Задачи М206—М210; Ф218—Ф222

42

Задачик «Кваenta»

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 30 августа 1973 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Кваент». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кваenta», М206, М207» или «… Ф218».

Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. Оргинальные задачи, предлагаемые для публикации, присваивают вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кваenta», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). Задчи из разных номеров журнала просылайте в разных конвертах.

В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки ваших решений).

Задчи повышенной трудности отмечены звездочкой.

После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Задачи

M206-M210, Ф218-Ф222

M206. Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа $n$, взимно простого с числом 10, в последовательности можно указать такую группу стоящих подряд цифр, что записьаемое этими цифрами число делится на $n$.

В. Уфнаровский

M207. Даны два треугольника $A_1A_2A_3$ и $B_1B_2B_3$. Опишите вектор треугольника $A_1A_2A_3$ треугольник $M_1M_2M_3$ наиболее площади, подобный треугольнику $B_1B_2B_3$ (при этом вершина $A_1$ должна лежать на прямой $M_2M_3$, вершина $A_2$ — на прямой $M_3M_1$, вершина $A_3$ — на прямой $M_1M_2$).

Н. Д. Назаев

M208. Известно, что разность между наиболее площами и наиболее извещенными чисел

$$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{10}$$

равна 1. Какой

a) наиболее,
b) наиболее может быть разность между наиболее и наиболее из 10 чисел

$$x_1, \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \ldots; \frac{x_1+x_2+\ldots+x_{10}}{10}$$

Каков будет ответ, если чисел не 10, а $n$?

В. Б. Пеллер

M209. Для любого треугольника $ABC$ можно вычислить такую сумму:

$$S = tg^2 A/2 + tg^2 B/2 + tg^2 C/2.$$

Докажите, что

a) $S < 2$ для всех острульных и прямоугольных треугольников;

b) $S > 2$ для тупоугольных треугольников с тупым углом, большим 2 аргумент $^4/3$;

в) среди треугольников с тупым углом $\phi$ таким, что $\frac{\pi}{2} < \phi < 2\arctg \frac{4}{3}$, имеются и такие, что $S > 2$, и такие, что $S < 2$.

М. Л. Гервер

43

*M210. Расстояние последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрезается помещать местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называются эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько всего существует неэквивалентных последовательностей?

Г. А. Гуревиц

**Ф218. Железнодорожный состав идет с постоянной скоростью $v = 72 \text{ km/ч}$ по горизонтальном участку пути. На сколько должа изменить мощность, развиваемая локотивом, чтобы состав с той же скоростью продолжал дивгатся во время сильного вертикального дждя. Считать, что каждую секунду на состав падает $m = 100 \text{ кг}$ воды, которая затем стекает на землю по стенкам варонов. Изменением сил треня пренебречь.

С. М. Козел

**Ф219. В вертикальном цилиндре имеется $n$ молей идеального одноатомного газа. Цилиндр закрыт сверху поршнем массы $M$ и площади $S$. Вначале поршень удерживаются неподвижным, газ в цилиндре занимает объем $V_0$ и имел температуру $T_0$. Затем поршень освободили, и после нескольких колебаний он пришел в состояние покоя. Пренебрегая в расчетах всеми силими треня, а также теплоемкость поршня и цилиндра, найти температуру и объем газа при новом положении поршня.

Вся система теплопозолинована. Атомосферное давление равно $P_a$.

**Ф220. Экран освещается параллельным пунктом лучей, перпендикулярным плоскости экрана. Как изменяется освещенность экрана, если на пути света поставить признам $ABC$ с малым углом растора $\alpha$ и показателем преломления $n$, причем грань $AB$ параллельна экрану (рис. 1)? Отражением света от признамы пренебречь.

**Ф221. На неподвижном круглом цилиндре радиуса $R$ лежит докса, как показано на рис. 2. Толщина докса равна $h$. При каком соотношении между $h$ и $R$ равновесие докси будет устойчивым? Трене между докской и цилиндром велико.

В. Д. Кривенков

*Ф222. Громоотвод соединен с землей при помощи тонкостенной трубки диаметром 2 см и толщиной стенок 2 мм. После удрама трубка мгновенно превращалась в круглый стержень. Объясните это явление и оцените силу тока разряда, если известно, что при скатании цилиндрической образце диаметром 3 мм, сделанный из того же материалов, что и трубка, разрушается при силе 140000н.

П. Л. Капша