Hình học bài toán

57

Bài 10. Đâu là số phức z mà bất đẳng thức
$$|z+2|a^2-2|z+2|a+1>0$$
(7) đúng với mọi giá trị thực của a?

Lời giải. Nếu $z=-2$, thì bất đẳng thức (7) có dạng $1>0$ và rõ ràng là đúng với mọi giá trị thực của a. Nếu $z\neq-2$ thì (7) là bất đẳng thức bậc hai đối với a. Vì trong trường hợp này $|z+2|>0$, thì bất đẳng thức này sẽ đúng với mọi a trong những trường hợp đó và chỉ trong những trường hợp khi phân biệt của tam thức bậc hai là âm, nghĩa là, nếu
$$|z+2|^2-|z+2|<0.$$
Từ đây ta thu được ngay bất đẳng thức kép
$$0<|z+2|<1.$$
Xét rằng ngay cả khi bất đẳng thức $|z+2|=0$ (7) được thỏa mãn với mọi a, chúng ta kết luận rằng các số phức cần tìm sẽ lấp đầy phần bên trong của hình tròn bán kính 1 với tâm tại điểm $(-2, 0)$.

Bài tập

1. (MSU, Khoa Địa chất, 1961). Với giá trị thực nào của x và y thì các số $-3+ix^2y$ và $x^2+y+4i$ được biểu thị bằng các điểm đối xứng qua trục hoành?
2. (MSU, Khoa Kinh tế, 1970). Đâu là số phức z thỏa mãn điều kiện $|z|-z=1+2i$?
   Cho biết vị trí của số phức z thỏa mãn hệ thức sau:
3. $|i-1-2z| \geq 9$;
4. $|z-i|=|z+i|=|z-1+i|$;
5. $|z-2|^2+|z+2|^2=26$;
6. $|z+3\pi-\pi\sqrt{3}i|=\pi$, arg $z=\frac{5}{6}\pi$.
7. (MSU, Khoa Tâm lý học, 1966). Đâu là số phức z mà
   $$\log_{1/2}|z-2|>\log_{1/2}|z|$$
8. (MSU, Khoa Sinh lý học, 1971). Đâu là số phức z mà
   $$\log_2(1+|z^2-i|)+\log_{16}\frac{1}{(1+|z^2+i|)^4}=0$$

Hình học bài toán

1. Tìm số tam giác có các cạnh là số tự nhiên không quá 2.
2. Tìm số hình tam giác có các cạnh là số tự nhiên không quá 20 và diện tích là số nguyên.
3. Chứng minh rằng số
   $$\frac{4p^3+9p^2+5p}{6}$$
   số nguyên cho p tự nhiên.
   4*. Tìm số hình tam giác có các cạnh là số tự nhiên không quá 20 và diện tích là số nguyên.
   5**. Tìm số hình tam giác có các cạnh là số tự nhiên không quá 20 và diện tích là số nguyên.
4. Chứng minh rằng mọi đa giác đều có ít nhất hai cạnh có quan hệ lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn 2.
5. Các điểm P, Q, R, S chia các cạnh của tứ giác ABCD sao cho $AP:PB=DQ:QC=m$ và $AR:RD=BS:SC=n$.
6. Chứng minh rằng hai đoạn PQ và RS chia nhau cùng một tỉ số.

N.V.