75
Пальцы — счетная машина
Считать люди научились давно, и антипологам еще предстит найти первобытное общество, члены которого не умели считать. Долгое время среди ученых существовало мнение, что первобытные племена могли считать только до двух, так как для обозначения чисел у них были слова «один», «два» и «много». При этом поразжала их сверхъестестенная способность, просмотрев стаю овец, сказал, что одна овца пропала. Объясняли это феноменальной памяти древних людей, которая позволяла им запоминать «форму» всего стадии каждого овцу по ее виду. Более поздние исследования показали, что применение одного слова для всех чисел, больших двух, не означало, что люди ничего не знали о разнице между пятую и шестую камнями и что обозначение одним словом голубого и зеленого не означает, что они не видят разницы в цвете между зеленой травой и голубым небом. Племена с ограниченным запасом слов имели тщательно разработанные способы счита на пальцах рук и ног.
Первобытные общества различались не только своим выбором основания системы числения, но и манерой счита. Так как у большинства людей права рука более активная, то счет обычно начинали с большого пальца или минница левой руки, договора
*) Мы публикуем переработанную статью известного американского ученого-популяризатора М. Гарднера (Scientific American, 9, 1968, с. 218—230). Публикация подстовлена А. С. Варпаховским.
ясь правой рукой до пальцев левой руки, либо загибая пальцы левой руки, либо отгибая пальцы, ранее сжать в кулак. Известны и другие способы счита. Так, например, жители островов Бенгальского залива начиная с счет с минцица, договораясь до своего носа очередным пальцем, а на острове между Австралией и Новой Гвинеей люди считали до пятни, поступившие пальцами левой руки, а затем переходили не на правую руку, а на левое запятые, локоть, плею, левую грудь и т. д. и продолжали счет, изменяя этот порядок на обратный, но уже с правой стороны тела. Математики заметили, что поступление при счете применялось для обозначения порядковых чисел (первый, второй и т. д.), а когда пальцы поднимались сразу, то это обозначало количественные числа.
Хотя подавляюще большинство системы счита на пальцах имело в основании число десять (они были, как мы теперь говорим, десятичные), можно также легко считать на пальцах в системе с другими основами. Пальцы особенно удобны для счита в самой простой системе — двойной *). Примой и согласный можно сравнить с триггером в современных вычислительных машинах, в которых используется двойная система. При счите на пальцах в двойной системе примой пальц может ознакомиться, а согласный — нуль. Тогда самое большое число, выраженное пальцами обеих руkes, будет равно 1111111111, то есть 2^{10}—1 = 1023 в десятичной системе, причем самая
*) Двоичная система—это система, в основании которой лежит число 2. В двойной системе участют только две цифры — 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу седуощего разряд. Так, число 2 записывается как 10, число 3 как 11, число 4 как 100, число 1000 как 1111 101 000 и т. д.
Таблица сложения выглідит так: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 10.
Таблица умножения имеет седуощий вид: 0.0 = 0; 0.1 = 0; 1.1 = 1.
Подробнее о двойной системе числе вы можете прочитать в книге Ф о м и и а С. В. «Системы числения» М., «Нayka», 1968.
76
младшая единица соответствует минцицу правой руки. Два в двойной системе выражается как 10, то есть минциец в согласно состоянии, а безымянный палец — прямой. Если еще выпрямить и минциец, то это будет означаать 11, то есть три в десятичной системе. На рис. 1 показано, как на пальцах обеих рук представить 500 в двойной системе. Если немного попрактиковаться, то можно легко научиться не только представлять на пальцах десятичные числа в двойной системе, но и осуществлять сложение и вычитание в этой системе единиц.
Уже в средние века был известен метод умножения чисел от 6 до 10, то есть чисел, больших 5. В 1492 году было определено общее правило использования дополнительных двух чисел до 10. (Дополнитель числа равно 10 — .) Для умножения 7 на 8 берется их дополнительity: 3 и 2. Разность между любым из двух исходных чисел и ему непарным дополнительным определяет цифру десятков, то есть в нашем случае 5, а произведение дополнительной определяет вторую цифру результата, то есть , окончательный результат 50+6=56. Применение этого метода к умножению на пальцах сводилось к следующему. Пальцы каждой руки нумеруются от 6 до 10, начиная с минцица. Для умножения 7 на 8 пальц под номером 7 одной руки соединяется с пальцем под номером 8 другой руки (рис. 2). Дополнительism 7 является три верхних пальца левой руки, а дополнительism 8 — два верхних пальца правой руки. Сумма всех остальных пальцев обеих рук определяет цифру десятков, то есть 5. К пятидестири прибавляем произведение верхних пальцев 2 и 3, ответ равен 56. Этот простой способ использования пальцев для вычисления произведения любой пары чисел от 6 до 10 широко применяется в период Ренессана и, говоря, до них пор применяется крестьянами в некоторых районах Европы. Вместо использования дополнительия до 10 можно пред-