63
Даже по небольшим выдержкам из «Математических доступов», которые мы печатем в 5-м и 6-м номерах «Кванта», можно судить о том, насколько широк круг интересов Мартина Гарднера.
Мартин Гарднер по существу создал новый жанр популярной литературы. Его книги по праву можно назвать математических развлечениями XX века.
Читая его новелы, нельзя изполучить удобства от раскрытия самых необходимых связей между развлечениями и серbezной науки и не удивиться остроимому применению математических понятий и вычислительной техники для анализа и головоломок.
Трудно да и незачем пересказывать содержание этой великолепной книги. Ее нужно прочесть.
В заключение мы приводим несколько отрывков из этой книги.
Казнь врасплох и связанный с ней логический парадокс
Осуденного бросили в тюрьму в субботу.
— Тебя повесят в полень, — сказал ему судья, — в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни.
Судья славился тем, что всегда держал свое слово. Осуденный вернулясь в камеру в сопровождаении адвоката. Как только их оставили вводом, защищик удовлетворенно ухмыльнуся.
— Нeyжели не понятно? — воскликнул он. — Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!
— Как? Ничего не понимало, — пробормotal узник.
— Сейчас обьясно. Очевидно, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота — последний день недели, и в пятницу днем ты бы уже знал наверняка, что тебя повесят в субботу. Таким образом, одекани тебе стало бы известно до официального уведомления в субботу
утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.
— Верно, — согласно заключений.
— Итак, суббота, безусловно, отпадает, — продолжал адвокат, — поэтому пятница остается последним днем, когда тебя могут повесить. Оdnako и в пятницу повесить тебя нельзя, либо после четверга осталось бы всего два дня — пятница и суббота. Поскольку суббота не может быть днем казни, повесить тебя должны лишь в пятницу. Но раз тебе об этом станет известно еще в четверг, то приказ судьи опять тоже отпадает. Итак, последний день, когда тебя еще могли бы казнить, это четверг. Оdnako четверг тоже не годится, потому что, оставшись в среду живым, ты сразу понешь, что казнь должна состояться в четверг.
— Все понятно! — воскликнул заключений, воспрянувduxом. — Точно так же я могу исключаить среду, вторник и понедельник. Остается только завтраший день. Но завтра меня наверняка не повесят, потому что я знаю об этом уже сегодня!
И вдруг, к немалому удивлению осуденного, в четверг утром в камеру является палч. Осуденный, конечно, этого не жадал, но само удивительное, что приговор оказался совершенным — его можно привести в исполнение в полном соответствии с формулировкой.
В чем же здесь противоречие?
Проблемыуличного движения в горode Флойдз-Ноб
Роберт Эббот предложил внимание читателей лабиринт, изобравенный на рисунке 1, сопрововив его следующим поясением.
«В городке Флойдз-Ноб, шитат Индина, имеет лишь 37 загereiстрированных автоматии, и мэр городка решил назначить своего двойного брата Генри Степьлза, большого шутника, известного своего любовью к эксцентическим поступкам, начальником отдела регулярования личного движения, решив, что тот без труда справится с возникенными на него обязаностями. Вскоре мэр пожалел о принятим решения.
Проснувшись однажды утром, жители городка увидели множество знаков. Однако начальник полиции — второй двойной брата мэра — обнаружил, что водители настолько выходит из себя от такого обилия знаков, что рано или поздно совершают запрещенный поворот, и городская казна получает от штрафов за эти нарушения больше, чем от штрафов за
64
превышение скорости на пригородном шоссе.
Кроме того, жители городка не без злорадства ожидали, как на следующий день, в субботу, через город прследует Мозес Мак-Адам, самый богатый фермер вокруг, имевший обыкновение проводить конец недели в загородном доме. Все надялись позабавиться над Мозесом, полагая, что проехать через город без единого нарушения невозможно. Но Мозес тайком раздобил план города со всеми дорогими знаками и хоршенько изучил его. Когда настала суббота, он, к удивлению жителей, проехал через весь город без единого нарушения !!
Может ли вы восстановить маршрут, по которому Мозес следовал через город? Очтившись на любом перекрестке, вы имеете право двигать в направлении одной из стрелок, то есть поворачивать в нужную сторону разрешается лишь при условии, если имеется закругление, по которому можно свернуть, а следовательно, прямо — лишь при условии, если в нужную сторону идет прямая линия. Поворачивать, двигаясь задним ходом, запрещается. Нельзя разворачивать и на 180°. Покидать перекресток разрешается только в направлении какой-нибудь из стрелок. Например, достигнуть первого после выезда в город перекрестка, вы должны будете выбрать одну из двух возможностей: поехать на север или прямо (то есть на восток).
Если вы поедете прямо, то на следующего перекрестке сможете либо свернуть на юг, либо продолжить свой путь на восток. Хотя на втором перекрестке имеется закругление к северу, но стрелки, выходящей из него на север, нет, поэтому покидать второй перекресток, держа курс на север, воспрещается.
Игра в веревочку
Достойно соскаления, что искусство составления узоров не получило широкого распространения;
особенно полезным оно могло бы оказаться в руках учитель наальных классов, медицинских секрет, ухаживающих за больными, вынужденными в течение длительного времени нахождения в постели, и психiatров, рекомендующих ручной труд в качестве терпиии.
Чтобы удовлетворить аппетиты читателей, я объясню, как сделать один из простейших и наиболее известных ромбических узоров. Его называют «ромбы оседжей», потому что этот узор впервые показал индец из пламеней ссиджей, однаково в США его чаще называют «lectтицей Якова». Читатель должен взять полтора метра мягкого шнура, связать его концы и «показать, на что он способен». Немного попрактиковавшись, вы сможете строить «lectтицей Якова» менее чем за 10 секунд.
Исходное положение — такое же, как и в большинстве веревочных узоров: петля надета на большие пальцы и минизцы обеих рук (рис. 2, а). Указательным пальцем правой руки подделите участок шнура между минизцем и большим пальцем левой руки и, не спуская шнура с пальца, отведите правую руку вправо. Указательным пальцем левой руки подделите участок шнура между минизцем и большим пальцем правой руки (указаетельный пальец левой руки должен при этом пройти между участками шнура, наброшенного на указательный пальце правой руки) и отведите левую руку вправо. У вас получится фигура, показанная на рисунке 2, б. Освободив большие пальцы обеих рук и натянув шнур, вы получите фигуру, показанной на рисунке 2, в. Поверните рукиладомми от себя, чтобы вам легче было подделать кончики больших пальцев смытый участок шнура в точках, обозначенных на рисунке 2, в буквами А. Поддев, разверните руки в прежнее положение. При этом участок, который был сделанным от вас, продолжет под всеми остальных участками шнура и станет самым близким (рис. 2, е). Согните большие пальцы над ближайшим к ним участками шнура и подделите им следующий участок в точках, обозначенных буквами А на рисунке 2, е. Сбросьте petли с минизцев. У вас получится веревочная фигура, изображенная на рисунке 2, д.
Согните теперь минизцы над ближайшим к ним участками шнура, и тыльной стороны минизцев подделите шнур в точках, обозначенных буквами А на рисунке 2, д. Освободив большие пальцы, вы получите фигуру, изображенная на рисунке 2, е. Согните большие пальцы над двумя ближайшими к ним участками шнура и подделите их тьльной стороны следующее (третьот них) участки шнура в точках, обозначенных буквами А на рисунке 2, е. Верните большие пальцы в исходное положение. У вас получится фигура, изображенная на рисунке 2, ж.
Большим и указательным пальцами правой руки возвратить шнур в точке А (рис. 2, ж), потяните на себя и наденьте petли на больший пальцелевый рукой. Затем возвратите petли, которая была уже надета на больший пальцелевый рукой, в точке B (рис. 2, ж) и поднимите ее, тем самым вы спустите эту petли с большего пальца. Этот обмен petли часто встречается в веревочных узрах. Левой рукой произведите аналогичный обмен petли на большим пальце правой руки. (Мастера веревочных узрах могут обменать petли на общих пальцах одновременно без помощи другую руку, но начинающему лучше придерживать описанной выше последовательности.) После всех операций у вас должны получиться фигура, показанная на рисунке 2, з.
Телерь все готов для последнего движения. Согнуть указательные пальцы, введите их кончики в маленькие треугольники, помеченные буквами А на рисунке 2, з. Высвободите минизцы из пе-
65
тель и одновременное поверните обе руки ладонями от себя, как можно сільне растопырив больше и указываемые пальцы. (Выполняя заключительную операцию, следите за тем, чтобы шнур имел достаточно большеую «слабину», иначе узор не раскроется полностью.) Туго натяните шнур. Если все было сделано правильно, вы увидите дорогку из ромбов, изображенную на рисунке 2, и. Внезапное появление красных узоров из хаоса веревочных переплетений принадлежит к числу наиболее приятных особенностей большинства манипуляции с веревочкой.
Тем, кто в совершенстве овладел искусством составления веревочных узоров, может доставить удовольствие выступление в «парном разряде», когда одну и ту же петлю удерживает две игraisших: один — правой, другой — левой рукой. Играя вдвоем, нетрудно одновременно сплести два одинаковых узора на двух петлях (первая петля накинита на правую руку первого игрока и на левую руку первого игрока и на вторую руку второго). Гораздо труднее одновременно сплести два различных узора. Такой триок требует огромного мастерства и точной координации движений.
Еще одна задача на веревивание
Из пяты данных предметов никакие два не весят одинаково. Эти пяты предметов надо расположить в ряд по мере возрастания их веса. У нас есть рычажные весы с двумя чашами, но нет гирь. Как решить задачу, произведя не более семи веревивания?
Ясно, что для двух предметов достагоно одного веревивания. При предмете придется веревивать трижды. Пускай первоое веревивание определяют, что A также ее, чем B. Положим на весы B и C. Если B окажется тяжелее, то задача будет решена с помощью двух веревенаний; если же тяжелее окажется C, то потребуется третье веревивание, с помощью которого мы сравним между собой предметы C и A. Если перед вам четые предмета, то можно легко обойтись пятую веревинами.
Когда число предметов доходит до пяты, задача перестает быть правильно, а с дальнейшим ростом числа веревинаемых предметов трудность задачи очень быстро увеличивается. Насколько мне известно, пока не существует общего метода для упорядочения n предметов с помощью наименьшего возможного числа веревинании.
В. Н. Березин.
М. Л. Смолянский