Решения задач М165—М169; Ф183—Ф187

44

Решения задач

M165. На окружности расположено множество F мощь, состоящее из 100 дуэ. Известно, что при любом поворете R окружности множества R (F) имеем общую мощку c F. (Друещим словами, для любого α от 0° до 180° в множестве F можно указать две мощки, отстояние друе от друда на α.) Какую наименьшую сумму длин мощим объем 100 дуе, образующих множество F? Каков будем ответом, если дуе не 100, а n?

Решим задачу для n дуг.
Обозначим сумму длин n дуг, образующих множество F через S*).
S может быть сколь угодно близко к $\frac{180^\circ}{n}$. Достаточно приввести пример: располагаем (n−1) дугу, длина каждой из которых равна $\frac{a^\circ}{n}$ так, чтобы центры любых двух соседних отстояли на $\frac{180^\circ}{n}$, а за (n−1)-й помещаем n-ю дуг с длиной $\frac{180^\circ}{n}$ так, чтобы расстояние между их ближайшими концами равностью $\frac{180^\circ}{n}$.

Легко проверяется, что указаная система

*) Поскольку нас интересует только относительная длина дуги, мы будем измерять ее в градусах.

Рис. 1.

ма друг удовлетворяет условиям задачи. При соответствующем выборе $a^\circ$ сумма длин дуг будет как угол близка к $\frac{180^\circ}{n}$.

Если же точку на окружности считать дугной нульевой длины, то, заменив в примере все дуги, кроме последней, на точки, получаем множество F с суммой длин дуг, равной $\frac{180^\circ}{n}$ (рис. 1).

Докажем, что сумма S длин дуг не может быть меньше этого числа. Представим себе, что мы имеем два экземпляра нашей окружности, на которых размешены те же самые n дуг. Повернем одну из окружностей на угол φ, 0 < φ < 360°. Расмотрим множество $U_{ij}$ всех таких значений φ, для которых при таком повороте i−j дуга повернуть окружности пересекается с j−й дугой не подвижной окружности. Нарисуем отдельно «kontrolhyю» окружность (с выбранной на ней начальной точкой φ = 0 (рис. 2)) и отметим на ней множества $U_{ij}$ для всех i, j от 1 до n. Ясно, что $U_{ij}$ является дугой с длиной, равной сумме длин i−j и j−й дуг.

Рис. 2:

Отмеченные множества $U_{ij}$ должны заполнять всю «kontrolhyю» окружность, так как при любом повороте какие-то две дуги нашего множества должны пересекаться, поэтому сумма длин всех $U_{ij}$ не меньше 360°. С другой стороны, эта сумма равна 2n . S, так как каждая дуга множества входит в сумму 2n раз.

Отсюда получаем, что $S \geq \frac{360^\circ}{2n} = \frac{180^\circ}{n}$.

Нетрудно заметить, что неравенство должно быть строгим (если отдельные точки не считать дугами), так как любые две области $U_{ii}$ и $U_{jj}$ имеют общий участок, содержащий начало отсечета.

Ю. П. Лысов

M166. a) Школьники однозоно класса в семгrabре ходили в два муристских похода. В первом подходе мальчиков было меньше 2/5 общего числа участников этого похода и во втором — менее 2/5. Докажите, что в этом классе мальчиков составляют меньше 4/7 общего числа участков, если известно, что

45

Рис. 3.

каждый из учеников был по крайней мере в одном похode.

6. Пусть в i-м похode ($i = 1, 2, \dots, n$) мальчики составили $\alpha_i$ часы общего количества учатников этого похода. Какую наиболее долго могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто был хотя бы в одном из походов)?

a) В первом похode, как видно из условия, количество мальчиков было меньше 2/3 количество девочек — участниц этого похода. Тем более оно меньше 2/3 общего количества девочек — учениц класса. Тоно так же мальчиков — учатников второго похода — меньше 2/3 общего количества девочек в классе. Поскольку каждый ученик был хотя бы в одном походе, всего мальчиков в классе меньше 4/3 количество девочек. Следовательно, мальчиков в этом классе не больше 4/7 общего числа ученков.

С помощью обозначений, которые ясны из рис. 3 ($b$ и $g$ — первые буквы английских слов boy и girl), наше решение можно записать так.

По условию $5b_1 < 2(b_1 + g_1)$, открываем $3b_1 < 2g_1 \leq 2g$. Тоно так же доказывается, что $3b_2 < 2g_2 \leq 2g$. Поскольку $b \leq b_1 + b_2$, получаем $3b \leq 3b_1 + 3b_2 < 4g$, открываем $7b < 4(b + g)$.

6. Эта задача решается аналогично. Пусть $b_i$ и $g_i$ — число мальчиков и девочек в i-м похode, $b$ и $g$ — число мальчиков и девочек на общей встрече. Тогда по условию $b_i = \alpha_i(b_i + g_i)$, открываем $(1 - \alpha_i)b_i = \alpha_i g_i \leq \alpha_i g$, поэтому если $\alpha_i < 1$, то $b \leq \sum_{i=1}^{n} b_i \leq \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i} g\right) = g \sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i},$

откуда $b \left(1 + \sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i}\right) \leq (b + g) \sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i}$

(здесь $\sum_{i=1}^{n} - \text{знак суммирования}$:

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_i + \dots + x_n).$$

Итак, мы доказали, что если $\alpha_i < 1$ для всех $i$, то мальчики будут составлять не более $\frac{c}{1 + c}$ от общего числа учатников походов, где $c = \sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i}$.

Нужно еще убедиться в то, что эта граница может достигаться. Для этого требуется, чтобы все написанные неравенства превращались в равенства. Легко понять, что это будет так, если девочки во всех походах были одни и те же, а мальчики — разные, то есть каждый из мальчиков был только в одном походе. Покажем, что это может быть при любых $\alpha_i$. Пусть $\frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i} = \frac{m_i}{N}$ (числа $\alpha_i$ и, следовательно, $\frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i}$ рациональны; мы можем записать $\frac{\alpha_i}{1 - \alpha_i}$ в виде дробей с одним и тем же значением). Тогда, если в i-м похode $N$ (одних и тех же) девочек и $m_i$ (разных) мальчиков, то на встрече придут $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ мальчиков и $N$ девочек; относение $M$ к $N$ как раз равно $c$, а относение $M$ к $M + N$ равно $\frac{c}{1 + c}$.

Вернемся для примера к задаче a).

Если количество походов $n = 2$ и $\alpha_1 = \alpha_2 = \frac{2}{5}$, то точной оценкой должны являться число $\frac{c}{1 + c}$, где $c = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$, то есть число $\frac{c}{1 + c} = \frac{4}{7}$. Здесь $\alpha_1 = \frac{2}{3}$ ($i = 1, 2$), если в каждой походе были 3 (одних и те же) девочки и 2 мальчика (в первом походе — один, во втором — другие), то всего 7 участвников, из них 4 мальчика. (Если вам кажется, что 7 — слишком маленькое количество ученков в классе, то можете умножить одновременное все числа: 3, 2, 7 и 4, скажем, на 4 или на 5; поскольку только их отношения, это не повлияет на результат). Таким образом, число 4/7 в условиях задачи a) нельзя заменить меншим.

46

Возвращаясь снова к задаче 6), заметим, что если $\alpha_j = 1$ для некоторого $j$ (хотя бы для одного), то мы уже не можем дать никакой (отличной от 1) оценки сверху для доли мальчиков на общей встрече (не зная, сколько участников в каждой позиде). Действительно, если, независямо от других походов, взять число участников $j$-го похода очень большим (все они — мальчики), то долю мальчиков на общей встрече можно сделать сколько угодно близкой к 1.

M167. Докажите, что в любой арифметической прорессии $a, a + d, a + 2d, \dots, a + nd, \dots$, составленной из натуральных чисел, найдется бесконечного многочленов, в разложение которых на простые множители входят в моностmi odни и ме же простые числа.

Многие читатели, как показывают письма, не поняли условия задачи. Разберемся в нем подробнее.

Как известно, любое натуральное число $N$ можно разложить на простые множители:

$$N = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} \frac{\alpha_r}{p_1 p_2 \dots p_r},$$

и такое разложение единственно. В задаче M167 требуется доказать, что в любой арифметической прорессии из натуральных чисел можно выбрать такое бесконечное множество членов, что простые множители $p_1, p_2, \dots, p_r$ в разложении каждого из них — те же самые для всех этих членов (а степени $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ могут быть, конечно, разными). Перейдем теперь к решению задачи.

Прежде всего заметим, что если первый член $a$ и разность $d$ прорессии имеют общий наиболееший делитель $q > 1$, то на $q$ можно разделить все члены прорессии. Ясно, что достаточно решить задачу для этой новой прорессии, поскольку если какие-то члены новой прорессии имеют один и те же простые множители. Итак, мы можем считать, что $a$ и $d$ взятим просты. Верна такая лемма: если $HOД(a, d) = 1$, то существует максимое $k$, что $a^k - a$ делится на $d$ (мы напомним ниже, как это доказывается).

Тогда при любом целом $m > 0$

$$a^{km} - a = (a^k - a)(a^{k(m-1)} + a^{k(m-2)} + \dots + 1)$$

делится на $d$, то есть $a^{km} - a = nd$, где $n$ — целое число. Таким образом, для каждого натурального $m$ число $a^{km} = a + nd$ входит в нашу прорессию. Таким образом, существует бесконечное многочлен прорессии, являющийся неокторой степенью ее первого члена $a$. Ясно, что все эти члены имеют один и те же простые множители.

Доказательство леммы. Расмотрим последовательность чисел $a, a^2,$

Рис. 4.

$a^3, \dots$. В ней найдется два числа, дающие одинаковый остаток при делении на $d$. Пусть это будет $a^s$ и $a^t$ ($s < t$). Тогда их разность $a^t - a^s = a^s (a^{t-s} - 1)$ делится на $d$. Поскольку $a$ и $d$ взятим просты, то $a^{t-s} - 1$ делится на $d$, поэтому $a^{t-s+1} - a$ делится на $d$, то есть $k$ можно взять равным $t - s + 1$.

Это рассужждение уже приводилось в статье «Малая теорема Ферма» («Квант» № 10, 1972). Там же было сказано, что в роли $k$ можно взять число $\varphi(d)$ — количество чисел, меньше $d$ и взятим простых с ним. («Теорема Эйлер»: $a^{\varphi(d)} - 1$ делится на $d$, если $HOД(a, d) = 1$).

M168. В правильной усеченной парамде (рис. 4) можно К—середина неокторой строкой $AB$ верхнего основания, $L$ —середина неокторой строкой $CD$ нижнего основания. Докажите, что проекции отрезков $AB$ и $CD$ на прямую $KL$ равны по длине.

Если $a$ и $b$ — два отрезка (на плоскости или в пространстве), то проекцию отрезка $a$ на прямую, на которой лежит отрезок $b$, мы будем обозначать через $pr_ba$. Тогда (рис. 5)

$$pr_ba = a \cos \alpha,$$

где $\alpha$ — угол между прямыми, на которых

47

Лежат отрезки $a$ и $b$. (В этой и следующих формулах $a$, $p_r a$ и т.п. ознакомют длины соответствующих отрезков.) Наимененный угол между прямыми не превышает $\pi/2$, поэтому $\cos \alpha \geq 0$. Из (1) следует равенство
$$a p_r a = b p_r a,$$
(2)
которое пригодится нам при решении задачи.

Обозначим через $P$ центр верхнего, а через $Q$ центр нижнего оснований прямой. Мы докажем следующий факт, несколько более общий, чем нужно нам утверждение задачи М168.

Пусть плоскости двух подобных равновесных треугольников ABP и CDQ с вершинами $P$ и $Q$ перепределения отрезку PQ (и, тем самым, параллельные между собой). Обозначим отрезок, соединяющий середины $K$ и $L$ оснований AB и CD, через s. Тогда (рис. 6).
$$\pi p_s k = \pi p_s l.$$
(3)
Пользовать (2), мы вместе (3) можем доказать такое равенство:
$$k \pi p_k s = l \pi p_l s.$$
(4)
Теперь воспользуемся тем, что как это следует из (1), длина $p_r a$ не меняется при параллельном переноске отрезков $a$ и $b$. Поэтому мы можем спроектировать отрезок $k = AB$ на плоскость треугольника CDQ и получим:
$$\pi p_{A' B'} K' L = \pi p_{A' B'} K L = \pi p_{AB} K L =$$
$$= \pi p_k s,$$
(5)

Рис. 7.

где $A', B'$ и $K'$ — проекции точек $A, B$ и $K$ на плоскость CDQ (рис. 7). Таким образом, мы свели задачу к тому случаю, когда оба треугольника лежат в одной плоскости (и имеют общую вершину).

Если отрезки $AB$ и $CD$ параллельны, то равенство (4) очевидно, поскольку обе проекции равны нулю. Если эти отрезки не параллельны, то получаем:
$$\frac{k}{l} = \frac{A' B'}{CD} = \frac{Q K'}{QL} = \frac{\sin \angle QL K'}{\sin \angle QK' L} =$$
$$= \frac{|\cos \rightarrow K' LC|}{|\cos \rightarrow LK' B'|} = \frac{\pi p_l s}{\pi p_k s},$$
откуда следует (4).

M169. Пусть $k < n$ — намуральные числа. Расстояние числа 1, 2, 3, …, $n^2$ в таблице $n \times n$ мак, чтобы в каждой строке числа или в порядке возрастания и при этом сумма чисел в $k$-м стольце была $a$) наименьшей; б) наибольшей.

Решим сначала задачу a).

Если расставить числа так, как показано в таблице 1, $a$ — сначала заполнить первые $k$-стольцов, строку за строкой, числа от 1 до $kn$, а затем оставимся числа заполнить последнее ($n - k$) стольцов (как уголно, лишь бы выполнялось условие возрастания чисел в каждой строке)— то сумма числа

Таблица 1a

$$\begin{array}{c c c c c c c c c} k & 1 & 2 & \dots & k - 1 & k & nk + 1 & \dots \\ k + 1 & k + 2 & \dots & 2k - 1 & 2k & 3k & 3k & \dots \\ 2k + 1 & 2k + 2 & \dots & 3k - 1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\ (n - 1)k + 1 & \dots & nk - 1 & nk & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \end{array}$$

сел в $k$-м стольце будет равна
$$k(1 + 2 + \dots + n) = \frac{kn(n + 1)}{2}.$$
(1)

Мы докажем, что это значение суммы является наименьшим. Сначала докажем, что если $a_1, a_2, \dots, a_n$ — числа $k$-го стольца, заимурованные в порядке возрастания:
$$a_1 < a_2 < \dots < a_i < \dots < a_n$$
(2)
то
$$a_i \geq ki.$$
(3)

Действительно, рассмотрим числа, стоящие в тех же строках, где стоят $a_1, a_2, \dots, a_i$, и в первых $k$ стольцах. Из условия (2) и условия, что числа в строках стоят в возрастащемшем порядке, следует, что эти $ki$ чисел не превышают числа $a_i$. Следовательно, среди чисел 1, 2, 3, …, $n^2$ имеется по крайней мере $ki$ чисел, не превышающих $a_i$. Отсюда вытекает (3). Сложив неравенства (3) по всем

48

i = 1, 2, …, n, получим справа сумму (1), поэтому
$$a_1 + a_2 + \dots + a_n \geq \frac{kn(n+1)}{2}.$$

Задачу 6) можно решать аналогично, начиная с «самых больших» чисел и с самых правых столбцов. Но можно просто свести к уже решенной задаче a). Заменим в таблице каждого числа a на $(n^2 + 1 - a)$ и затем переставим числа в каждой строке в обратном порядке. Ясно, что это — взаимно-однозначное преобразование множества таблиц из чисел 1,2,…, $n^2$, удовлетворяющих условию задачи. При этом преобразования каждой числа в k-м столбце новой таблицы $A'$ равно числу в той же строке и в $(n+1 - k)$-м столбце старой таблицы $A$; поэтому сумма чисел в k-м столбце таблицы $A'$ равна $n(n^2 + 1) - S$, где $S$ — сумма чисел в $(n+1 - k)$-м столбце $A$. Так что достаточно решить задачу a) для столбца с номером $(n+1 - k)$, и мы получим решение задачи 6) для столбца с номером $k$; ответ можно записать так: максимальная сумма в k-м столбце равна
$$n(n^2 + 1) - \frac{(n+1 - k)n(n+1)}{2} = \frac{n[(n-1)^2 + k(n+1)]}{2}.$$

Таблица 16.

| n^2 - (n-k) | n^2 - (n+1-k) + 1 | n^2 - (n+1-k) + 1 |
| :— | :— | :— |
| n^2 - 2(n+1-k) + 1 | n^2 - 2(n+1-k) + 1 | n^2 - 2(n+1-k) + 1 |
| n^2 - 3(n+1-k) + 1 | n^2 - 3(n+1-k) + 1 | n^2 - 3(n+1-k) + 1 |

Таблица 2a.

| 1 | 2 | 3 | 4 | 25 | 26 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 27 | 28 |
| 9 | 10 | 11 | 12 | 29 | 30 |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 31 | 32 |
| 17 | 18 | 19 | 20 | 33 | 34 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 35 | 36 |

Сумма: 84

Таблица 26.

| 16 | 17 | 18 | 34 | 35 | 26 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 13 | 14 | 15 | 31 | 32 | 33 |
| 10 | 11 | 12 | 28 | 29 | 30 |
| 7 | 8 | 9 | 25 | 26 | 27 |
| 4 | 5 | 6 | 22 | 23 | 24 |
| 1 | 2 | 3 | 19 | 20 | 21 |

Сумма: 159

Пример (получающся при преобразовании $A \rightarrow A'$, $k \rightarrow n+1 - k$ из таблицы 1a) избражен на таблице 16. На таблицах 2, а и 2, б вы видите более наглудные числовые примеры для $n = 6$ и столбца с номером $k = 4$.

Н. Б. Васильев

Правильные решения некоторых из задач M160 — M169 нам прислали (после фамилия указана последняя цифра номеров решенных задач): П. Аэаронов (Баку) 7; С. Акмерцев (Магнитогорск) 3; P. Али-заде (П. Джебраил АзССР) 2; А. Асасян (Камо АрмССР) 1; Б. Ашавский (Москва) 3, 6, 7; П. Баньковский (Уральск) 3, 4, 7; Г. Баядян (Кировокан) 7; О. Базларян (Сисан АрмССР) 3, 7, 9; С. Белолипецкий (Киричан) 7; А. Блох (Харьков) 2, 3, 6, 7, 9; С. Бышкин (Севастополь) 3; А. Вальков (Ташкент) 2, 3, 6, 9; А. Волков (Челябинск) 1; Г. Вышочная (Краснойрск) 9; Л. Генериинович (Ташкент) 3, 4, 7; С. Гераськин (Воронеж) 7; Л. и Н. Готман (Арзамас) 8; А. Грицорян (Баку) 1—4, 6—9; В. Гриберг (Москва) 6—9; Е. Гурвиц (Ташкент) 3, 4; Е. Гусев (Павлоград) 6; Х. Гусейнов (П. Джебраил АзССР) 1; К. Данильенко (Волгоград) 2, 6; А. Данильь (Ленинград) 7; В. Дачцев (Анджан УзССР) 7; Н. Демчук (Мытщин Московской области) 8; Н. Денисов (Тейково Ивановской области) 3; М. Драчинский (Тбинис) 3; Н. Евламицев (Казань) 2, 3; Р. Еюрян (Раздан) 3; В. Железный (Ленинград) 2, 3; С. Зайцев (с. Судай Костромской области) 2, 3; Г. Зардарян (Тбилис) 6, 7; В. Зарубин (п. Летний Отдых Московской области) 3; А. Заслаский (Калинин) 2—4, 7, 9; С. Зенович (Ташкент) 3, 4, 7; Л. Зильберман (Москва) 9; Е. Ильтев (Орджоникидзе) 7; А. Калучкин (Иссык Алма-Атинской области) 4; Е. Калучина (Грозный) 3; А. Карнаух (Белгород) 3; В. Квасциин (п. Коркин Челябинской области) 3, 8; В. Ковтунец (с. Шостаков Ровенской области) 1, 3, 7, 8; С. Коняшин (Саратов) 2, 3, 5; В. Колосов (Киев) 1, 3, 4, 6—8; Е. Кривонос (Чусовой) 3; М. Левин (Виттебск) 3; М. Лейдерман (Могилев) 3; Б. Лемберский (Киев) 7; А. Литовченко (Белокорович Житомирской области) 3, 4; А. Лукацев (Москва) 1—3; Г. Луминцер (Черновцы) 6, 8; А. Макарцев (Львов) 2, 3, 9; Г. Малошенок (Львов) 1, 3, 4, 6—8; И. Медживовский (Москва) 3; А. Мехович (Владивосток) 3; О. Мясникова (Умань) 4; А. Насакин (Курган) 3; А. Николаев (Москва) 6, 7, 9; В. Палатник (Баку) 2, 3, 7, 8; М. Панченко (Бровары Киевской области) 4; П. Парамонов (Москва) 1—3, 6, 7; М. Пастухов (Свердловск) 3; Е. Печатников 2, А. Печковский (Москва) 7; Ю. Пинелис (Кзыл-Орда) 3; А. Разуляев (Клин Московской области) 2; А. Райин (Москва) 1, 2, 5, 9; С. Родюнов (Саратов) 1—3, 5; P. Рожков (Рязань) 2, 3; Л. Рудцер (Харьков) 2, 3, 6—8; М. Сапир (Свердловск) 3, 6, 7; В. Сац (Киев) 7; А. Сбоев (п. Медведок Кировской области) 2;

49

Т. Седрединов (с. Новый Куруш ДагАССР) 3; С. Соковки (д. Соковки, г. Слободской) 7; В. Слепой (Фрунзе) 3; В. Слепенko (Челябинск) 2, 3, 7–9; А. Слесаренко (Рубцовск Алтайского края) 2, 3, 6–9; А. Слинкин (Москва) 2, 3, 7–9; Е. СLOBODOV (Армавир) 4; В. Смолко (Кишинев) 4; Я. Сойбельман (Киев) 6, 7, 9; Ю. Стецко (Черновцы) 7; А. Струков (г. Тейково Ивановской обл.) 3; С. Табачинков (Москва) 1–4, 6, 8; А. Тацейев (Баку) 3, 4; Я. Тенер (Ташкент) 1, 3, 5–7; Э. Туркевич (Черновцы) 0–2, 7–9;

Ф183. Динамометр, который скользит по elaдкому горизонтальномому столу, мянум с постояной силой $F = 4$ н. Что показывает динамометр, если масса его пружины равна массе корпуса и отредадурован динамометр был в горизонтальном положении?

Возникалоющая при растяжении пружины сила пружости пропорциональна удалению пружины. Поэтому показание динамометра $T$ равно

$$T = k \Delta L,$$

(1)

где $k$ — жесткость пружины, $\Delta L$ — ее удлинение.

В обычных условиях, когда динамометр неподвижен, сила пружости в любом сечении пружины одна и та же, то есть любые равные урастки пружины удаляются при растяжении на одну и ту же величины.

При движении динамометра дело обстоит не так. Расмотрим сечение пружины, которое находится на расстоянии $x$ от конца пружины, прикрепленного к корпусу динамометра (рис. 8). Сила пружости $T_x$ создает ускорение корпусу динамометра и урастку пружины длиной $x$. Масса урастка пружины длиной $x$ равна

$$M_x = \frac{M}{L} x,$$

(2)

где $M$ — масса и $L$ — длина пружины.

Рис. 8.

Если ускорение динамометра равно $a$, то, согласно второму закону Ньютона, сила пружости в сечении $x$ можно записать так:

$$T_x = \left( M + M \frac{x}{L} \right) a.$$

(3)

Так как ускорение динамометру создает сила $F$, то

$$a = \frac{F}{M + M} = \frac{1}{2} \frac{F}{M}.$$

(4)

Позетому

$$T_x = \frac{1}{2} F \left( 1 + \frac{x}{L} \right).$$

(5)

Итак, сила $T_x$ непостояна и меняется от сечения к сечению вдоль пружины.

Для того чтобы найти удлинение пружины, мысленно разобем нерастянутую пружину на одинаковые меленькие пружники длиной $l$ также, что силу пружости на протяжении каждой из них можно считать постоянной. Пусть таких пружин будет $n$ (п» 1). Так как неоктора сила, действующая на $n$ последовательно соедининых пружин, вызывает деформацию, в $n$ раз большеую деформацию одной такой пружины $^*$), то жесткость короткой пружины в $n$ раз больше жесткости пружины динамометра:

$$k' = kn.$$

Будем отсчитывать пружины от конца пружины, прикрепленного к корпусу динамометра. Удлинение $i$-й пружины равно

$$\Delta l_i = \frac{T_i}{k'} = \frac{T_i}{kn}.$$

Но, как следует из формулы (5),

$$T_i = \frac{1}{2} F \left( 1 + \frac{il}{nl} \right) = \frac{1}{2} F \left( 1 + \frac{i}{n} \right).$$

Позетому

$$\Delta l_i = \frac{1}{2kn} F \left( 1 + \frac{i}{n} \right).$$

Положение пружины равно

$$\Delta L = \sum_{i=1}^{n} \Delta l_i = \frac{1}{2kn} F \sum_{i=1}^{n} \left( 1 + \frac{i}{n} \right).$$

Так как $\sum_{i=1}^{n} \left( 1 + \frac{i}{n} \right)$ представляет собой сумму членов арифметической прогressionа

$$^*)$$ Это следует из того факта, что сила пружости всех пружин при таком соедининии одна и та же.

50

рессии с разностью прогрессии $\frac{1}{n}$, то
$$\sum_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{i}{n}\right) = \frac{3n+1}{2}.$$
и
$$\Delta L = \frac{F}{4k} \frac{3n+1}{n}.$$
Но $n \gg 1$, поэтому
$$\Delta L \approx \frac{F}{4k} \frac{3n}{n} = \frac{3}{4} \frac{F}{k}.$$
Подставив это выражение для $\Delta L$ в формулу (1), найдем показания динамиметра
$$T = k \cdot \frac{3F}{4k} = \frac{3}{4} F = 3n.$$
Ф184. При передаче телевизионного изображения на Земле за одну секунду передается 25 кадров. Это означает, что один кадр передается за 1/25 секунды. В може время, как известно, передача одного кадра изображения Лунь советской автоматической станции «Луна» длилась 25 минут. Почему так велика разница во времени передачи одного кадра изображения в общих случаях?

Для передачи изображения необходимо прежде всего преобразовать его в электрический сигнал. Это происходит в передающей телевизионной трубке. Кадр изображения процируется на светочувствительный мозчный экран. Каждая из ячеек экрана заряжается, причем тем больше, чем больше ее освещенность. Так получается электрическое изображение передаваемого объекта. Затем электронный луч последовательно обегает различные участки этого изображения, двяяясь слева направо (вдоль строки) и сверху вниз (по строкам); электрическое изображение преобразуется в электрический сигнал.

Предположим, мы хотим передать картинику, показанную на рисунке 9. Яркость картиники по горизонтали меняется по снусовдальному закону. Пусть число максимов яркости равно $m$; число строк, на котором разбиается картика, равно $n$, а частота смены кадров $-f_k$. Электрический сигнал, несущий информацию о картике, имеет форму, показанную на рисунке 10.

Рис. 9.

Рис. 10.

За время передачи одной строки сигнал имеет $m$ максимумов, за время передачи одного кадра — $nm$ максимумов, а за 1 секунду — $nmf_k$ максимумов. Значит, циклическая частота сигнал $\Omega$ равна
$$\Omega = 2\pi f = 2\pi mnf_k.$$
Следовательно, частота сигнал $\Omega$ проорциональна частоте смены кадров
$$\Omega \sim f_k.$$
Величина сигнал меняется со временем по снусовдальному закону, который можно записать так:
$$u_{\Omega} = U_0 + U_1 \sin \Omega t = U_0 (1 + k \sin \Omega t),$$
где $k = \frac{U_1}{U_0}$.
Для того чтобы передать этот низкочастотный сигнал на большие расстояния, им модулируют сигнал высокой частоты $\omega$ ($\omega \gg \Omega$), величины которой меняется по закону
$$u = U'_0 \sin \omega t.$$
В результате модуляции амплитуды высокочастотного сигнал уже не постояна, а меняется со временем так же, как модулирующий низкочастотный сигнал (рис. 11).

Рис. 11.

Таким образом,
$$u_M = U'_0 (1 + k \sin \Omega t) \sin \omega t$$
($u_M$ — величина амплитудно-модулированного сигнала).

После несложных тригонометрических преобразований получим
$$u_M = U'_0 \sin \omega t + \frac{1}{2} k U'_0 \sin (\omega + \Omega) t + \frac{1}{2} k U'_0 \sin (\omega - \Omega) t.$$

Это означает, что в нашем случае амплитудно-модулированный сигнал представляет

51

ет собой сумму трех синусоидальных сигналов с частотами $\omega$, $\omega + \Omega$ и $\omega - \Omega$. Если же кадр является более сложным, то он передается в интервале частот шириной $2\Omega$. Чем больше частота смены кадров, тем шире указаный интервал частот. Телевизонный приемник, следовательно, должен принимать сигналы в некотором диапазоне частот.

Но наряду с сигналом, несущим данную информацию, в эфире всегда существует всевозможные случайные сигналы, называемые шумами. Шумы имеют различные частоты и можно считать, что в каждом интервале частот их энергия принимают одинаковая. Чем шире полока частот, воспринимаемая приемник, тем сильнее шумы или, как говоря, выше уровень шумов. Если основной сигнал слаб, он может забивать шумами, и мы не сможем его распознать.

На Земле передающие станции обладают достагочной мощностью, и уровень сигнала намного выше уровня шумов. Поэтому частота смены кадров может быть достагоно большой (что действительное необходимо для осуществления нормального зрительного восприятия телепередачи).

Иное дело в космосе. Мощности передатчиков на космических кораблях малы, уровень основного сигнала низок. Увеличивая же время передачи одного кадра, то есть суская полосу частот, можно существенно уменьшить уровень шумов, что помогет выделить сигнал, несущий информацию.

Ф185. Волейбольный мяч массой 200 г и объемом 8 л наканан до избыточного давления 0,2 атм. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после падения на твердый эрунм подскочил почти на my же высоту. Оцените максимальное температуру воздуха в мяче в момент удара о зрунм. Температура наружного воздуха $300^\circ\text{K}$, темперамкость воздуха при постоянном объете $c_v = 0,16\text{ кал/л} \cdot \text{ град}$.

Так как мяч после удара о землю поднялся почти на ту же высоту, с которой он падал, потерями энергии при ударе можно пребежать и считать, что скатные воздуха в мяче во время удара проискают адватически.

Согласно закону сохранения энергии (первому закону термодинамики) изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ равно

$$\Delta U = Q + A,$$

где $Q$ — количество теплла, сообщенного газу, и $A$ — работа, совершенная над газом при его скатии. Так как в данном случае $Q = 0$, то

$$\Delta U = A.$$

Как известно, изменение внутренней энергии газа не зависит от процесса и равно

$$\Delta U = c_v m \Delta T = c_v m (T_{\max} - T),$$

где $T$ — начальная температура газа, $m$ — его масса.

Работа по скажению воздуха совершается за счет механической энергии мяча. Если пребегаешь потенциальной энергии деформации камеры и грунта в момент наибольшего скатия (когда температура воздуха максимальная, а мяч поконтся), то работа $A$ равна

$$A = Mgh,$$

где $M$ — масса мяча, $h$ — высота, на котором он был подброшен.

Подставив выражения для $\Delta U$ и $A$ в формулу (2), получим

$$c_v m (T_{\max} - T) = Mgh.$$

Массу воздуха в мяче можно определить из уравнения газового состояния:

$$PV = \frac{m}{\mu} RT,$$

где $P = P_{\text{атм}} + P_{\text{и}}$ ($P_{\text{атм}} = 1\text{ атм}$ — атмосферное давление, $P_{\text{и}}$ — избыточное давление), $V$ — объем мяча. Отсюда

$$m = \frac{(P_{\text{атм}} + P_{\text{и}}) V \mu}{RT}.$$

Из (5) и (6) находится

$$T_{\max} = T \left[ 1 + \frac{Mgh R}{\mu (P_{\text{атм}} + P_{\text{и}}) V c_v} \right] \approx 1,02T = 306^\circ\text{K}.$$

Ф186. При повороте автообслужа или автоматоля пассажиром отбрасывается по инерции прямолинейно. Он не вылетает из автоматоля только потому, что его удерживает, например, стенка автоматоля, которая сообщает необходимое центростремительное ускорение или пассажир держится за поруччи. Подсчитаем эту удерживающую силу, действующую на пассажира массы $m = 50\text{ кц}$, если радиус поворота $R = 20\text{ м}$ и скорость движения автоматоля $v = 36\text{ км/ч}$.

Согласно второму закону Ньютона

$$F = ma = m \frac{v^2}{R} = \frac{50\text{ кц} \cdot 100\text{ м}^2/c^2}{20\text{ м}} = 250\text{ кц},$$

что составляет половину веса пассажира.

Теперь рассмотрим, что происходит при повороте самолета. На горизонтальном летящем самолете в плоскости, перpendикулярной направлению его полета, действуют две силы: сила тяжести $P$ и азродинамическая подъемная сила $N$. При повороте самолета равноведействующая $F$ этих сил должны быть направлена к центру окружности, по которой движется самолет. Это означает, что сила $N$ не вертикальная, а составляет некоторый

52

угол α с вертикалью (рис. 12). Но сила N — это сумма подъемных сил крыльев и она перпендикулярна крыльям, следовательно, корпус самолета наклона в сторону поворота *).

Сила F сообщает самолету необходимое центростремительное ускорение.

Пассажир, нахождения в самолете, движется по окружности того же радиуса с тем же центростремительным ускорением. Это ускорение сообщает пассажиру равнодействующая силы тяжесте mg и силы реакции самолетаного креса N₁. Причем сила реакции должны составлять с вертикалью тоже угол α (tg α = a/g). Отсюда следует, что положение пассажира относительно самолета точно такое же, как во время горизонтального полета самолета. При повороте меняется только величины и направление силы N₁. При горизонтальном полете сила N₁ вертикальная и равна по абсолотной величины силе тяжесте, при повороте она составляет с вертикалью угол α и равна по абсолотной величины на

$$\Delta N_1 = \sqrt{(mg)^2 + \left(\frac{mv^2}{R}\right)^2} - mg$$

(v — скорость самолета, R — радиус поворота). При m = 50 ке, v = 720 км/ч и R = 10 км эта добавка составляет

$$\Delta N_1 \approx 50 \text{ и.}$$

Она много меньше веса пассажира и почти не оущается им.

*) Такой наклон самолета получается благородя тому, что при повороте руля направления из-за давления воздуха на киль самолет поворачивается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тяжесте самолета. При этом одно из крыльев самолета движется быстрее другого относительно набегающего потока воздуха. На это крыло действует большая аэродинамическая подъемная сила (она пропорциональна скорости движения), и самолет наклоняется в сторону поворота.

Ф187. Тонкая металлическая пластинка площади S залитма слоем жидкого диэлектрика с плотностьюρ и диэлектрической пропищемостьеε так, что молщина эмгою слоя много меньше линейных размеров пластинны. Что произойдет с жидкостью, если пластине сообщить электрическое поле, направность которого в вакууме равна

$$E_0 = \frac{Q}{2\varepsilon_0 S},$$

а в диэлектрике

$$E = \frac{Q}{2\varepsilon_0 \varepsilon S}.$$

Ослабление поля в диэлектрике связано с поляризацией диэлектрика. При этом в тонком слое около пластинны появляется заряд — Q₁, а на свободной поверхности диэлектрика — заряд + Q₁ (рис. 13). Внутри же диэлектрика отрицательные и положительные заряды диполей компенсируют друг друга. Наведенные заряды Q₁ и — Q₁ создают поле с направлением эмгою

$$E_1 = 2 \frac{Q_1}{2\varepsilon_0 S} = \frac{Q_1}{\varepsilon_0 S},$$

направленное против поля пластинны.

Согласно принципу суперпозиции

$$E = E_0 - E_1$$

или

$$\frac{Q}{2\varepsilon_0 \varepsilon S} = \frac{Q}{2\varepsilon_0 S} - \frac{Q_1}{\varepsilon_0 S}.$$

Из этого уравнения можно найти заряда Q₁:

$$Q_1 = Q \frac{\varepsilon - 1}{2\varepsilon}.$$

На заряд Q₁ свободной поверхности жидкости действуют две электрические силы: сила притяжения к заряду — Q₁, равная

$$F_1 = Q_1 \cdot \frac{1}{2} E_1 = Q_1 \cdot \frac{Q_1}{2\varepsilon_0 S} =$$

$$= \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} \left( \frac{\varepsilon - 1}{2\varepsilon} \right)^2,$$

и сила отталкивания от заряда пластинны Q₁.