднозначности

*) Пока речь идет о положительных разнональных числах. Введение отрицательных чисел ничего не меняет в существве вопроса, а введение irrationalных чисел многое меняет. Об этом будет сказано ниже.

ти представления рационального числа целной дробью.
Можно доказать, что:

Процесс превращения рационального числа $\frac{p}{q}$ ( $p$ и $q$ взаимно простые натуральные числа) в целную дробь на некотором шаге заканчивается. Иначе говоря, любое положительное рациональное число представимо в виде $(\cdot)$ . В силу только что сказано такое представление всегда возможно и с соблюдением ограничения $a_s > 1$ .
Две целные дроби $|a_0; a_1, \dots, a_s|$ и $|b_0; b_1, \dots, b_t|$ , у которых $a_s > 1$ и $b_t > 1$ , равны друг другу в том и только в том случае, если у них одинаковое число элементов, т. е. $s = t$ и $a_i = b_i$ при $i = 1, 2, \dots, s$ .
Мы этого доказывают не будем. Цель нашей статьи в том, чтобы расказать основные идеи и побудить читателя к более основательному изучению вопроса по книгам *).

Бесконечные целные дроби. А как быть с irrationalными числами? Попробуем разлагать в целную дробь $\sqrt{2} = 1,4142\dots$ . Полячим:
$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x_1},$
$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1,$
$x_1 = 2 + \frac{1}{x_2}, \quad x_2 = \sqrt{2} + 1 = x_1.$
Ясно, что
$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$
$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$
$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$
$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$
где $x = \sqrt{2} + 1$

*) Все пропущенные здесь доказательства можно найти, например, в книжке А. Я. Хинчина «Цепные дроби», изд. 3, 1961.

Хочется сразу написать
$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}},$
$= [1; 2, 2, 2, 2, \dots].$

т. е. представить $\sqrt{2}$ в виде бесконечной целной дроби. Но здесь нужно крайная осторожность: мы встретились с новым понятием «бесконечная десятичная дробь», но не знаем, что это такое. Легко понять только, что каждому положительному irrationalному числу соответствует полное определения бесконечная последовательность
$[a_0; a_1, a_2, \dots],$
где $a_0$ — целое не отрицательное, а все $a_i$ с номером $i \geqslant 1$ — натуральные числа. Во всем относится сюда мы разберем только позже *), а пока удовлетворимся тем, что нам понятно: как по положительному числу $\alpha$ построить его формульное разложение
$\alpha \sim [a_0, a_1, a_2, \dots]$
в конечную или бесконечную целную дробь **).

Подходящие дроби. Цепную дробь можно оборвать, удержав элементы $a_0, a_1, \dots, a_n$ и отбросив $a_{n+1}, \dots$ . Полученное таким образом называется $n$ -й подходящей дробью и обозначает $\frac{p_n}{q_n}$ . В частности, при $n = 0$ имеем нулевую подходящую дробь $\frac{p_0}{q_0} = \frac{a_0}{1}$ .

Мы увидим, что, чем меньше $n$ , тем подходящая дробь проще (т. е. имеет меньше знаменатель). В то же время она может использоваться как приближенное значение целной дроби.

*) Этот вопрос будет полностью рассмотрен в одном из следующих номеров журнала.
**) «~» — знак соответствия. Мы больше поставить знак равенства, пока не установлен смысл символа, стоящего в правой части.

Пример. Возьмем опять разложение числа $\frac{61}{27}$ в целную дробь и образуем подходящие дроби

$\frac{p_0}{q_0} = 2,$

$\frac{p_1}{q_1} = [2; 3] = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3},$

$\frac{p_2}{q_2} = [2; 3, 1] = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}} = \frac{9}{4},$

$\frac{p_3}{q_3} = [2; 3, 1, 6] = \frac{61}{27}.$

Разумеется, последняя подходящая дробь разнонального числа $\alpha$ равна $\alpha$ .

Мы получили несколько постепенно условияющихся приближений для числа $\frac{61}{27}$ . Для оценки их заменим, что $\frac{61}{27} \approx 2,259$ .

1-ое приближение 2, $\Delta = 0,259$ *).

2-ое $\frac{7}{3} = 2,333, \Delta = -0,074$ .

3-е $\frac{9}{4} = 2,250, \Delta = 0,09$ .

Мы заменаем, что погрешность убывает (по абсцидной величины) и имеет чередующесся знаки. Это — общее правило.

В случае разложения в целную дробь числа $\sqrt{2} = 1,4142$ … получим

$\frac{p_0}{q_0} = 1, \text{ погрешность } \Delta = 0,4142,$

$\frac{p_1}{q_1} = [1; 2] = \frac{3}{2} = 1,5, \Delta = -0,0858,$

$\frac{p_2}{q_2} = [1; 2, 2] = \frac{7}{5} = 1,4,$

$\Delta = 0,0142,$

$\frac{p_3}{q_3} = [1; 2, 2, 2] = \frac{17}{12} = 1,4167,$

$\Delta = -0,0025,$

$\frac{p_4}{q_4} = [1; 2, 2, 2, 2] = \frac{41}{29} = 1,4138,$

$\Delta = 0,0004.$

Мы наблюдаем и здесь ту же самую картину.

*) $\Delta$ -погрешность (см. стр. 17).

Основное свойство подходящих их дробей. Сформулируем теперь без доказательства то основное свойство подходящих дробей, которое и приведет к разгадкам наших загадок.

Если $\frac{p_n}{q_n}$ — подходящая дробь для числа $\alpha$ , то абсцидная погрешность

$|\alpha - \frac{p_n}{q_n}|$

менные, чем при аппроксимации числа $\alpha$ любой дробью с меньшим значением *).

Например, получив для $\sqrt{2}$ подходящую дробь $\frac{p_3}{q_3}$ , мы можем быть уверены, что приближение к $\sqrt{2}$ любой дроби со значением, меньшим 12, будет хуже.

III. РАЗГАДКИ

Загадка Архимеда. Попробуем разложить в целную дробь число

$\pi = 3,14159265\ldots$

$\pi = 3 + 0,14159265\ldots =$

$= 3 + \frac{1}{7 + 0,00885145}.$

*) Подходящие дроби во многих отношениях дают чрезвычайно высокие приближения. Приведенное здесь свойство — не единственное и не самое главное. Другие свойства будут рассмотрены в одном из следующих номеров журнала.

Уже на этом этапе выкладок мы видим, что первый подходящий дробями будет

$\frac{p_0}{q_0} = 3, \quad \frac{p_1}{q_1} = \frac{22}{7}.$

Проделяйте сами выкладки и убедитесь, что

$\pi \approx 13; \ 7, 15, 1, 288, 1, \dots.$

$\frac{p_2}{q_2} = \frac{333}{106}, \quad \frac{p_3}{q_3} = \frac{355}{113}$

Вот и все. До чего же просто! Эта таблица раскрывает секрет Архимеда, а заодно и Меция. Из нее видно:

1-e приближение: $\pi \approx 3$ .

2-e приближение: $\pi \approx \frac{22}{7}$ .

3-e приближение: $\pi \approx \frac{333}{106}$ .

4-e приближение: $\pi \approx \frac{355}{113}$

(нечетные приближения с недостатком, четные — с избытком).

Можно ли считать, что Архимед и Меций разоблачены: они пользовались цепными дробями, Архимед использовал вторую подходящий дробь, а Меций — четвертую?

Нет, про Архимед этого сказать нельзя.

Следуетясно понять, что мы решили математическую, но не историческую задачу. Мы обьясили, как можно прийти к числу $\frac{22}{7}$ .

Весьма возможно, что Архимед пользовался цепными дробями, но установить это по его работам нельзя. Суд не признал бы наших доводов. Историки не пришли к единому мнению. Преимущество седьмых долей можно обнаружить и эмпирические, сравнимая их с разными другими.

Другое дело Меций. Невероятно предположить, что такая сложная дробь, как $\frac{355}{113}$ , найдена без теории. Очень вероятно, что Меций пользовался цепными дробями. Понятно почему он остановился на четвертой подходящей дроби: следующее настоящее громоздки, что практически непригодны.

Загадка Григория XIII. Сначала подумаем, как мы сами решили бы проблему черезования високосных лет. Мы представили бы длину года в виде цепной дроби.

$1 \text{ год} = 365^2 5^4 48^3 46^2 = 365,242199^2 = 1365; 4,7,1,3,5,20,6,12]^2.$

Причем не. Л — irrationalное число. Оно разлагается в бесконечную целую дробь. Величина года — эмпирическая. Всякая эмпирическая величина изменяется лишь с определенной точностью, и говорить об ее рациональности или irrationalности не имеет смысла. Приведенная выше величина года — приятая, и мы должны считать ее точной. Она выражается конечной целой дробью.

Находим несколько первых подходящих дробей:

$\frac{p_0}{q_0} = 365,$

$\frac{p_1}{q_1} = 365 + \frac{1}{4} = 365 \frac{1}{4},$

$\frac{p_2}{q_2} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7}} = 365 \frac{7}{29},$

$\frac{p_3}{q_3} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1}}} = 365 \frac{8}{33},$

$\frac{p_4}{q_4} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}} = 365 \frac{31}{128}.$

Какая подходящая дробь дает решение проблемы календаря. Например, приближение $365 \frac{1}{4}$ приводит к решению Юлия Цезаря: один високосный год из каждой четырех. Пользоваться приближением $365 \frac{7}{29}$ никто не предлагал, по-видимому, потому, что следующее приближение

365/33 лишь немного сложнее, но значительно точнее. Календарь, по которым высокосимми должны были считаться восемь лет из каждой тридцати трех, был предложен вликом туркмено-персидским философом, математиком, астрономом и поэтому Омаром Хайямом (1040—1123).

Сведения о точности найденных приближений к истинной динегаданы в следующей таблице.

| № приближения | Чередование высокосных лет | Средняя длина года | Погрешность |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | 1 высокос. из каждой 4 | 365ᵃ 6ᵃ 00ᵃ 00ᵇ | -11ᵃ 14ᵇ |
| 2 | 7 》》》 29 | 365ᵃ 5ᵃ 47ᵃ 35ᵇ | +1ᵃ 11ᵇ |
| 3 | 8 》》》 33 | 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 05ᵇ | -19ᵇ |
| 4 | 31 》》》 128 | 365ᵃ 5ᵃ 48ᵃ 45ᵇ | +1ᵇ |

В графе «Погрешность» знак минус указывает, что средняя длина года больше истинной.

Четвертый вариант исключительно точен. Погрешность в 1 сек. не имеет никакого практического значения. Поэтому были предложения использовать этот календарь. Например, в 1864 году русский астроном Medлер предложил с XX столетия ввести такой календарь в России. Для этого надо ввести в юлианский календарь следующую поправку: каждый 128 лет пропускать один высокосный (потому что по юлианскому календарю на 128 лет приходится 32 высокосных). Однако этот календарь не был принят нигде в мире, по-видимому, потому что период 128 «некруглый».

Решив математическую задачу, вернемся к задаче исторической. Каковы были сообщения Григория XIII (или его сотрудников)?

В начале статьи говорилось, что средняя длина григорианского года 365 суток 5 час. 49 мин. 12 сек.

Это значение отличяется от истинного на целых 26 секунд. Получается впечать, что пада Григорий XIII или его учены советники придумали ка—

номей (недаром его произвали Альфонс-астроном). Эти таблицы впервые были изданы в Венецин через сто лет после смерти их автора. В них дается следующая продолжительность года:

1 год = 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 16ᵇ.

Пользоваться этим таблицами, комиссия должна быть прийти к выводу, что предложенная его средняя длина календарного года только на четыре секунды отличается от истинной. Если бы комиссия и была знаком с предложением Омара Хайяма, то она пришла бы к выводу, что его календарь дает ошибку в 11 секунд.

Добавим, что нет никаких оснований предполагать, что комиссия Григория XIII использовала целые дроби. Она кропотливо, в NOTE лица подбирала нужное соответствие.

Что касается Омара Хайяма, то учены думают, что он владел, если не полной теорий целых дробей, то каким-либо аналогичным принципальным подходом к задачам о наиболее рациональных приближениях дробями с небольшими значениями. В его эпоху восточная наука во многих отношениях стояла выше европейской.