định lý Pythagore

18

V. N. Berezin

Số phận của các định lý khác và bài toán thật đặc biệt…Ví dụ, làm thế nào để tuyên bố sự quan tâm đặc biệt của các nhà toán học và những người yêu thích toán học đối với định lý Pythagore? Tại sao nhiều người trong số họ không hài lòng với những bằng chứng đã biết mà lại tìm ra bằng chứng của riêng mình, nâng năm con số tương đối rõ ràng lên con số vài trăm?

Khi nói đến định lý Pythagore, cái phi giáo dục đã bắt đầu bằng tên của nó. Người ta tin rằng không phải Pythagoras là người đầu tiên xây dựng nó. Người ta cũng tin rằng ông đã đưa ra bằng chứng về điều đó. Nếu Pythagoras là người thật (một số người thậm chí còn nghi ngờ điều này!), thì rất có thể ông ấy đã sống ở thế kỷ thứ 6-5. BC e. Bản thân ông không viết gì cả, tự gọi mình là một triết gia, nghĩa là, theo cách hiểu của ông, có nghĩa là “phấn đấu cho trí tuệ” và thành lập Liên minh Pythograean, nơi các thành viên nghiên cứu âm nhạc, thôi miên, toán học, vật lý và thiên văn học. Rõ ràng, ông cũng là một cây đàn organ tuyệt vời, bằng chứng là truyền thuyết sau đây liên quan đến thời gian ông ở thành phố Croton: “Lần xuất hiện đầu tiên của Pythagoras trước người dân ở Croton bắt đầu bằng một bài phát biểu trước những chàng trai trẻ, trong đó ông rất nghiêm khắc nhưng đồng thời vạch ra một cách quyến rũ những chỉ định của những chàng trai trẻ đến mức những người lớn tuổi trong thành phố yêu cầu không để họ thiếu danh dự. Trong bài phát biểu thứ hai này, ông chỉ ra tính hợp pháp và sự trong sạch của các quyền là nền tảng của gia đình; và phụ nữ. Hậu quả của những ngày phát biểu cuối cùng, trong đó ông đặc biệt lên án Nga, là hàng ngàn bộ váy quý giá đã được chuyển đến đền thờ Hera, hoặc không một chú rể nào dám trưng bày chúng trên đường phố nữa…” Tuy nhiên, ngay cả trong thế kỷ thứ hai của thời đại chúng ta, tức là 700 năm sau, những con người thực sự đã sống và làm việc trên cánh đồng, những nhà khoa học kiệt xuất rõ ràng chịu ảnh hưởng của Liên minh Pythogrean và hết sức tôn trọng thực tế là, theo truyền thuyết, Pythagoras đã được tạo ra.

Cũng không còn nghi ngờ gì nữa rằng sự quan tâm đến định lý này là do nó chiếm một trong những vị trí trung tâm trong toán học, và bởi sự hài lòng của các tác giả của chứng minh, những người đã vượt qua khó khăn, mà nhà thơ La Mã Khá Horace Flask, người sống trước thời đại chúng ta, đã nói rất hay: “Thật khó để diễn đạt rõ ràng những sự thật nổi tiếng”.

Ban đầu, định lý thiết lập sự tương ứng giữa diện tích các hình vuông dựng trên cạnh huyền và các cạnh của một tam giác vuông: một hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng các bình phương dựng trên các sao chổi. Định lý này được chứng minh trong công thức này bằng cách sử dụng các hình vẽ ở trang đầu tiên của trang bìa. Ở đây, ở hình phía trên bên trái, một hình tam giác bên phải được đánh dấu bằng các đường đứt nét, ở hai chân và cạnh huyền mà các hình vuông được dựng, trên cạnh huyền

19

tenuze - hướng ngoại, trên chân - nội bộ của hình tam giác. Các cạnh của những hình vuông này được tiếp tục ở bất cứ nơi nào một trong các hình vuông chồng lên hình kia. Trong trường hợp này, một số hình tam giác, hình thang và một hình vuông có đầu đã được hình thành. Các hình bằng nhau được sơn cùng một màu. Thực tế là tam giác hình thành từ hình thang màu đỏ và hình thang màu vàng có kích thước bằng nhau (hơn nữa, đối xứng) với tam giác hình thành từ hình thang màu tím và hình thang màu xanh lá cây được làm nổi bật bởi mảnh ở góc trên bên phải.

Ở phần dưới của bức tranh, trên hai chân của một hình tam giác vuông (màu trắng), các hình vuông tương tự được xây dựng bên ngoài. Trên đường đi, ở một trong số đó, hình tam giác màu xanh tím được thay thế bằng hình tam giác màu đỏ-vàng có kích thước bằng nhau. Không khó để Telery chứng minh rằng một hình gồm hai hình vuông được xây trên các cạnh của một tam giác vuông có kích thước bằng một hình vuông được xây trên cạnh huyền của tam giác này. Để làm điều này, chúng ta một lần nữa thay hình thang màu xanh lá cây cùng với hình tam giác màu tím bằng hình thang màu đỏ bằng một hình tam giác phẳng và thay thế hình thu được là hình vuông bằng hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền của tam giác vuông này. Điều này cũng chứng minh định lý Pythagore.

Đây là một bằng chứng khác sử dụng tính tương đương. Trong Hình 1, đoạn màu xanh lá cây bằng một trong các hình vuông của tam giác vuông nằm ở cuối hình vẽ, còn tam giác màu đỏ là tam giác đều và thẳng. Sau khi chứng minh rằng góc giữa hai đường cắt - bên trái và bên dưới - là thẳng, chúng ta thấy từ các phần của hình này, là phần giao của một hình vuông và một tam giác vuông đều, chúng ta có thể cộng hai hình vuông hoặc một. Hơn nữa, trong trường hợp thứ hai, cạnh của hình vuông bằng cạnh huyền của tam giác rất riêng tư này. Giá đỡ bản lề trong Hình 2 cho thấy tam giác vuông đại diện cho một nửa hình màu đỏ đã bị cắt bỏ và xoay 135° so với điểm “bản lề”. Hình 3 sử dụng Hình 1. Một lần nữa, gần các điểm bản lề, các hình tam giác tách biệt được xoay 135° mỗi hình.

Cách tiến hành chứng minh định lý trong trường hợp phần tứ giác nhỏ hơn một nửa phần lớn hơn, bạn có thể dễ dàng tự mình xác định.

Hình học hiện đại thiên về công thức số học của định lý Pythagore, cụ thể là: nếu các cạnh của một tam giác vuông thay đổi giống nhau thì

20

Cơm. 4.

thì bình phương của số biểu thị cạnh huyền bằng tổng bình phương của các số biểu thị chân. Tóm lại: bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của các catat. Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành hai chứng minh cũng sử dụng công thức.

Hình 4 hiển thị một hình vuông có bốn hình tam giác vuông bằng nhau được đánh dấu trên đó. Chính từ hình vẽ này mà nhà toán học Ấn Độ Bhaska-Acharna đã đưa ra chứng minh của mình vào thế kỷ 12.

Giả sử cạnh của hình vuông lớn (cũng là cạnh huyền của tam giác vuông, được tô màu vàng ở đây) bằng $c$. Giả sử hai katat của nó lần lượt bằng $a$ và $b$. Sau đó, theo hình vẽ, $(a-b)^2 + \frac{4ab}{2} = c^2$, tức là $c^2 = a^2 + b^2$. Do đó, nếu tam giác vuông thì tổng bình phương của các catata thực của nó bằng bình phương cạnh huyền.

Trong Hình 5, một trong ba tam giác vuông đã cho là tam giác bao quanh. Cả ba hình tam giác đều giống nhau theo từng cặp. Đây là chìa khóa để chứng minh, hoặc diện tích của các hình tương tự, được xây dựng tương ứng trên các catata và cạnh huyền của một tam giác vuông đã cho, đều có cùng tỷ lệ với diện tích của các hình vuông được xây dựng trên các catata và cạnh huyền này. Nói cách khác, với sự trợ giúp của hình, chúng ta thu được đẳng thức $ka^2 + kb^2 = kc^2$, trong đó $a$ và $b$ là các catata của tam giác xung quanh, $c$ là cạnh huyền của nó, $k$ là một số bằng tỷ số giữa diện tích của tam giác bao quanh với diện tích hình vuông xây trên cạnh huyền của nó. Giảm cả hai vế của đẳng thức đi $k$, kết quả là chúng ta thu được định lý Pythagore.

Cơm. 6.

Cơm. 7.