Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1971

56

Tùy chọn 1

1. Thể tích của hình nón hình chữ nhật là $V$. Một paramid được ghi trong một hình nón, ở đáy của nó là một tam giác đều có góc giữa các cạnh bằng $\alpha$. Tìm thể tích của paramid.

2. Không giải phương trình
   $$x^2 - 2x - 15 = 0,$$
   tính tổng bình phương và tổng lập phương của các nghiệm của nó.

3. Giải phương trình:
   $$\mathrm{tg} 2x \cdot \cos 3x + \sin 3x + \sqrt{2} \sin 5x = 0.$$

4. Giải bất đẳng thức:
   $$(3x - 1)\log_2 x > 0.$$

Tùy chọn 2

1. Một paramid thông thường được nội tiếp trong một quả bóng, cạnh bên của nó tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng của đế. Âm lượng của paramid là $V$. Tìm khối lượng của quả bóng.

2. Giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} 10^3 - \lg(x - y) = 250, \\ \sqrt{x - y} + \frac{1}{2} \sqrt{x + y} = \frac{26 - y}{\sqrt{x - y}}. \end{cases}$$

3. Giải phương trình:
   $$(1 + \cos 4x) \sin 2x = \cos^2 2x.$$

4. Giải bất đẳng thức:
   $$\frac{x + 2}{5^{3-x}} > 25.$$

Học viện Bách khoa Kuibyshev được đặt theo tên của V.V. Kuibyshev

Khoa Tự động hóa và Công nghệ thông tin đo lường

1. Một mặt phẳng được vẽ đi qua đỉnh của một paramid tam giác đều và điểm giữa hai cạnh của đáy. Xác định diện tích của phần và thể tích của các phần của paramid mà nó được chia cho phần đó, biết cạnh của đáy $\alpha$ và góc $\alpha$ tạo bởi mặt phẳng của phần đó với đáy.

2. Giá của 70 bản của tập đầu tiên và 60 bản của tập thứ hai là 230 rúp. Trên thực tế, đối với tất cả những cuốn sách này, 191 rúp đã giảm do thực hiện giảm giá: ở tập đầu tiên - 15% và ở tập thứ hai - 20%. Tìm giá gốc của mỗi tập.

3. Giải phương trình:
   $$9^x - 2^{x + \frac{1}{2}} = 2^{x + \frac{7}{2}} - 3^{2x - 1}.$$

4. Giải bất đẳng thức:
   $$(\log_{\sin x} 2)^2 < \log_{\sin x} (4 \sin^3 x).$$

Khoa Kỹ thuật Điện

1. Một hình nón nội tiếp vào một quả cầu có bán kính $R$, tạo thành một hình nón tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của hình nón.

2. Tìm ba số tạo thành một cấp số nhân, tổng của chúng là 56. Biết rằng nếu cộng các số 7, 12 và 9 tương ứng vào các số này, bạn sẽ được ba số tạo thành một cấp số cộng.

3. Giải phương trình:
   $$\lg \sqrt{x + 3} = 1 - 0.5 \lg (x + 24).$$

4. Tìm miền xác định của hàm:
   $$y = \frac{2}{\sqrt{4 \sin x \cos x - 1}}.$$

Viện Công nghiệp Hóa dầu và Khí đốt Moscow mang tên I. M. Gubkin

Tùy chọn 1

1. Hai công nhân được giao nhiệm vụ sản xuất một lô sản phẩm giống hệt nhau. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì kết quả là họ đã hoàn thành được 5/9 công việc. Sau khi cùng nhau làm việc thêm 4 giờ nữa, họ xác định rằng mình còn 1/18 tổng công việc phải hoàn thành. Hỏi mỗi công nhân làm riêng lẻ trong bao nhiêu giờ sẽ hoàn thành xong công việc?

2. Giải phương trình:
   $$\sqrt[3]{x - 1} \sqrt[3]{3^{10x + 5}} = 3x - 9 \sqrt[3]{27^{3x - 7}}.$$