Bài toán M131—M135; F143—F147

38

VẤN ĐỀ LƯỢNG LƯỢNG
Bài toán

Vui lòng gửi Lời giải bài toán từ “Bài toán Kvant không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số báo tương ứng hết bản in. Trên phong bì sau địa chỉ của tạp chí, viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi (ví dụ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, “Science”, tòa soạn tạp chí «Kvant», “Bài toán Kvant M131, F134). Ở phần đầu của bức thư, vui lòng bao gồm họ, tên, tên đệm, mã zip gồm sáu chữ số và địa chỉ (cũng như trường và cấp lớp của bạn).

Sao xuất sắc khó hơn bài toán.

M131. Chứng minh rằng bốn điểm tại đó bissertis của các góc giữa phần kéo dài của các cạnh đối diện của một tứ giác nội tiếp cắt các cạnh của nó là các đỉnh của hình thoi (Hình 1).

Muram Urtembaev, học sinh lớp 10, trường số 56, Almaty

M132. Cho $n$ số $x_1, x_2, \ldots, x_n$ được viết xung quanh một vòng tròn, mỗi số bằng $(+1)$ hoặc $(-1)$ và tổng của $n$ phản ứng theo cặp là 0 (như đã cho)

M93, tr. 42) và nói chung đối với mỗi $k=1, 2, \ldots, n-1$ tổng của $n$ cặp số đối lập nhau cách nhau bởi $k$ vị trí bằng 0 (nghĩa là $x_1x_3+x_2x_4+\ldots=0, x_1x_4+x_2x_5+\ldots=0$, v.v.); ví dụ về $n=4$ dan trong Hình 2).

a) Chứng minh rằng $n$ là bình phương của một số nguyên.

6)* Có bộ số $n$ như vậy cho $n=16$ không?

(Chúng tôi không biết câu hỏi đầy đủ lời giải: để làm gì mà $n$ tập hợp số như vậy tồn tại.)

M133. Một trong những sinh vật đa bào đơn giản nhất, tảo Volvox, là một lớp vỏ hình cầu bao gồm chủ yếu là các tế bào hình bảy cạnh, lục giác và ngũ giác (nghĩa là các tế bào có bảy, sáu hoặc năm kết nối với nhau; mỗi tế bào

39

Ba ô hội tụ tại “đỉnh” (Hình 3). Có những mẫu vật có cả tế bào hình tứ giác và hình bát giác, nhưng các nhà sinh học nhận thấy rằng nếu không có những tế bào “không chuẩn” như vậy (có ít hơn năm và nhiều hơn bảy cạnh), thì các tế bào hình ngũ giác luôn lớn hơn chính xác 12 tế bào hình bảy cạnh (tổng cộng có thể có vài trăm, thậm chí hàng nghìn tế bào). Bạn có thể giải thích sự thật này?

V. Maresin

M134. Tập hợp các điểm nào lấp đầy trọng tâm của các tam giác có ba đỉnh lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC và AC của tam giác ABC cho trước?

L. G. Makarov

M135*. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n>1$ đẳng thức
$$\sin x \sin \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \sin \left( x + \frac{2\pi}{n} \right) \times \cdots \times \sin \left( x + \frac{(n-1)\pi}{n} \right) = c_n \sin nx,$$ trong đó $c_n$ là một số nào đó (tùy thuộc vào $n$) và tìm $c_n$.

V. Maresin

F143*. Máy bay đáp xuống làn đạn của tàu sân bay với tốc độ 100 km/h. Sau khi vướng vào dây phanh, máy bay chạy được 50 m cho đến khi dừng hẳn. Xác định tình trạng quá tải khi hạ cánh nếu hệ số đàn hồi của dây không thay đổi khi nó giãn ra. Trọng lượng phi công 70 kg.

F144. Tỷ lệ của hình tam giác với sàn là bao nhiêu để nó đứng vững như trong Hình 4? Chiều dài sợi dây giữ thanh bằng chiều dài của thanh.

I. A. Zaitsev

F145. Khí lý tưởng lần đầu tiên chuyển từ trạng thái 1 ($P_1, V_1, T_1$) sang trạng thái 2 ($P_2, V_1, T_2$). Sau đó, từ trạng thái 2, khí chuyển từ từ và ngẫu nhiên (không có nguồn cung cấp từ cơ thể) sang trạng thái 3 ($P_3, V_3, T_3$). Được biết, trong quá trình chuyển tiếp 2→3, khí thực hiện công bằng với lượng vật truyền cho khí trong quá trình chuyển đổi 1→2.

Cơm. 3.

Hãy chứng minh rằng $T_3 = T_1$. Vẽ các tiến trình 1→2 và 2→3 trên mặt phẳng VT.

F146. Có một pin với e. d.s. 100 V và điện trở trong 2 ohm. Khi tải bạn cần có điện áp 20 V và khi điện trở tải thay đổi từ 50 đến 100 ohm, điện áp trên nó sẽ thay đổi không quá 2%. Hãy nghĩ ra một mạch điện đơn giản để cấp nguồn cho tải và tính toán các thông số của mạch này.

A. R. Zilberman

F147 *. Trong mô hình nguyên tử của Rutherford và Bohr, các electron quay quanh hạt nhân theo những quỹ đạo tròn cụ thể. Khi chuyển động từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác, gần hạt nhân hơn, nguyên tử sẽ phát ra một photon. Năng lượng và tần số do một nguyên tử hydro phát ra trong quá trình chuyển đổi của electron từ quỹ đạo có bán kính $r_1=2,1\cdot 10^{-8}$ cm sang quỹ đạo có bán kính $r_2=5,3\cdot 10^{-9}$ cm là bao nhiêu?

S. M. Kozel