Kvant
Khác

Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

Чопенко О. П.

Kvant 1973, số 6tr. 61Thẻ J33A

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

61

  1. Giải phương trình
    3(cos⁡2x+ctg2x)ctg2x−cos⁡2x−2(sin⁡2x+1)=0.\frac{3(\cos 2x + \text{ctg} 2x)}{\text{ctg} 2x - \cos 2x} - 2(\sin 2x + 1) = 0.

  2. Góc nhọn của tam giác vuông là α\alpha, bán kính hình tròn tiếp xúc với cạnh huyền và kéo dài bằng hai chân là RR. Tìm độ dài cạnh huyền của tam giác này.

A. V. Efimov

Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

Sự phát triển của khoa học, công nghệ và sản xuất tôn vinh những bài toán mới đối với các nhà thiết kế và đòi hỏi những kỹ sư có chuyên môn mới. Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow là một trong những đồng minh mới. Viện đào tạo các kỹ sư đa dạng trong các chuyên ngành sau, bao gồm các lĩnh vực công nghệ mới trong lĩnh vực điện tử vô tuyến: kỹ thuật vô tuyến, thiết kế và sản xuất thiết bị vô tuyến, tự động hóa và cơ điện tử, hệ thống điều khiển tự động, máy tính điện tử, thiết kế và sản xuất thiết bị máy tính điện tử, thiết bị bán dẫn, điện tử công nghiệp, thiết bị điện tử, điện tử và công nghệ siêu âm.

Khoa toàn thời gian của MIREA có ba khoa: hệ thống và thiết bị kỹ thuật vô tuyến (PT), hệ thống điều khiển tự động (ACS), thiết bị điện tử và lượng tử (ECD).

Dưới đây chúng tôi trình bày ba lựa chọn cho kỳ thi viết đầu vào năm 1972 môn toán tại MIREA.

Tùy chọn 1

  1. Giải hệ phương trình
    {x3+y3=91,x+y=7.\begin{cases} x^3 + y^3 = 91, \\ x + y = 7. \end{cases}

  2. Giải phương trình
    lg⁡(3x−5)lg⁡(3x2+25)=12.\frac{\lg(3x - 5)}{\lg(3x^2 + 25)} = \frac{1}{2}.

  3. Giải phương trình
    12(cos⁡5x+cos⁡7x)−cos⁡22x+sin⁡23x=0,\frac{1}{2}(\cos 5x + \cos 7x) - \cos^2 2x + \sin^2 3x = 0,
    ∣x∣<π3.|x| < \frac{\pi}{3}.

  4. Trong tam giác ABCABC, trên đáy BCBC hoặc trên phần mở rộng của nó, một điểm DD được lấy tùy ý và các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACDACD và BADBAD. Chứng minh rằng tỉ số bán kính của các đường tròn này không đổi. Tìm vị trí của điểm DD mà các bán kính này sẽ có giá trị nhỏ hơn.

  5. Giải bất đẳng thức
    x2−3x+2−x−3>0.\sqrt{x^2 - 3x + 2} - x - 3 > 0.

Tùy chọn 2

  1. Giải hệ phương trình
    {2x+y3=3,x2+y3=32.\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{3}{2}. \end{cases}

  2. Giải phương trình
    32x+3−4⋅3x+1=0.3^2x + 3 - 4 \cdot 3^x + 1 = 0.

  3. Giải phương trình
    sin⁡3z⋅cos⁡z−sin⁡z⋅cos⁡3z=28,∣z∣<0,2.\sin^3 z \cdot \cos z - \sin z \cdot \cos^3 z = \frac{\sqrt{2}}{8}, |z| < 0, 2.

  4. Khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn giao nhau có bán kính RR và rr là dd. Tìm diện tích phần chung của chúng.

  5. Tính toán
    a1972+a11972, если a2+a+1=0.a^{1972} + a^{\frac{1}{1972}}, \text{ если } a^2 + a + 1 = 0.

Tùy chọn 3

  1. Giải hệ phương trình
    {x3−y3=124,x2+xy+y2=31.\begin{cases} x^3 - y^3 = 124, \\ x^2 + xy + y^2 = 31. \end{cases}

  2. Giải phương trình
    32−x⋅22x+7⋅2x=2⋅3x.3^2 - x \cdot 2^2x + 7 \cdot 2^x = 2 \cdot 3^x.

  3. Giải phương trình
    sin⁡2x=cos⁡4x2−sin⁡4x2,∣x∣<π2.\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}, |x| < \frac{\pi}{2}.

  4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác có đẳng thức sau:
    a(a+c−b)b(b+c−a)=1−cos⁡A1−cos⁡B.\frac{a(a + c - b)}{b(b + c - a)} = \frac{1 - \cos A}{1 - \cos B}.

  5. Tìm log⁡310\log_3 10 nếu biết: log⁡215=a\log_2 15 = a, log⁡812=b\log_8 12 = b.

O. P. Chonenko