[Задачи М1—М5; Ф1—Ф4]

52

ПО MATEMATIKE

M1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес*), приблизилось время новых президентских выборов. В странеровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлорес. Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы казались демократическими. «Демократическим голосованием» Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиают на несколько равных групп, затем каждая из этих групп вновь разбиается на некоторое количество равных групп, затем эти последние группы снова разбиаются на равные группы и т. д.; в самых мелких группах выбирают представителя группы—выборщика, затем выборщика выбирают представитель для голосования в еще большей группе и т. д.; наконец, представители самых больших групп выбирают представителя. Мирафлорес делит избирателей на группы, как он хочет, и инструкрует свои стороны, как им голосовать. Сможет ли он так организовать «демократические выборы», чтобы его избрали преидентом? (При равенстве голосов побеждает опозиция.)

XXXII Московская математическая олимпиада

*) См. О’ Генри, Короли и капуста. Избранные произведения в двух томах, ГИХЛ, 1955, т. 1, стр. 7.

52

Ниже публикуется несколько задач по математике и физике, которые начинаяот Задачник «Кванта». Многие из них довольно трудны. Лучшие решения этих задач, предложенных читателями, будут опубликованы в журнале.

M2. Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности $\gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_n$ радиуса $r (n \geqslant 3)$. Окружность $\gamma_0$ касается всех окружностей $\gamma_1, \dots, \gamma_n$; кроме того, касаются друг друга окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$; $\gamma_2$ и $\gamma_3$; …; $\gamma_n$ и $\gamma_1$. При каких $n$ это возможно? Вычислить соответствующий радиус $r$.

XVIII Математическая олимпиада
Чехословаки

Рис. 1.

M3. На рисунке 1 плоскость покрыта квадратами пя т и цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в верхинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

53

На рисунке 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решетки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное построение?

Примечние. В первой задаче число цветов может равнять единицу (все квадраты одного цвета) и двумм (как на шахматной доске). Во второй задаче вы без труда найдете решения с одним цветом и с треем цветами. Желательно дать полное решение задач, т. е. описать все раскраски, удовлетворяющие указанным условиям.

Рис. 2.

ловиям. Присылайте, однako, и неполные решения, если они показутся вам интересными. Подумайте, например, существует ли во второй задаче решение с тринадцатью цветами?

А. Н. Колмодоров

М4. Дан отрезок AB. Найти на плоскости множество точек C таких, что в треугольнике ABC медиана, про-
веденная из вершины A, равна высоте, проведенной из вершины B.

XXXII Московская математическая олимпiadа

М5. В множестве E, состоящем из n элементов, выделены m различных подмножества (отличных от самого E) так, что для каждой двух элементов E найдетсяровно одно из данных подмножества, в котором входят оба эти элемента.

Доказать, что m≥n. В каких случаях возможно равенство?

Н. Бурбаки

ПО ФИЗИКЕ

Ф1. Три сообщающихся сосуда с водой, центры которых находится на одинаковом расстоянии a друг от друга, прикрыты поршнями одинаковой толщины, сделанных из одного и того же материалов (рис. 3). К поршням прикреплены вертикальные одинаковые штоки, которые шарнирно соединены со стержнем AB. В какой точке стержня можно прикреплить к нему груз, чтобы в положении равновесия стержень оставался горизонтальным, если массы стержня и штоков пребрежимо малы по сравнению с массами поршней и груза. Диаметры сосудов указаны на рисунке.

Ф2. На горизонтальной плоскости лежат два шарика с массами m₁ и m₂, скрепленные между собой