Lev Andreevich Artsimovich

2

Vào ngày 1 tháng 3 năm 1973, thành viên ban biên tập của tạp chí «Kvant», một nhà vật lý xuất sắc, nhà tổ chức chính của các hoạt động khoa học và xã hội, thành viên Đoàn Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Viện sĩ-Thư ký Khoa Vật lý Đại cương và Thiên văn học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, trưởng phòng khoa học của Viện Năng lượng Nguyên tử mang tên A.V. I. V. Kurchatova, Chủ tịch Ủy ban Quốc gia các nhà Vật lý Liên Xô, Chủ tịch Hội đồng Khoa học về vấn đề phức tạp “Vật lý Plasma”, Giáo sư tại Đại học Moscow, Anh hùng Lao động Xã hội Chủ nghĩa, người đoạt giải Lenin và Giải thưởng Nhà nước Liên Xô, Viện sĩ Lev Andreevich Artsimovich.

Lev Andreevich ARTSIMOVICH

L. A. Artsimovich sinh ngày 25 tháng 2 năm 1909 tại Moscow. Năm 1928, ông tốt nghiệp Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Belarus và năm 1930, ông vào Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad với tư cách là nhân viên phòng thí nghiệm. Chẳng bao lâu sau, ông bắt đầu nghiên cứu khoa học độc lập.

Lĩnh vực khoa học quan tâm chính của ông, trong đó ông có những đóng góp quan trọng nhất, là vật lý nguyên tử. Ông là người đầu tiên nghiên cứu sự phản xạ toàn phần của tia RENten. Sau đó, anh cùng với I.V. Kurchatov, đã nghiên cứu phản ứng “neutron + proton”, dẫn đến sự hình thành hạt nhân hydro nặng. Năm 1936, L. A. Artsimovich, bằng những thí nghiệm khéo léo, đã bác bỏ đề xuất của nhà vật lý người Mỹ Shenkland rằng sự tương tác giữa electron và positron trong những điều kiện nhất định vi phạm định luật bảo toàn năng lượng. Vào năm 1936-1940, ông đã nghiên cứu nhiều hiện tượng khác nhau đi kèm với sự di chuyển của các electron nhanh trong vật chất. Khi làm như vậy, ông đã chứng minh rằng tất cả những hiện tượng này, theo quan điểm của một số nhà khoa học, đều được cơ học lượng tử mô tả một cách chính xác.

Trong những năm chiến tranh, L. A. Artsimovich đã thực hiện một số công trình quan trọng trong lĩnh vực quang học điện tử. Trong những năm tiếp theo, L. A. Artsimovich bắt đầu giải một vấn đề khoa học và kỹ thuật quan trọng - phương pháp điện từ để tách các đồng vị của hạt nhân nguyên tử. Sự phát triển của vấn đề này đòi hỏi phải thành lập một nhóm khoa học lớn, có khả năng tạo ra các cơ sở công nghiệp đáng tin cậy để tách đồng vị và đảm bảo sản xuất các đồng vị tinh khiết của các nguyên tố khác nhau cho những người có nhu cầu về vật lý, công nghệ, sinh học và y học.

Từ năm 1951 cho đến những ngày cuối đời, L. A. Artsimovich đứng đầu nghiên cứu thực nghiệm về vật lý của plasma nóng và các phản ứng nhiệt hạch có kiểm soát ở nước ta. Ông và các cộng sự lần đầu tiên đã thành công trong việc thực hiện phản ứng nhiệt hạch trong điều kiện phòng thí nghiệm. Trong những năm gần đây, tại cơ sở Tokamak, các thành tựu vật lý đã đạt được những kết quả kỷ lục cả về nhiệt độ của plasma hydro lẫn thời gian tồn tại ổn định của nó.

Ghi nhận những thành tích khoa học của L. A. Artsimovich, Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô đã bầu ông làm thành viên tương ứng vào năm 1946 và là viện sĩ vào năm 1953. Từ năm 1957, L. A. Artsimovich là thư ký học thuật thường trực của Khoa Khoa học Vật lý và Toán học, sau đó là Khoa Vật lý Đại cương và Thiên văn học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Bộ phận của Lev Andreevich đã dành nhiều thời gian để đào tạo sự chuyển dịch khoa học. Ông học tại Học viện Bách khoa Leningrad, Đại học Leningrad và Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow. Trong những kiếp cuối cùng của mình, ông đứng đầu khoa vật lý nguyên tử tại Đại học quốc gia Moscow.

L. A. Artsimovich là một người có vô số sở thích cần thiết, vượt xa ranh giới chuyên môn của mình. Anh ấy có tinh thần trách nhiệm cao với con người và khiếu hài hước nhạy bén. Nhiều câu nói hài hước của ông từ lâu đã trở thành “những câu cách ngôn vật lý”.

Lev Andreevich đã không đi xa tới mức tạo ra một lò phản ứng nhiệt hạch kỹ thuật. Nhưng nhân loại biết ơn sẽ không quên người đã có đóng góp vô giá cho việc tạo ra các nhà máy điện nhiệt hạch trong tương lai.

5

Nhìn chung, lời giải bài toán về việc tính toán thể tích và bề mặt của vật quay, theo quy luật, không phức tạp mà khá cồng kềnh. Đồng thời, lời giải trong số bài toán đó được viết theo nghĩa đen trong vài dòng bằng cách sử dụng các định lý của Golden.

Hãy để chúng tôi xây dựng các định lý này.

Định lý 1 Golden (về diện tích các mặt quay). Bề mặt của vật thể được hình thành bằng cách quay một đường phẳng (đóng hoặc không) trên một trục nằm trong mặt phẳng của đường thẳng này và không cắt nó bằng tích của chiều dài đường quay và chiều dài của đường tròn, bán kính của nó là khoảng cách từ trục quay đến tâm của đường thẳng:

$$S = P \cdot 2\pi R,$$

food $P$ là chiều dài của đường quay (hoặc chu vi của nó, nếu nó đóng) và $R$ là khoảng cách từ tâm quả bóng đến trục quay.

Định lý thứ 2 của Golden (về thể tích của vật quay). Thể tích của một vật thể hình thành khi quay một hình phẳng có trục nằm trong mặt phẳng này và không cắt hình đó bằng diện tích hình đó nhân với chiều dài chu vi, bán kính của hình đó là khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của hình:

$$V = S \cdot 2\pi R,$$

food $S$ là diện tích của hình được quay, $R$ là khoảng cách từ tâm mềm đến trục quay.

Chúng tôi nhấn mạnh rằng trong định lý thứ nhất, chúng ta đang nói về trọng tâm và khối lượng phân bố đều dọc theo chiều dài của đường thẳng, và trong định lý thứ hai, chúng ta đang nói về trọng tâm và khối lượng phân bố đều trên toàn bộ diện tích của hình.

Do các định lý Golden không được chứng minh trong khóa học ở trường (chúng được chứng minh bằng phương pháp tính tích phân) * nên không thể sử dụng trực tiếp chúng cho lời giải bài toán trong trường học hoặc luyện thi

*) Xem bài viết của V. G. Boltyansky trên trang. 9.

Cơm. 1.

Không. Nhưng có thể dự đoán lời giải cơ bản sẽ đạt được đáp số nhanh hơn bằng cách sử dụng định lý Golden mà không cần che giấu sự quen thuộc của bạn với định lý này và không có gì đáng trách trong việc này. Kiến thức về đáp số đòi hỏi phải tính toán lâu dài và rườm rà, và quan trọng nhất là bao gồm sự tự tin trong công việc.

Các định lý được khám phá với “hương vị vật lý”. Để sử dụng chúng, bạn cần có khả năng tìm được trọng tâm của các đường thẳng và hình phẳng.

Trong những trường hợp chúng ta gặp phải, điều này không khó. Vì vậy, trọng tâm của một đoạn là phần giữa của nó. Điều này giúp có thể tìm được trọng tâm của một đường đứt gãy (đặc biệt là trọng tâm của đường viền của một đa giác): cần đặt ở giữa mỗi mắt xích của đường gãy một khối lượng bằng số lượng chiều dài của mắt xích này; thì trọng tâm của các khối lượng này sẽ là trọng tâm của đường đứt nét.

Không khó để tìm được trọng tâm của các hình phẳng. Ví dụ, trọng tâm của một hình tròn và một đa giác đều là tâm của chúng, trọng tâm của một tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến của nó; hình bình hành (hình vuông,

6

hình thoi, hình chữ nhật) - giao điểm của các đường chéo.

Trọng tâm của một $n$-giác tùy ý được xây dựng như sau. Chúng ta hãy chia $n$-gon thành các hình tam giác, trong mỗi hình tam giác chúng ta tìm thấy trọng tâm. Sau đó, tại mỗi trọng tâm của tam giác, chúng ta đặt một khối lượng bằng diện tích của tam giác này. Trọng tâm của các khối lượng này sẽ là trọng tâm của đa giác ban đầu (Hình 2).

Tại sợi. Xây dựng trọng tâm của hình thang và trọng tâm của đường viền của nó; tương tự trong trường hợp ước số (đây là hai hình tam giác đều có đáy chung, các chân của chúng nằm trên hai cạnh đối diện của nó) của một hình ngũ giác không đều tùy ý.

Nhưng việc xây dựng một điểm - trọng tâm là một chuyện, và việc có thể tìm được khoảng cách từ điểm đó đến trục quay là một chuyện khác. Trong trường hợp bạn thành công (và trong các vấn đề ở trường và bài kiểm tra, điều này thường có thể được thực hiện), việc xác minh bằng định lý Gylden sẽ có thể thực hiện được.

Phần lớn Lời giải của bài toán được N. A. Rybkin đặt trong bài toán hình học (Phần 2, §24) có thể được xác minh bằng định lý Gülden.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán, nơi chúng ta đã bắt đầu bài viết và hiển thị nó lời giải (hoặc tốt hơn nữa, hãy kiểm tra lời giải) bằng cách sử dụng các định lý Gülden. Trước tiên chúng ta hãy tìm $R$ - khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm (xem Hình 1):

$$OM = R = OK + KM = \frac{a \sqrt{3}}{3};$$

$$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3};$$

$$V = S \cdot 2\pi R = \frac{1}{2} \pi a^3.$$

Kiểm tra bằng định lý Gulden đáp số cho các bài toán số 3, 4, 6, 7, 9, 10 (§24 của cùng một bài toán).

Nhưng độ khó trung bình là bài toán điển hình.

Vấn đề 2*). Một tam giác đều, cạnh $a$, được vẽ xung quanh một trục đi qua toàn bộ đầu của cạnh đó một góc nhọn $a$ so với cạnh này. Xác định diện tích bề mặt của cơ thể y tế.

Đáp số: $2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha)$.

Chúng ta hãy hiểu nó bằng định lý Gylden. Từ $\Delta AOM$ (Hình 3)

$$R = AO \cdot \sin (30^\circ + \alpha) = \frac{a \sqrt{3}}{3} \times \sin (30^\circ + \alpha),$$

$$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha).$$

*) P.V. Stratilatov, Lượng giác. Tài liệu bổ sung môn học hình học lớp 9, 10, M., “Khai sáng”, 1972, nhiệm vụ 294; P. V. Stratilatov, Bộ sưu tập bài toán về lượng giác, M., “Khai sáng”, 1965, nhiệm vụ 553.

7

So sánh lời giải này với một cái thông thường và bạn sẽ đánh giá đầy đủ hơn tính ngắn gọn của séc.

Kiểm tra, sử dụng định lý Golden, đáp số cho các bài toán số 296 (555), 300 (559), 303 (585) (P.V. Stratilatov, Bộ sưu tập bài toán về lượng giác).

Hãy để chúng tôi chỉ ra một số ứng dụng thú vị hơn của định lý Golden cho lời giải bài toán.

Bài toán 3*. Một đường đứt nét gồm n đoạn bằng nhau có độ dài a và được nối theo hình con rắn một góc α bạn với bạn. Xác định mặt tạo bởi đường thẳng này quanh trục đi qua một đầu của nó song song với đường nhị phân của α*).

lời giải truyền thống của bài toán này khá cồng kềnh, nó liên quan đến tổng của một cấp số cộng (chính xác hơn là n số lẻ đầu tiên) và chứng minh đầy đủ “dấu hoa thị” - một dấu hiệu của độ khó tăng dần, đứng cạnh số của nó. Trong khi đó, định lý Golden cho phép bạn giải bài toán rất ngắn gọn, gần như trong đầu bạn.

Trên thực tế, có thể dễ dàng nhận thấy trọng tâm của đường đứt ở khoảng cách $\frac{na}{2} \sin \frac{\alpha}{2}$ tính từ trục quay và chiều dài của đường đứt bằng na (Hình 4). Kể từ đây,

$$S = P \cdot 2\pi R = na \cdot \pi na \sin \frac{\alpha}{2} = \pi n^2 a^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

Mặt khác, từ Hình 4, không khó để thấy lời giải bài toán thanh lịch bằng phương pháp truyền thống: dễ dàng chứng minh rằng bề mặt quay mong muốn bằng bề mặt bên của hình nón có đường sinh AM, đóng vai trò là sự tiếp nối của liên kết cuối cùng AB. Xét cho cùng, bề mặt quay của đoạn

*) N. A. Rybkin, Bộ sưu tập bài toán về lượng giác, M., Uchredgiz, 1956, § 23, bài toán 7.

Cơm. 4.

$BC'$ bằng bề mặt quay của đoạn $BC$ (các bề mặt này đối xứng với mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi qua điểm $B$). Bề mặt quay của các đoạn $DC$ và $D'C'$ cũng bằng nhau (chúng được kết hợp bằng phép dịch song song). Vẫn còn phải tìm bề mặt bên của hình nón với hệ tọa độ AM:

$$S = \pi rl = \pi \left( na \sin \frac{\alpha}{2} \right) an = \pi a^2 n^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

Đây là một bài toán khác.

Bài toán 4. Hình chữ nhật quay quanh một trục đi qua đỉnh của nó song song với đường chéo. Xác định thể tích và diện tích bề mặt của vật xoay nếu đường chéo của hình chữ nhật là d và góc giữa hai đường chéo là φ.

8

Cơm. 5.

Ở đây diện tích của hình chữ nhật là $\frac{d^2}{2}\sin\varphi$, chu vi của nó bằng

$$2d\left(\sin\frac{\varphi}{2}+\cos\frac{\varphi}{2}\right)= =2\sqrt{2}d\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right),$$

và trọng tâm cách điểm quay một khoảng $R=\frac{d}{2}\sin\varphi$. Do đó, theo định lý Gulden

$$V=\frac{1}{2}\pi d^3\sin^2\varphi,$$

$$S=2\pi d^2\sqrt{2}\sin\varphi\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right).$$

lời giải thông thường khá cồng kềnh: bạn cần tìm thể tích của hai hình nón cụt có bộ tạo BC và CD (Hình 5) mà không có thể tích của hai hình nón đầy đủ với bộ tạo AB và AD. Tuy nhiên, nếu chúng ta tiếp tục các cạnh BC và CD cho đến khi chúng giao nhau với trục quay tại các điểm M và N, thì thể tích cần thiết của một lớp vỏ đáng kể được tính bằng tổng thể tích của hai hình nón hoàn chỉnh có các sinh CM và CN mà không có thể tích thỏa đáng của vật thể được tạo thành bằng phép quay của tam giác ABM (tổng thể tích của các hình nón hoàn chỉnh với các điểm sinh AB và BM). Thể tích gấp đôi vì cần phải trừ tổng thể tích của các vật thu được từ phép quay của hai tam giác ABM và ADN. Nhưng một trong những hình tam giác này có thể được kết hợp với hình tam giác thứ hai bằng cách sử dụng sóng mang song song với trục. Do đó, thể tích của các vật quay này bằng nhau.

Theo cách tương tự, khi tính toán các bề mặt trong bài toán này, các bề mặt bên của hình nón cụt có thể được thay thế bằng các bề mặt bên của hình nón đầy đủ, điều này cũng làm giảm tính toán.

Phần sau đây của bài toán cũng cho phép chúng tôi sử dụng cho lời giải tất cả sự đơn giản hóa và lợi thế mà các định lý Gülden mang lại. Chúng tôi để nó cho người đọc quyết định.

Bài tập 5. Một hình thoi có cạnh a và góc nhọn α được cắt xung quanh ssi, đi ra ngoài hình thoi song song với cạnh đó một khoảng $\frac{a}{4}$ tính từ cạnh này. Xác định thể tích và diện tích bề mặt của cơ thể lành bệnh.

Bài 6. Hình vuông ABCD cạnh a được sửa quanh một trục đi ra ngoài hình thoi song song với đỉnh A gần của hình vuông và tạo một góc α với cạnh AB. Xác định thể tích và diện tích bề mặt của cơ thể lành bệnh.

10

Cơm. 2. Hình 3.

Ở đâu
$$r^* = \frac{(n-1)r + r_n}{n} = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n}{n}.$$

Do đó, phát biểu của bổ đề có giá trị đối với $n$ điểm trọng yếu. Quy nạp này chứng minh bổ đề.

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh định lý đầu tiên của Golden. Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh định lý này đúng nếu đường phẳng được thảo luận trong định lý là một đường gãy liên kết $n$ trong đó tất cả các liên kết có cùng độ dài $m$. Chúng ta biểu thị điểm giữa của các liên kết của đường đứt nét bằng $M_1, M_2, \dots, M_n$ và khoảng cách của các điểm này với đường thẳng $l$ bằng $r_1, r_2, \dots, r_n$ (Hình 2). Khi xoay đường đa giác đang được xem xét, vectơ cay $l$ tạo ra một bề mặt (Hình 3) bao gồm $n$ phần, mỗi phần tượng trưng cho bề mặt bên của một hình nón cụt. Vì bề mặt bên của hình nón cụt bằng tích của chiều dài của đường sinh và chu vi của phần giữa nên diện tích bề mặt quay thu được bằng
$$S = m \cdot 2\pi r_1 + m \cdot 2\pi r_2 + \dots + m \cdot 2\pi r_n.$$

Lưu ý rằng độ dài của đường đứt nét trong câu hỏi (Hình 2) bằng $P = nm$, chúng ta có thể viết lại biểu thức cho diện tích như sau:
$$S = P \cdot 2\pi R,$$
Ở đâu
$$R = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_n}{n}.$$

Nhưng trọng tâm của đường đứt nét, tức là trọng tâm của hệ điểm $M_1, M_2, \dots, M_n$, trong đó mỗi điểm có khối lượng $m$ tập trung, theo bổ đề, được tách khỏi đường thẳng $l$ một khoảng $R$. Điều này có nghĩa là trong trường hợp cụ thể đang được xem xét, định lý đầu tiên của Golden là đúng.

Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp tổng quát. Đặt $K$ là một đường thẳng và $\Pi$ bề mặt thu được bằng cách xoay liline $K$ xung quanh vị cay $l$. Chúng ta hãy trải rộng các chân của la bàn ở một khoảng cách nhất định $m$ và bắt đầu từ một đầu của đường liline $K$, đánh dấu dọc theo đường liline $K$ (Hình 4) nhiều lần nhất có thể. Bằng cách kết nối tuần tự các điểm thu được bằng cách tạo các serif này, chúng ta thu được một đường gãy $L$, nội tiếp trong dòng liline $K$ và tất cả các liên kết của đường gãy $L$ có cùng độ dài $m$ (Hình 5). Khi xoay đường gãy $L$ xung quanh vị cay $l$ sẽ thu được bề mặt $T$, nội tiếp trên bề mặt $\Pi$.

Như chúng ta đã biết, diện tích $S$ của bề mặt $T$ được tính theo công thức (1), trong đó $P$ là chiều dài của đường thẳng $L$, và $R$ là khoảng cách từ trọng tâm của đường thẳng $L$ đến đường thẳng $l$. Trong cách xây dựng này bây giờ chúng ta sẽ giả sử rằng $m \to 0$. Sau đó

11

Độ dài $P$ của đường gãy $L$ sẽ có xu hướng bằng chiều dài của đường đứt $K$, diện tích bề mặt $T$ sẽ có xu hướng bằng diện tích bề mặt $\Pi$ và trọng tâm của đường đứt nét $L$ sẽ tiến đến trọng tâm của đường đứt $K$. Vì $L$ đúng với đường đứt nét, nên khi chuyển đến giới hạn tại $m \to 0$, chúng ta thấy rằng sự tương ứng (1) cũng đúng cho đường $K$. Điều này hoàn thành việc chứng minh định lý đầu tiên của Gülden.

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh định lý thứ hai của Gülden. Trước hết, hãy xem xét một quả bóng, tức là một vật thu được bằng cách xoay một mảnh hình chữ nhật xung quanh một đường thẳng không cắt mảnh hình chữ nhật và song song với hai cạnh của nó (Hình 6). Thể tích của máy giặt có thể được tính dễ dàng bằng hiệu giữa thể tích của hai xi lanh. Chúng tôi mời người đọc tính toán độc lập thể tích này $V$ và đảm bảo rằng định lý thứ hai của Gülden đúng cho quả bóng,

$$V = S \cdot 2\pi r,$$

(3)

trong đó $S$ là diện tích của hình chữ nhật quay và $r$ là khoảng cách từ trọng tâm của nó đến trục quay $l$.

Bây giờ, giả sử $F$ là một hình phẳng có diện tích $S$ và $l$ là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng của nó và không cắt hình $F$. Chúng ta hãy lấy một số tự nhiên tùy ý $n$ và vẽ các đường thẳng $n - 1$, giao nhau $l$ và chia hình $F$ thành $n$ “lát”, mỗi lát có cùng diện tích $\frac{1}{n} S$ (Hình 7). Mỗi “thùy” được giới hạn bởi hai đoạn vuông góc với $l$ và hai cung nối các đầu của các đoạn này. (Đúng, nếu hình $F$ không lồi, thì có thể có các “thùy” phức tạp hơn, chẳng hạn như trong Hình 8; tuy nhiên, các phép tính được thực hiện cũng được áp dụng cho trường hợp này.) Chúng ta hãy thay thế các cung này bằng các đoạn song song với $l$, sao cho diện tích không thay đổi (nghĩa là sao cho “thùy” biến thành một hình chữ nhật có cùng diện tích $\frac{1}{n} S$). Thực hiện xong thao tác này với mỗi “thùy”, chúng ta sẽ biến $F$ thành hình “bậc thang” $G$, không khác nhiều so với hình $F$. Hình $G$ được tạo thành từ $n$ hình chữ nhật, mỗi hình chữ nhật có diện tích $\frac{1}{n} S$. Trọng tâm của các đường thẳng này

12

Chúng ta hãy biểu thị các vị thánh bằng $M_1, M_2, \dots, M_n$ (Hình 9) và khoảng cách của họ với đường thẳng $l$ bằng $r_1, r_2, \dots, r_n$.

Khi hình $F$ được biểu thị xung quanh đường $l$, thu được phần thân $X$, thể tích của nó cần được tìm thấy và khi hình $G$ được biểu thị xung quanh đường $l$, thu được phần thân $Y$, khác một chút so với phần thân $X$. Vì hình $G$ được tạo thành từ $n$ hình chữ nhật nên phần thân $Y$ được tạo thành từ $n$ vòng đệm. Bằng cách tính thể tích của mỗi vòng đệm theo công thức (3), người ta dễ dàng tìm được thể tích $V$ của thân $Y$:

$$V = \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_1 + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_2 + \dots + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_n,$$

đó là

$$V = S \cdot 2\pi R,$$

(4)

trong đó $R$ được tính bằng công thức (2). Bây giờ chúng ta lưu ý rằng trọng tâm của diện tích hình $G$, tức là trọng tâm của hệ điểm $M_1, M_2, \dots, M_n$, trong đó mỗi điểm có khối lượng $\frac{1}{n} S$ tập trung, theo bổ đề, được tách ra khỏi đường thẳng $l$ ở khoảng cách $R$. Do đó, công thức (4) có nghĩa là đối với hình $G$ Định lý thứ hai của Golden là đúng.

Trong cách xây dựng này bây giờ chúng ta sẽ giả sử rằng $n \to \infty$. Khi đó thể tích của vật $Y$, do biểu thức của hình $G$, sẽ hướng về thể tích của vật $X$, và trọng tâm của diện tích hình $G$ sẽ hướng về trọng tâm của hình $F$. (Lưu ý rằng diện tích của các hình $F$ và $G$ là như nhau.) Vì với bất kỳ $n$ nào, sự tương ứng (4) cho hình $G$ là hợp lệ, nên, đi tới giới từ tại $n \to \infty$, chúng ta sẽ thấy rằng sự tương ứng (4) cũng đúng cho hình $F$. Những điều này hoàn thành việc chứng minh định lý thứ hai của Golden.

Định lý thứ hai của Golden có thể được coi là định lý “ba chiều” của Golden, vì nó nói về thể tích của một vật quay. Định lý đầu tiên của Golden có thể được gọi là “hai chiều”, vì nó nói về diện tích bề mặt quay. Bằng cách tương tự, chúng ta có thể xây dựng “định lý Vàng một chiều”:

Cho một số điểm trong mặt phẳng nằm về một phía của đường thẳng $l$. Khi đó tổng chiều dài $C$ của đường tròn nhận hệ điểm này quanh đường thẳng $l$ bằng tích của số điểm với chiều dài của đường tròn, bán kính của đường tròn đó được xét từ trục quay $l$ đến tâm mềm của hệ điểm này:

$$C = n \cdot 2\pi R,$$

food $n$ là số điểm, và $R$ là khoảng cách từ tâm mềm đến trục quay.

Người đọc có thể dễ dàng tự mình chứng minh định lý đơn giản này.

Điều tò mò là cả ba định lý Golden (ba chiều, hai chiều và một chiều) đều có thể được kết hợp trong một công thức. Nó được thực hiện như thế này. Chúng ta sẽ gọi một hình không chiều là bất kỳ tập hợp nào chứa một số hữu hạn các điểm. Hơn nữa, thể tích không chiều của hình không chiều là số điểm của hình này. Đường điều kiện được gọi là hình một chiều; chiều dài của đường thẳng sẽ được gọi là thể tích một chiều của nó. Các bề mặt (hình phẳng một phần) được gọi là hình hai chiều và diện tích của một bề mặt được gọi là thể tích hai chiều của nó. Cuối cùng, chúng ta sẽ gọi các vật thể là hình ba chiều và thể tích của một vật thể cũng sẽ được gọi là thể tích ba chiều của nó.

Định lý vàng. Đặt một hình $(k - 1)$ chiều $F$ nằm trong mặt phẳng ở một phía của đường thẳng $l$ (ở đây $k$ là bất kỳ số nào trong số 1, 2, 3). Bằng $S$, chúng ta biểu thị thể tích $(k - 1)$ chiều của hình $F$ và bằng $R$, chúng ta biểu thị khoảng cách từ tâm mềm của nó đến đường thẳng $l$. Khi xoay hình $F$ quanh đường $l$, thu được hình đầu cuối k, thể tích đầu cuối k của nó được thỏa mãn theo công thức:

$$V = S \cdot 2\pi R.$$

Với $k = 3$ điều này mang lại định lý “ba chiều” của Golden; với $k = 2$ và 1, chúng tôi thu được (chỉ trong đó ký hiệu