Mặt phẳng chiếu

Kvant 1974, số 3 tr. 9-14 Thẻ FRBS

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bản vẽ và kế hoạch

Gần đây, khi đang viết lại sách giáo khoa khoa học lớp 3, tôi nhận thấy hai bức tranh: một lớp học do một họa sĩ vẽ (Hình 1) và một bản đồ của lớp đó (Hình 2). Hãy nhìn vào họ. Lớp học trong Hình 1 được thể hiện như bạn thấy nó đứng ở bảng đen. Còn kế hoạch thì sao? Có lẽ bạn chưa từng thấy lớp học của mình như thế này, ngay cả khi bạn trèo lên chiếc ghế được xếp thành từng cặp.

Tuy nhiên, để vẽ được một lớp học, căn phòng, sân trường đẹp - bài toán khó khăn hơn nhiều so với việc vẽ sơ đồ tương ứng. Thật vậy, để vẽ một sơ đồ, chỉ cần kiên nhẫn và thay đổi kích thước của các vật thể cũng như khoảng cách giữa chúng, sau đó chuyển sang một tờ giấy theo tỷ lệ là đủ. Một nhiệm vụ khả thi đối với bất kỳ học sinh lớp ba nào.

Còn bản vẽ thì sao? “Cần có tài năng,” bạn nói. Chà, không nghi ngờ gì nữa, Galya Misevich đến từ Kyiv là một cô gái tài năng; một bức vẽ do anh thực hiện năm 7 tuổi (Hình 3) đã tô điểm cho trang bìa của tạp chí “Murzilka”. Tuy nhiên, có điều gì đó không ổn ở anh ấy. Nó… thiếu tính cách!

Lần đầu tiên, các nghệ sĩ thời Phục hưng, đặc biệt là Albrecht Duer (1471-1528) và Leonardo da Vinci (1452-1519), bắt đầu quan tâm đến việc khắc họa chính xác các nhân vật. Sau đó, đến lời giải các nhà toán học bài toán này đã có mặt và tạo ra một hình học thiết kế - khoa học tuyệt đẹp, nền tảng của nó được đặt ra bởi Gerard Desart (1593-1661) và Blaise Pascal (1623-1662).

Cơm. 1. Hình 2.

Cơm. 3.

Nhìn ra ngoài cửa sổ. Bạn sẽ thấy phong cảnh. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng đây không phải là một cửa sổ mà là một bức tranh. Rõ ràng không thể trách “tác giả” của bức ảnh này có góc nhìn không tốt. Hãy thử lặp lại bức tranh này, chẳng hạn như dùng phấn trực tiếp trên kính cửa sổ. Hãy cài đặt nó và đưa nó vào cửa sổ. Và sau đó “bức tranh” bắt đầu thay đổi - các vật thể mới sẽ xuất hiện trên đó và những vật thể ở đó sẽ bắt đầu trộn lẫn và thay đổi hình dạng của chúng. Tuy nhiên, chúng ta hãy đi lên cửa sổ và cố gắng khắc họa những gì chúng ta nhìn thấy. Xảy ra lỗi: đầu cử động nhẹ và hình ảnh thay đổi, hình ảnh di chuyển sang nơi khác. Phải làm gì?

Hãy xem bản khắc của A. Durer (Hình 4). Bằng cách sử dụng một thiết bị khéo léo, người nghệ sĩ vẽ phần đế sao cho có thể nhìn thấy được từ điểm gắn con vít vào tường. Sử dụng công cụ này và bạn sẽ có thể mô tả chính xác phối cảnh của phong cảnh trong cửa sổ của mình. Tuy nhiên, đừng nghĩ rằng bạn đã trở thành một nghệ sĩ. Máy ảnh sẽ tái tạo bức ảnh này chính xác hơn nữa, nhưng để bức ảnh trở thành một tác phẩm nghệ thuật thực sự thì cần phải có tài năng.

Nhưng hãy tạm dừng việc vẽ tranh và chuyển sang hình học. Hãy xem xét sơ đồ phương pháp Durer (Hình 5). Hãy xác định mặt phẳng P và điểm O trong không gian. Để dựng ảnh của một điểm N trên mặt phẳng P, chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua các điểm N và O. Điểm N₁ mà tại đó đường thẳng này cắt mặt phẳng P sẽ là ảnh của điểm N trên mặt phẳng P. Phương pháp dựng ảnh này được gọi là phép chiếu tâm lên mặt phẳng P từ điểm O.

Xét hình chiếu tâm từ một điểm O nào đó của các hình,

Zhashikh trong mặt phẳng ngang $Q$ , trên mặt phẳng thẳng đứng $P$ (Hình 6). Lưu ý rằng trong trường hợp này, các kỹ thuật sẽ trở thành kỹ thuật trực tiếp. Thật vậy, chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng đi qua một đường thẳng trên mặt phẳng $Q$ và một điểm $O$ . Đường giao nhau của nó với mặt phẳng $P$ sẽ là ảnh của đường thẳng đã chọn. Rõ ràng là nếu hai đường thẳng cắt nhau (không nằm trên đường $l_2$ , xem Hình 8 bên dưới), thì ảnh của chúng cũng giao nhau. Ngay cả hình ảnh của các đường thẳng song song cũng có thể giao nhau (Hình 7), và điểm $N_1$ giao điểm của các đường này nằm trên đường $l$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $Q$ (đây là cách các đường ray “giao nhau” trên đường chân trời).

Và đường nào trên mặt phẳng $Q$ tương ứng với đường “ngang” $l_1$ trên mặt phẳng $P$ - “đường ngang”? Không có đường dây trực tiếp như vậy. Đồng thời, đối với bất kỳ đường thẳng nào khác trong mặt phẳng $P$ đều có một đường thẳng trong mặt phẳng $Q$ tương ứng với nó (chọn). Mặt khác, đối với đường thẳng $l_2$ giao điểm của mặt phẳng $Q$ với mặt phẳng $R$ (R song song với mặt phẳng $P$ và đi qua điểm $O$ , xem Hình 8) và chỉ đối với đường thẳng này không có hình ảnh nào trên mặt phẳng $P$ cho bất kỳ điểm nào của nó và thậm chí cả hình ảnh của các đường thẳng song song với $l_2$ và nằm trong $Q$ không cắt nhau trên $P$ . Mong muốn loại bỏ sự “phân biệt đối xử” như vậy đã dẫn đến việc tạo ra khái niệm về mặt phẳng xạ ảnh.

cơm. 5.
cơm. 7.

cơm. 6.
cơm. 8.

Mặt phẳng dự án

Chúng ta hãy bổ sung về mặt tinh thần cho mặt phẳng tổng quát những điểm thuộc một “đường thẳng” khác, mà chúng ta sẽ gọi là “xa vô cùng” (chúng ta cũng sẽ gọi các điểm của nó là “xa vô cùng”). Hãy kết nối các phần tử của mặt phẳng với các phần tử mới được giới thiệu.

Đầu tiên, chúng ta sẽ giả sử rằng bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng cắt nhau với một đường thẳng ở vô cực và hơn nữa, tại một điểm duy nhất (điểm này, đương nhiên, sẽ ở vô cực, vì nó thuộc về đường thẳng ở vô cực).

Thứ hai, chúng ta sẽ giả sử rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho sẽ cắt đường thẳng ở vô cực tại cùng một điểm với đường thẳng đã cho. thì điểm này là giao điểm của tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng này (theo nghĩa song song trên một mặt phẳng chung).

Bây giờ, với phép chiếu tâm, đường thẳng $l_1$ có thể coi là ảnh của “đường thẳng vô cực” của mặt phẳng $Q$ , và ảnh của đường thẳng $l_2$ - “đường thẳng vô cực” của mặt phẳng $P$ , và chỉ là giao điểm của “đường thẳng vô cực” của mặt phẳng $Q$ với đường thẳng $l_2$ không có chỗ nào trên đường thẳng $l_1$ , tức là điểm này sẽ giữ nguyên “ở vô cực” (và tương tự đối với mặt phẳng “đường vô cực” $P$ và đường thẳng $l_1$ ).

Các tính chất của mặt phẳng xạ ảnh thu được là gì? Và điều này phụ thuộc vào việc bạn nhìn họ từ quan điểm nào. Điều tự nhiên nhất là coi những đặc tính của mặt phẳng xạ ảnh không thay đổi trong quá trình chiếu tâm. Thật vậy, trong trường hợp này, sự khác biệt giữa các đường thẳng trên mặt phẳng ban đầu và đường thẳng ở vô cực bị loại bỏ, vì các tính chất của đường thẳng ở vô cực $Q$ trong trường hợp này sẽ hoàn toàn tương ứng với các tính chất của đường thẳng $l_1$ của mặt phẳng $P$ .

Chúng tôi liệt kê những đặc điểm chính của các thuộc tính này:

Đối với hai điểm bất kỳ, có một và chỉ một đường thẳng mà chúng đồng thời thuộc về.
Hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau tại một và chỉ một điểm.

Trong trường hợp này, các góc giữa các đường thẳng cũng được cho; giá trị của chúng không được bảo toàn trong quá trình thiết kế trung tâm và khoảng cách giữa các điểm không được bảo toàn. Mỗi trường hợp này đều làm nghèo hình học của mặt phẳng xạ ảnh. Tuy nhiên, một lý thuyết có ý nghĩa hơn đã xuất hiện, được gọi là hình học xạ ảnh và được phân biệt bởi sự cực kỳ tao nhã trong các định lý của nó. Đây là một trong số đó.

Định lý Desagre. Đặt dữ liệu là các đường thẳng cắt nhau tại điểm $O$ . Đặt các điểm $A$ và $A_1$ nằm trên một dòng, $B$ và $B_1$ trên một dòng khác, và $C$ và $C_1$ trên dòng thứ ba. Khi đó giao điểm của đường $AB$ và $A_1B_1$ ,

Cơm. 9.

Cơm. 10.

AC và A₁C₁, BC và B₁C₁ nằm trên cùng một đường thẳng (Hình 9).

Trên mặt phẳng tổng quát, định lý này dùng để phân tách một số trường hợp có một số đường thẳng song song. Đây là một định lý khác.

Định lý Pap. Cho các điểm A, B và C nằm trên một đường thẳng, còn các điểm A₁, B₁ và C₁ nằm trên một đường thẳng, phương thức giao nhau của các đường AB₁ và A₁B, AC₁ và A₁C, BC₁ và B₁C nằm trên cùng một đường thẳng (Hình 10).

Và định lý này trên mặt phẳng tổng quát cần được làm rõ trong trường hợp các đường thẳng song song.

Một trong những đặc tính đáng chú ý nhất của hình học dự án là “nguyên lý đối ngẫu”: trên mặt phẳng dự án, định lý nào vẫn còn giá trị nếu trong đó toàn bộ lớp “mochika” được thay thế bằng lớp “đường thẳng”, lớp “đường thẳng” bằng lớp “mochika” và hoán đổi các biểu thức: “chúng ta nằm trên…” và “chúng ta đi qua…”. Một ví dụ về tính đối ngẫu như vậy có thể là các đặc tính trên của mặt phẳng thiết kế.

Bài tập
Hình thành các định lý kép với các định lý của Desargues và Pappus.

Đối với những người quan tâm đến hình học thiết kế, chúng tôi khuyên bạn nên đọc những cuốn sách được liệt kê ở cuối bài viết. Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại mặt phẳng thiết kế, như một đối tượng hình học.

Thiết kế mô hình mặt phẳng

Chúng tôi thu được mặt phẳng xạ ảnh bằng cách giới thiệu “điểm ở vô cực” và “đường thẳng ở vô cực”. Có thể thấy được điều gì đã xảy ra từ việc này? Chúng ta đã nhìn thấy “đường thẳng ở vô cực” (không có một điểm) khi chiếu mặt phẳng xạ ảnh Q lên mặt phẳng P. Nhưng đồng thời, các điểm khác “tiến đến vô cùng” - đường l₂. Tôi muốn có được một mô hình của mặt phẳng thiết kế trong đó tất cả các điểm đều có thể nhìn thấy được.

Một mô hình như vậy gần như đã được xây dựng. Cụ thể, chúng ta hãy cố định một điểm O trong không gian và gọi các đường thẳng đi qua điểm O là “điểm”, và các mặt phẳng đi qua điểm O là “đường thẳng”. Nhìn lại Hình 6-8. Mỗi điểm của mặt phẳng chiếu thực sự tương ứng với một “điểm” duy nhất của mô hình - một đường thẳng đi qua điểm và điểm O, và với mỗi đường thẳng - một mặt phẳng đi qua điểm và điểm O. Đồng thời, xa vô tận

Cơm. 13.
Đường thẳng sẽ tương ứng với mặt phẳng ngang - “đường thẳng” và tương ứng với các điểm ở vô cực – các đường thẳng nằm trong mặt phẳng ngang (ví dụ: $ON_1$ trong Hình 7) - “điểm”. Trong mô hình này, sự bằng nhau của tất cả các điểm và đường thẳng của mặt phẳng xạ ảnh được thể hiện rõ ràng nhất.

Mô hình thu được rất tốt cho việc nghiên cứu các tính chất của mặt phẳng thiết kế, nhưng tôi muốn có một mô hình trong đó các điểm là điểm và các đường thẳng sẽ là đường thẳng. Hóa ra không khó để có được một mô hình như vậy từ mô hình trước đó. Hãy thêm một bán cầu khác có tâm tại điểm $O$ , tiếp tuyến với mặt phẳng $Q$ (đáy của bán cầu song song với mặt phẳng $Q$ ). Khi đó, mỗi đường nối điểm $O$ với một điểm trên mặt phẳng $Q$ sẽ tương ứng với một điểm trên bán cầu - chính là điểm mà tại đó đường thẳng này giao với bán cầu. Trong trường hợp này, đỉnh của mặt phẳng pháp tuyến sẽ tương ứng với một hình bán nguyệt trên bán cầu, đi qua các điểm chiếu đường kính của đường viền của bán cầu. Họ các đường thẳng song song trên mặt phẳng $Q$ sẽ tương ứng với hai điểm được chiếu đường kính trên ranh giới của bán cầu (Hình 11), và đường thẳng ở vô cực sẽ tương ứng với ranh giới của bán cầu.

Thật không may, mỗi “điểm ở vô cực” (điểm của “đường thẳng ở vô cực”) lại tương ứng với hai điểm được chiếu theo đường kính trên ranh giới của bán cầu. Để tránh nhược điểm này của mô hình, bạn chỉ cần dán hai hình bán nguyệt của ranh giới bán cầu lại với nhau, nhưng sao cho các điểm chiếu đường kính được dán lại với nhau. Hóa ra điều này không dễ thực hiện chút nào. Nó không chỉ cho phép bán cầu uốn cong mà còn cho phép nó tự cắt nhau. Kết quả có thể được nhìn thấy trong Hình 12 - bề mặt tự giao nhau dọc theo đường $AB$ .

Trong mô hình này, tất nhiên, rất khó để khắc họa tốt các đường thẳng. Do đó, người ta thường sử dụng một mô hình khác: một vòng tròn, các điểm được chiếu theo đường kính trong đó được coi là được dán lại với nhau. Mô hình như vậy thu được từ mô hình trên một bán cầu (Hình 11), nếu bán cầu này được chiếu lên mặt phẳng $Q$ .

Sáu quốc gia có thể được vẽ trên mặt phẳng thiết kế, mỗi quốc gia giáp nhau (Hình 13). Lưu ý rằng trên một chiếc máy bay bình thường không thể có nhiều hơn bốn quốc gia như vậy. Người ta đã chứng minh rằng sáu màu là đủ để tô màu chính xác bất kỳ bản đồ nào trên mặt phẳng thiết kế (một màu được gọi là đúng nếu hai quốc gia có đường viền chung được tô màu khác nhau), và đối với một mặt phẳng thông thường, chưa tìm thấy bản đồ nào có bốn màu là không đủ để tô màu chính xác, nhưng người ta cũng chưa chứng minh được rằng bất kỳ bản đồ nào cũng có thể được tô màu chính xác bằng bốn màu.

Văn học

P. S. Aleksandrov, Bài giảng về hình học giải tích, “Khoa học”, M., 1968.
J. W. Jung, Hình học thiết kế, IL, M., 1949.
G. S. M. Coxter, Nhập môn hình học, “Khoa học”, M., 1966.