Лев Андреевич Арцимович

Квант 1973, №6 с. 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12 Тег ZZI4

1 марта 1973 года скончался член редакционной коллекции журнала «Квант», выдавшийся физик, крупный организатор научки и общественный деятельности, член председума Академии наук СССР, академик-секретарь Отделения общеей физики и астрономии АН СССР, руководитель научного отдела Института атомной энергии им. И. В. Курчатова, председатель Национального комитета советских физков, председатель научного совета по комплексиной проблеме «Физика плазмы», профессор Московского университета, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственных премий СССР академик Лев Андреевич Арцимович.

Лев Андреевич АРЦИМОВИЧ

Л. А. Арцимович родился 25 февраля 1909 года в Москве. В 1928 году он окончил физико-математический факультет Белоруссого университета и в 1930 году поступил лаборатором в Ленинградский физико-технический институт. Вскоре он начал самостоятельные научные исследования.

Основной области его научных интересов, в котором он внес наиболее важный вклад, была atomная физика. Он впервые количество изучения полного внутреннего отраженияRENTеновских лучей. Позже он, совместно с И. В. Курчатовым, исследовал реакцию «нейтрон+протон», в результате которой получается ядро тяжелого водорода. В 1936 году Л. А. Арцимович остроумными опытами опроверг предложение американского физика Шenkланда о том, что при взаимодействии электронов и позитrons в определенных условиях нарушается закон сохранения энергии. В 1936—1940 годах он исследовал различные явления, сопровождающие прохождение быстрых электронов через вещество. При этом он доказал, что все эти явления, вопросы мнения некоторых ученых, правильно описываются квантовой механикой.

В годы войны Л. А. Арцимович выполнил ряд важных работ в области электронной оптики. В последованные годы Л. А. Арцимович занялся решением важной научно-технической проблемы — электромагнитным методом разделения изотопов atomных ядер. Разработка этой проблемы потребовала создания большого научного коллектива, который удалось создать надежные промышленные установки для разделения изотопов и обеспечить производство чистых изотопов различных элементов для нуждающих физики, технически, биологически и медицинны.

С 1951 года и до последних дней своей жизни Л. А. Арцимович возглавил экспериментальные исследования по физике горячей плазмы и управляемых термодерных реакций в нашей стране. Ему и его сотрудникам удалось впервые осуществить термодерную реакцию влабораторных условиях. В последние годы на установках «Токамак» совершение физики достигли рекордных результатов как по температуре водородной плазмы, так и по времени ее устойчивого существования.

Отдавая дать научным заслугам Л. А. Арцимович, Академия наук СССР в 1946 году избрала его членом-корреспондентом, а в 1953 году — академиком. С 1957 года Л. А. Арцимович был бессменным академиком-скретарем Отделения физico-mатематических наук, а затем — Отделения общеей физики и астрономии АН СССР.

Немало времени отдел Лев Андреевич воспитанию научной смены. Он преодолал в Ленинградском политехническом институте, Ленинградском университете, Московском инженерно-физическом институте. В последние жизни он руководил кафедрой atomной физики в МГУ.

Л. А. Арцимович был человеком с необходимым богатством интерсов, далек выходивших за пределы его специальности. Он обладал большим человекским обязанем и обостренным чувством юмора. Многие из его шутливых высказываний давно стали «физическими афоризами».

Лев Андреевич не доходил до создания технического термодерного реактора. Но благодарное человекство не забудет им того, кто внес неоценным вклад в создание будущих термодерных электростанций.

Вообще решения задач о вычислении объемов и поверхностей тел врашения, как правило, не сложны, но довольно громоздки. В то же время решения таких задач с помощью теорем Гольдена записьюются буквально в несколько строк.

Сформулируем эти теоремы.

1-я теорема Гольдена (о площади поверхностей врашения). Поверхность тела, образованного врашением плоской линии (замкнутой или неамкнутой) бокрете оси, лежающей в плоскости этой линии и не пересекающей ее, равна произведению длины врашающего линии на длину окружности, радиусом коморой случай расстояние от оси врашения до центра мяжести линии:

$S = P \cdot 2\pi R,$

еде $P$ — длина врашающего линии (или ее периметр, если она замкнутая), а $R$ — расстояние от центра мяжести до оси врашения.

2-я теорема Гольдена (об объеме тела врашения). Объем тела, образованного врашением плоской фигуры бокрете оси, расположенной в этой плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину скружности, радиусом коморой случай расстояние от оси врашения до центра мяжести фигуры:

$V = S \cdot 2\pi R,$

еде $S$ — площадь врашаемой фигуры, $R$ — расстояние от центра мяжести до оси врашения.

Подчерким, что в первой теореме речь идет о центре тяжестии масс, равномерно распределенных по длине линии, а во второй теореме — о центре тяжестии масс, равномерно распределенных по всей площади фигуры.

Вследствие того, что теоремы Гольдена не доказываются в школьном курсе (они доказываются методами интегрального исчисления) *), прямо использовать их для решения задач в практике школьны или экзамена не при

*) См. статью В. Г. Болтянского на с. 9.

Рис. 1.

нято. Но предсказать элементарному решения быстрее получение ответа с помощью теорема Гольдена, не скрывая своего знакомства с этим теоремами, можно, и предосудитьного в этом ничего нет. Знание же ответа obligает длиные и громоздкие выкладки, и, главнее, включает уверенность в работу.

Теоремы исследуются «физическая привкус». Для их применения нужно уметить находить центры тяжестии линии и плоских фигуры.

В тех случаях, с которым нам придется столкнутся, это несложно. Так, центром тяжестии отрезка является его середина. Это дает возможность находить центры тяжестии ломанной линии (в частиности, центр тяжестии контура многоугольника): надо поместить в середине каждого звена ломанной массу, численно равную длине этого звена; тогда центр тяжестии этих масс и будет центром тяжестии ломанной линии.

Нетрудно находить и центры тяжестии плоских фигуры. Например, центром тяжестии круга и правильного многоугольника служит их центр, центром тяжестии треугольника — точка пересечения его медиан; параллелограмма (квадрата,

ромба, прямогольника) — точка пересечения диагоналей.

Центр тяжесте произвольного $n$ -угольника строится так. Разобем $n$ -угольник на треугольники, в каждом из которых найдем центр тяжесте. Потом в каждом центре тяжесте треугольника помещим массу, численно равную площади этого треугольника. Центр тяжесте этих масс и будет центром тяжести исходного многоугольника (рис. 2).

У пряжене. Постройте центр тяжести трапеции и центр тяжести ее контура; то же в случае делителя (это два равноведренных треугольника, имеющих общее основание, еершины которых лежат по разные стороны от него) произвольного неправильного пятугольника.

Но одно дело построить точку — центр тяжести, а другое — суметь найти расстояние от него до оси врашения. В тех случаях, когда вам это будет удаваться (а в школьных и экзаменationalных задачах — это, как правило, можно сделать), проверка с помощью теorem Гюльдена будет возможна.

Решение большиства задач, помещенных в задачике по геометрии Н. А. Рыбкина (ч. 2, §24), можно проверить с помощью теorem Гюльдена.

Вернемся теперь к задаче, с которой мы начали статью, и показем ее решение (лучше сказать, проверку решения) с помощью теorem Гюльдена. Найдем вначале $R$ — расстояние от оси врашения до центра тяжести (см. рис. 1):

$OM = R = OK + KM = \frac{a \sqrt{3}}{3};$

$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3};$

$V = S \cdot 2\pi R = \frac{1}{2} \pi a^3.$

Проверьте с помощью теorem Гюльдена ответы к задачам №3, 4, 6, 7, 9, 10 (§24 того же задачика).

А вот типичная задача средней трудности.

Задча 2*). Правильный треугольник, сторона коморого $a$ , врачается около оси, проходящей все его через конец его стороны под острым углом $a$ к этой стороне. Определить площадь поверхности тела врачиния.

Ответ: $2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha)$ .

Получим его с помощью теоремы Гюльдена. Из $\Delta AOM$ (рис. 3)

$R = AO \cdot \sin (30^\circ + \alpha) = \frac{a \sqrt{3}}{3} \times \sin (30^\circ + \alpha),$

$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha).$

*) П. В. Стратилатов, Тригонометрия. Дополнительный материал к курсу геометрии 9, 10 классов, М., «Просвещение», 1972, задча 294; П. В. Стратилатов, Сборник задач по тригонометрии, М., «Просвещение», 1965, задча 553.

Сравнить это решение с обычным, вы полнее оцените краткость проверки.

Проверьте, используя теоремы Гольдена, ответы к задачам №296 (555), 300 (559), 303 (585) (П. В. Стратилатов, Сборник задач по тригонометрии).

Покажем еще несколько интересных применений теorem Гольдена к решению задач.

Задача 3*. Плосая ломанная состоянием из n равных отрезков, имеющих длину a и соединенных в виде змеязаea под углом α друже к дружеу. Определить поверхность, образуемую враценем этой линии около оси, которая проходит через один из концов ее паралельно bicсектрис уела α*).

Традиционное решение этой задачи довольно громоздко, оно включает в себя суммирование арифметической прогрессии (точнее, первых n нечетных чисел) и в полне оправдывает «звездочку» — знак повышенной трудности, которая стоит около ее номера. Между тем теорема Гольдена позволяет решить задачу совсем коротко, почти в уме.

В самом деле, центр тяжести ломанной нахождения, как легко видеть, на расстоянии $\frac{na}{2} \sin \frac{\alpha}{2}$ от оси врашения, а длина ломкой равна na (рис. 4). Следовательно,

$S = P \cdot 2\pi R = na \cdot \pi na \sin \frac{\alpha}{2} = \pi n^2 a^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$

В прочеем, из рисунка 4 нетрудно усмотреть изящное решение задачи традиционным методом: легко доказать, что искомая поверхность врашения равна боковой поверхности конуса с образующей AM, служащей продолжением последнего звена AB. Ведь поверхность врашения отрезка

*) Н. А. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, М., Учредгиз, 1956, § 23, задача 7.

Рис. 4.

$BC'$ равна поверхности врашения отрезка $BC$ (эти поверхности симметрины относительно плоскости, перpendикулярной оси врашения и проходящей через точку $B$ ). Поверхности врашения отрезков $DC$ и $D'C'$ также равны (они совмещаются паралельным переносом). Остается найти боковую поверхность конуса с образующей AM:

$S = \pi rl = \pi \left( na \sin \frac{\alpha}{2} \right) an = \pi a^2 n^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$

Вот еще одна задача.

Задача 4. Прямоугольник вращется около оси, проходящий через его вершину паралельно диаzoнали. Определить объем и поверхность тела вращения, если диаzoналь прямоугольника равна d, а угол между диаzoналими равен φ.

Рис. 5.

Здесь площад примугольника равна $\frac{d^2}{2}\sin\varphi$ , его перimetр равен

$2d\left(\sin\frac{\varphi}{2}+\cos\frac{\varphi}{2}\right)= =2\sqrt{2}d\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right),$

а центр тяжести находится на расстоянии $R=\frac{d}{2}\sin\varphi$ от спи врашения. Следовательно, по теорем Гюльдена

$V=\frac{1}{2}\pi d^3\sin^2\varphi,$

$S=2\pi d^2\sqrt{2}\sin\varphi\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right).$

Обычное решение довольно громоздко: нужно найти объемы двух усеченных конусов с образующими BC и CD (рис. 5) без объемых двух полных конусов с образующими AB и AD. Однако если продолжить стороны BC и CD до пересечения с осью врашения в точках M и N, то искомый объем значительного корочка вычисляется как сумма объемых двух полных конусов с образующими CM и CN без удовлетворого объема тела, образованного врашением треугольника ABM (сумма объемов полных конусов с образующими AB и BM). Удвоенный объем потому, что надо бы вычитать сумму объемов тел, полученных от врашения двух треугольников ABM и ADN. Но один из этих треугольников может быть совмещен со вторым с помощью перенока, паралельного оси. Поэтому объемы этих тел врашения равны между собой.

Точно так же при вычислении поэверхностей в этой задаче боковые поверхности усеченных конусов могут быть заменены боковыми поверхности полных конусов, что тоже заменено сокращает выкладки.

Последение наших задачи также позволяет использовать для их решения все упрощения и премишства, которые дают теоремы Гюльдена. Предоставляем решить ее читателю.

Задание 5. Ромб со сторонай а и острым углом α врачается около сси, проходящей вне ромба паралельно стороне на расстоянии $\frac{a}{4}$ от этой стороны. Определить объем и поверхности тела врачания.

Задание 6. Квадрат ABCD со сторонай а врачается около оси, проходящей вне ромба паралельно вом близкой вершины A квадрата и составляющей угол α со сторонай AB. Определить объем и поверхности тела врачания.

Рис. 2. Рис. 3.

откуда
$r^* = \frac{(n-1)r + r_n}{n} = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n}{n}.$

Таким образом, утверждение леммы справедливо для $n$ материальных точек. Проведенная индукция и доказывает лемму.

Перейдем теперь к доказательству первой теоремы Гольдена. Прежде всего доказем, что эта теорема справедлива, если плоская линия, о которой идет речь в теореме, является $n$ -звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину $m$ . Середины звенев ломаной обозначим через $M_1, M_2, \dots, M_n$ , а расстояния этих точек от прямой $l$ через $r_1, r_2, \dots, r_n$ (рис. 2). При врашении расматриваемой ломаной вектор пряной $l$ получается поверхности (рис. 3), состоящая из $n$ частей, каждой из которых представляет собой боковую поверхности усеченного конуса. Так как боковая поверхности усеченного конуса равна произведению длины образующего на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся поверхности врашения равна
$S = m \cdot 2\pi r_1 + m \cdot 2\pi r_2 + \dots + m \cdot 2\pi r_n.$

Замечая, что длина расматриваемой ломаной (рис. 2) равна $P = nm$ , можно переписать выражение для площади так:
$S = P \cdot 2\pi R,$
где
$R = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_n}{n}.$

Но центр тяжестни ломаной, то есть центр тяжестни системы точек $M_1, M_2, \dots, M_n$ , в каждой из которыхисредоточена масса $m$ , согласно лемме, отстоит от прямой $l$ на расстоянии $R$ . Это и означает, что в расматриваемом частном случае первая теорема Гольдена справедлива.

Обратимся теперь к общему случае. Пусть $K$ — плоская линия, а $\Pi$ — поверхность, получающая при врашении лилини $K$ вокруг пряной $l$ . Разведем ножки циркуля на некоторое расстояние $m$ и будем, начиная от одного конца лилини $K$ , откладывать засечки вдоль лилини $K$ (рис. 4) столько раз, сколько мы сможем это сделать. Соединяя последовательно точки, полученные при выполнении этих засечек, мы получим ломаную $L$ , вписанную в лилини $K$ , причем все звенья ломаной $L$ имеют одну и ту же длину $m$ (рис. 5). При врашении ломаной $L$ вокруг пряной $l$ получится поверхности $T$ , вписанная в поверхности $\Pi$ .

Как мы уже знаем, площадь $S$ поверхности $T$ вычисляется по формуле (1), где $P$ — длина лилини $L$ , а $R$ — расстояние центра тяжестни лилини $L$ от прямой $l$ . Будем теперь в этом построении считать, что $m \to 0$ . Тогда

Длина $P$ ломаной $L$ будет стремиться к длине линии $K$ , площадь поверхности $T$ будет стремиться к площади поверхности $\Pi$ , а центр тяжести ломаной $L$ будет приближаться к центру тяжести линии $K$ . Так как для ломаной $L$ справедливо, то, переходя к пределу при $m \to 0$ , мы найдем, что соответствие (1) справедливо и для линии $K$ . Этим и завершается доказательство первой теоремы Гюльдена.

Обратимся теперь к доказательству второй теоремы Гюльдена. Прежде всего рассмотрим шайбу, то есть тело, получающейся при врашении прямогогольника вокруг прямой, которая не пересекает прямогогольника и параллельна двум его сторонам (рис. 6). Объем шайбы легко вычислить как разность объемов двух цилиндров. Представляем читателю самостояльно вычислить этот объем $V$ и убедиться, что для шайбы справедливый вторая теорема Гюльдена,

$V = S \cdot 2\pi r,$

(3)

где $S$ — площадь врашающегося прямогогольника, а $r$ — расстояние его центра тяжести от оси врашения $l$ .

Пусть теперь $F$ — плоская фигура площади $S$ , а $l$ — лежащая в ее плоскости прямая, не пересекающая фигуры $F$ . Возьмем произвольное натуральное число $n$ и проведем $n - 1$ прямых, перепendlukyrных $l$ и разбиаюших фигуру $F$ на $n$ «долек», каждая из которых имеет одну и ту же площадь $\frac{1}{n} S$ (рис. 7). Каждый «долек» ограничена двумя отрезками, перpendикularными $l$ , и двумя дугами, соединяющими концы этих отрезков. (Правда, если фигура $F$ — не выпуклая, то могут быть и более сложные «долеки», как, например, на рис. 8; однако проводимые расчудения применены и к этому случаю.) Заменим эти дуги отрезками, параллельными $l$ , так, чтобы площадь при этом не изменилась (то есть чтобы «долека» превращалась в прямогогольник той же площади $\frac{1}{n} S$ ). Проделав это с каждой «долекой», мы превращим $F$ в «ступенчатую» фигуру $G$ , мало отличную от фигуры $F$ . Фигура $G$ составлена из $n$ прямогогольников, каждый из которых имеет площадь $\frac{1}{n} S$ . Центры тяжести этих прямо-

угодников обозначим через $M_1, M_2, \dots, M_n$ (рис. 9), а их расстояния от прямой $l$ —через $r_1, r_2, \dots, r_n$ .

При выражении фигуры $F$ вокруг прямой $l$ получается тело $X$ , объем которого требуется найти, а при выражении фигуры $G$ вокруг прямой $l$ получается тело $Y$ , мало отличищеся от тела $X$ . Так как фигура $G$ составляет из $n$ прямогольников, то тело $Y$ составляет из $n$ шайб. Вычисляя объем каждого шайбы по формуле (3), легко найти объем $V$ тела $Y$ :

$V = \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_1 + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_2 + \dots + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_n,$

то есть

$V = S \cdot 2\pi R,$

(4)

где $R$ вычисляется по формуле (2). Заметим теперь, что центraryтяжестиплощади фигуры $G$ , то есть центraryтяжестип системы точки $M_1, M_2, \dots, M_n$ , в каждой из которых сосредоточена масса $\frac{1}{n} S$ , согласно лемме, отстояют от прямой $l$ на расстоянии $R$ . Формула (4) означает, следовательно, что для фигуры $G$ вторая теорема Гольдена справедлива.

Будем теперь в этом построении считать, что $n \to \infty$ . Тогда объем тела $Y$ , получащегося при выражении фигуры $G$ , будет стремиться к объему тела $X$ , а центraryтяжестиплощади фигуры $G$ будут стремиться к центру тяжести фигуры $F$ . (Заметим, что площади фигур $F$ и $G$ одинаковы.) Так как для любого $n$ соответствие (4) для фигуры $G$ справедливо, то, переход к предлу при $n \to \infty$ , мы найдем, что соответствие (4) справедливо и для фигуры $F$ . Эти завершается доказательство второй теоремы Гольдена.

Вторую теорему Гольдена можно условить считать «трехмерной» теоремой Гольдена, так как она говорит об объеме тела врашения. Первоую теорему Гольдена можно назвать «двумерной», так как она говорит о площади поверхности врашения. Можно по аналогии с формулировать «одномерную теорему Гольдена»:

Пусть в плоскости по одному сторону прямой $l$ даны несколько точек. Тогда суммарная длина $C$ окружности, получающей этой системе точек вокруг прямой $l$ , равна произведению числа точек на длину окружности, радиусом которой служим рассмотрение от оси вращения $l$ до центра мягкости этой системы точек:

$C = n \cdot 2\pi R,$

еде $n$ — число точек, а $R$ — расстояние от центра мягкости до оси вращения.

Читатель без труда сам докажет эту простеньку теорему.

Любопытно, что все три теоремы Гольдена (трехмерная, двумерная и одномерная) могут быть объединены одной формулировкой. Делается это так. Будем называть нульмерной фигурой любое множество, состоящее из конечного числа точек. Далее, нульмерным объемом нульмерной фигуры условиям называется число точек этой фигуры. Линия условия называется одномерными фигурами; длину линии будем называть ее одномерным объемом. Поверхности (в частисти, плоские фигуры) условиям называется двумерными фигурами, а площадь поверхности — ее двумерным объемом. Накониц, тела будем называть трехмерными фигурами, а объем тела будем также называть его трехмерным объемом.

Теорема Гольдена. Пусть в плоскости по одному сторону прямой $l$ расположена $(k - 1)$ -мерная фигура $F$ (эдесь $k$ — любое из чисел 1, 2, 3). Через $S$ обозначим $(k - 1)$ -мерный объем фигуры $F$ , а через $R$ — расстояние от ее центра мягкости до прямой $l$ . При вращении фигуры $F$ вокруг прямой $l$ получается к-терминал фигура, к-терминал объем которого выполняется по формуле:

$V = S \cdot 2\pi R.$

При $k = 3$ это дает «трехмерную» теорему Гольдена; при $k = 2$ и 1 получаем (только в них обозначение