Bài toán

55

NHIỆM VỤ

1. Tìm tất cả các tam giác có cạnh nguyên có diện tích bằng số với chu vi.
2. Có hai phân đoạn không song song $AB$ và $CD$ trên mặt phẳng dữ liệu. Xây dựng một điểm $P$ sao cho các tam giác $PAB$ và $PCD$ bằng nhau và các góc $APB$ và $CPD$ bằng nhau.
3. Cho một hình tam giác $ABC$. Xây dựng một điểm $M$ sao cho nếu $A_1, B_1, C_1$ là giao điểm của các đường thẳng $BC$ và $AM, CA$ và $BM, AB$ và $CM$ thì $M$ là trọng tâm của tam giác $A_1B_1C_1$. Tổng quát hóa bài toán cho trường hợp $M$ là trọng tâm của hệ các khối lượng cho trước $m_A, m_B, m_C$ đặt tại các điểm $A_1, B_1, C_1$.
4. Cho một hình tam giác $ABC$. Ở độ cao của nó, các đoạn $AA_1, BB_1, CC_1$ được đặt, có độ dài tương ứng $l$, $m$, $n$. Tìm mặt phẳng của tam giác $A_1B_1C_1$.
5. Chứng minh rằng với mọi tam giác bên phải thì bên trái không bằng nhau $p^2 - bc > S\sqrt{3}$ ($a, b, c$ là độ dài cạnh, $p$ là nửa chu vi, $S$ là diện tích tam giác).
6. Cho một hình tam giác $ABC$. Chúng ta vẽ một đường tròn có tâm $A$ và bán kính bằng chiều cao $AD$, đồng thời vẽ một đường thẳng đi qua các giao điểm của đường tròn này với các cạnh $AB$ và $AC$. Chúng ta sẽ thực hiện cách dựng tương tự cho hai đỉnh còn lại của tam giác. Chứng minh rằng các đường thẳng kết quả cắt nhau tại các điểm $A_1, B_1, C_1$ sao cho

1. các điểm $A_1, B_1, C_1$ nằm trên các đường phân giác của các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$;
2. tam giác $A_1B_1C_1$ giống tam giác có các đỉnh là điểm tiếp tuyến của cạnh tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp;
3. tâm của đường tròn nội tiếp $ABC$ là giao điểm các đường cao của tam giác $A_1B_1C_1$.