Физико-математические школы-интернаты

58

ФИЗИКО-MАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ-ИНТЕРНАТЫ

ШестЬ лет тому назад при четырех крупнейших университетах страны были созданы физико-математические школи-интеграты. Их задача — помочь подросткам из сель и перipherийных городов найти дорогу к математической и физической науки. Конечно, никто не обещает всем принять в интеграат, что они станут учеными. Но здесь готовят людей, которые по мере своих сил будут участвовать в програмсе науки.

Ленинградский интеграат принimaет ребят из Латвийской, Литовской и Эстонской ССР и сельно-западных областей РСФСР, Новосибирский — из областей Сибири и среднеазатских ресурсных, Киевский — Украины и Молдавин. В Московский интеграат принimaются учащиеся центральных областей РСФСР и Белоруссии.

Отбор кандидатов и экзамены в интеграаты начинаются по областям одновременно с физическими и математическими олимпiadами (как правило, в дни весенних каникул). Точные данные и порядок приема можно узнать в области отдельных народного образования.

Остановимся подробнее на Московском интеграате. Он принimaет учеников в 9 и 10 классы. Большинство его учеников в порядке общего конкурса поступает на механико-математический или физический факультет Московского университета или в Московский физико-технический институт. Многие ученики первого выпуска уже поступили в асспартамент, а не которые еще студентами опубликовали интеграемые самостоятельные работы.

Мы радуемся, если кто-либо из наших учеников проявляет признаки особенного яркой одаренности, но не стремимся выловить лишь исключительные таланты. От всех поступающих требуется только увлечение научкой и готовность трудиться значительное больше, чем подчас это принято у старшеклассников, которые ученье дается сравнительно легко, а более интересны футболь или танцы. Впрочем, футболь и туризмом занимаются как наши ученики, так и молодые преподаватели. Между девятьим и десятьим классом ребята по своему желанию едут работать в совхозы Кавказа и Крыма и после трудовых недель путешествуют.

Лекции в интеграате читают профессора и преподаватели Московского университета и физико-технического института, а занятия в значительной части ведут преподаватели, асспранты и наболее способные студенты этих видов. Оборудование физических лабораторий (их много, по разным разделам физики) позволяет вести серверную работу, вплоть до выполнения сравнительно простых заданий для научных институтов.

В интеграаты довольно большей конкурс, но уровень требований не так высок, чтобы каждому любящему математнику и физнику не стонло попробовать в них попасть (см., например, приведенные на следующей странице задачи для поступающих в 9 и 10 классы в Московский интеграат в 1969 году). В сами же интеграх, кроме квалифицированного преподавания, вы найдете товарищескую среду способных и увлеченных научкой юных математиков и физков — среду, в которой особенно приятно и весело работать.

Преподаватели Московского интеграата
А. Н. Колмогоров, В. А. Гусев,
А. А. Егоров, Е. Л. Сурков

59

ЗАДАЧИ
НА ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНАХ

Вариант
для построаюших
в 9 класс

1. Решить систему уравнения
   $$\begin{cases} x^3 + y^3 = 9, \\ x^2y + y^2x = 6. \end{cases}$$

2. В треугольнике ABC точки P, Q и R являются основаниями высот, опущенных из вершин A, B и C соответственно. Доказать, что $\angle ABQ = \angle APR$.

3. В каком году родились люди, которые в 1969 году исполнили столько лет, какова сумма цифр их года рождения?

4. Почему туман, состоящий из капель прорачной воды, нерозрачен?

5. Наружных весах установлен стакан с водой. В воде плавает пробка объемом V и плотностью p. Пробку пальцем заталкивает под воду так, что она полностоято погружается. Что показут весы?

Вариант
для построаюших
в 10 класс

1. Решить систему уравнения
   $$\begin{cases} x(y + z) = 3, \\ y(x + z) = 4, \\ z(x + y) = 5. \end{cases}$$

2. В трапеции ABCD с основаниями AD=a, BC=b (a>b) проведены отрезок MN, параллельный основанием и делящий площадтрапецин пополам. Найти длину этого отрезка.

3. Найти все пары целых чисел x и y, удовлетворяющие уравнению
   $$x^2 - 6xy + 5y^2 = 11.$$

4. На дне одного из сообщающихся сосудов лежит поршень весом P. Сила треня его о стенки равна F. Сколько воды нужно наlintь в другой сосуд, чтобы поршень подвинулись до высоты h?

5. На ленту транспортера классит без начальной скорости ящик. Лента движется со скоростью v. Козффициент треня k. Какой путь проделает ящик относительно ленты до тех пор, пока его скорость не станет равной v?

6. Найти сумму квадратов корней уравнения, не решая его:
   $$x^2 + px + q = 0.$$

7. Какое из двух чисел больше: $2^{300}$ или $3^{200}$?

8. Дан график квадратного трехчлена y=ax²+bx+c. Каковы знаки чисел a, b и c?

9. Доказать, что сумма медиан треугольника меньше периметра и больше $\frac{3}{4}$ периметра этого треугольника.

10. Основания трапецин a и b (a>b). Найти длину отрезка, параллельного основаниям трапецин, проходящero через точку пересечения диагоналей и заключенного между ее сторонами.

11. Доказать, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырехугольника как диаметрах, полностью покрыют четырехугольник.

12. Две окружности радиусов r₁ и r₂ касаются данной прямой. Найти геометрическое место точек пересечения их общих внутренних касательных при условии, что окружности могут двигаться по данной прямой произвольным образом.

13. В стакане с водой плавает кусок льда, в котором внутри вкраплен кусочек свинина. Лед растаял. Как изменится уровень воды в сосуде?

14. Пушка стрелляет под углом α. Начальная скорость снаряда v. На расстоянии L от пушки поставлен экран, от которого снаряд упруго отражается. На каком расстоянии от пушки он упадет?