Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

60

Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

Dưới đây chúng tôi đưa ra các mẫu lựa chọn cho bài kiểm tra viết môn toán và vé cho bài kiểm tra vấn đáp môn vật lý, dự kiến ​​được tổ chức vào năm 1973 dành cho những người đăng ký vào các khoa tự nhiên của Đại học Moscow.

Toán học

Khoa Hóa học

1. Alik, Borya và Vasya đã mua ba loại bút chì và sổ tay đặc biệt. Alik mua 4 cây bút chì và 2 cuốn sổ, Borya - 6 chiếc bút chì và một cuốn sổ, Vasya - 3 chiếc bút chì và một cuốn sổ. Rõ ràng là số tiền mà Alik, Borya và Vasya trả tạo thành một cấp số nhân. Sổ ghi chú giá bao nhiêu?

2. Giải bất đẳng thức

$$\log_4 (5 - 3^x) \cdot \log_2 \left( \frac{5 - 3^x}{8} \right) \geq -1.$$

3. Tìm tất cả sự thật $x$ thỏa mãn

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}.$$

4. Mặt phẳng đáy của một đường thẳng tứ giác đều đi qua tâm của quả bóng, và ở phần lớn hơn, ta thấy đường tròn của quả bóng nội tiếp ở đáy của đường thẳng. Một quả bóng khác được đặt bên trong đường thẳng, chạm vào các mặt bên của đường thẳng và quả bóng đầu tiên. Biết bán kính của quả bóng thứ hai bằng 2, điểm tiếp xúc của hai quả bóng cách chân đường thẳng một khoảng bằng một lần ba lần chiều cao của đường thẳng. Tìm thể tích của đoạn thẳng và độ lớn của góc cung ở cạnh bên của đoạn thẳng.

5. Ghép hình vuông CEKM vào tam giác vuông ACB sao cho đỉnh K của nó nằm trên cạnh huyền AB, các đỉnh E và M nằm trên hai chân. Cạnh của hình vuông này liên hệ với bán kính của hình tròn chèn vào tam giác ACB là $(2 + \sqrt{2}) : 2$. Tìm các góc của tam giác ACB.

Khoa Sinh học

1. Ba người thợ xây (có trình độ khác nhau) đặt một bức tường gạch, người thứ nhất làm việc trong 6 giờ, người thứ hai làm 4 giờ và người thứ ba làm 7 giờ. Nếu người thợ xây đầu tiên làm việc trong 4 giờ, người thứ hai làm 2 giờ và người thứ ba làm 5 giờ thì chỉ có $2/3$ tổng công việc được hoàn thành. Một người thợ xây sẽ mất bao nhiêu giờ để hoàn thành lớp học nếu tất cả họ làm việc cùng nhau trong một khoảng thời gian như nhau?

2. Giải phương trình

$$2 \cos 2x - 1 = (2 \cos 2x + 1) \mathrm{tg} x.$$

3. Giải phương trình

$$\log_{\sin 2x} (tg x + \ctg x) = 1 - \log_{\sin 2x}^2 2.$$

4. Qua trung điểm $M$ của cạnh $BC$ của hình bình hành $ABCD$ có ​​diện tích bằng 1 và đỉnh $A$ vẽ một đường thẳng cắt đường chéo $BD$ tại điểm $Q$. Tìm diện tích tứ giác $QMCD$.

5. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $a$ mà bất đẳng thức

$$4^x - a \cdot 2^x - a + 3 \leq 0$$

có ít nhất một lời giải.

Khoa Địa chất

1. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} x + \sin (x + y) = \frac{3}{2}, \\ 3x - \sin (x + y) = \frac{5}{2}. \end{cases}$$

2. Giải bất đẳng thức

$$4^{-x} + \frac{1}{2} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0.$$

3. Hai đại lượng còn lại điểm $A$ đồng thời và cùng hướng. Số đầu tiên di chuyển với tốc độ $7 \text{ km/ч}$, số thứ hai di chuyển với tốc độ $10 \text{ km/ч}$. Sau 30 phút, điểm cường độ thứ ba rời khỏi $A$ theo cùng một hướng, sau một thời gian bắt kịp đỉnh của cường độ, và một giờ rưỡi sau đó, nó bắt kịp cường độ thứ hai. Xác định tốc độ của cường độ thứ ba.

4. Giải bất đẳng thức

$$\log_2 (2x - x^2) \left(x - \frac{3}{2}\right)^4 > 0.$$

5. Trên mặt phẳng dữ liệu của một góc vuông, chạm vào một cạnh của góc, cắt cạnh kia tại các điểm $A$ và $B$, đồng thời cắt các bissertis của góc vuông tại các điểm $C$ và $D$. Được biết, $AB = \sqrt{6} \text{ cm}$, $CD = \sqrt{7} \text{ cm}$. Tìm bán kính của hình tròn.

Khoa Bưu chính

1. Tổng trọng lượng thiết bị của đoàn du lịch là 202 kg. Nếu chúng ta phân phối sao cho mỗi cậu bé phải mang 16 kg và mỗi cô gái phải mang 9 kg thì 4 kg sẽ không được phân phối. Vì vậy mọi thứ

61

các chàng trai lấy thêm 2 kg mỗi người, nhờ đó họ có thể làm nhẹ ba lô của mỗi cô gái thêm 1 kg và giải phóng hoàn toàn một trong số họ khỏi tải; trong trường hợp này, tất cả các thiết bị đều được phân phối. Có bao nhiêu chàng trai và bao nhiêu cô gái tham gia cuộc tuần hành?

2. Hơn nữa:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \log_{81} \left( \frac{1}{27} \right)$$

hoặc

$$\sin \frac{43\pi}{6} \cdot \mathrm{tg}^3 \left( -\frac{8\pi}{3} \right) \cdot \mathrm{ctg} \frac{4\pi}{3}$$?

3. Giải phương trình

$$\cos x (\sqrt{3} + \cos x) - 1 = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} - \sin x (\sqrt{3} + \sin x).$$

4. Hai đường tròn bán kính 32 có tâm tại các điểm $O_1$ và $O_2$ cắt nhau, chia đoạn $O_1O_2$ thành ba phần bằng nhau. Tìm bán kính của đường tròn chạm vào bên trong các đường tròn đã cho và chạm vào đoạn $O_1O_2$.

5. Tìm tất cả các phương trình lời giải thực

$$\log_2 (x^2 + 7) = 5 + \log_2 x - \frac{6}{\log_2 \left( x + \frac{7}{x} \right)}.$$

Khoa Địa lý

1. Hai máy xúc đang làm việc để đặt hai đường ống song song. Người đầu tiên bắt đầu công việc sớm hơn người thứ hai 30 phút. Khi máy xúc thứ hai đào được 27 m thì hóa ra nó kém máy thứ nhất 1 m. Hỏi mỗi máy đào được bao nhiêu mét/giờ nếu biết máy thứ hai đào nhiều hơn máy thứ nhất 4 m/giờ?

2. Đơn giản hóa một biểu thức

$$5^{\log_{1/5} (1/2)} + \log \sqrt{2} \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \log_{1/2} \frac{1}{10 + 2\sqrt{21}}.$$

3. Cạnh $AB$ của hình vuông $ABCD$ là dây cung của một hình tròn nào đó, và tất cả các cạnh khác của hình vuông đều nằm ngoài hình tròn này. Độ dài của đoạn tiếp tuyến vẽ từ đỉnh $C$ đến cùng một đường tròn bằng 2. Đường kính của đường tròn là bao nhiêu nếu cạnh hình vuông là 1?

4. Tìm phương trình lời giải

$$3^{x^2 + 4x} = \frac{1}{25},$$

thỏa mãn bất đẳng thức $x > -3$.

5. Giải phương trình

$$\sqrt{3} \sin 2x - 2 \cos^2 x = 2 \sqrt{2} + 2 \cos 2x.$$

Vật lý

Vé 1

1. Điện tích điểm $q_1 = -1,7 \cdot 10^{-8} \text{ к}$ và $q_2 = 2 \cdot 10^{-8} \text{ к}$ lần lượt được đặt cách điện tích điểm $q_0 = 3 \cdot 10^{-8} \text{ к}$ ở khoảng cách $l_1 = 2 \text{ cm}$ và $l_2 = 5 \text{ cm}$. Phải thực hiện bao nhiêu công việc $A$ để hoán đổi vị trí của các khoản phí $q_1$ và $q_2$?

2. Chuyển động thay đổi. Tốc độ trung bình và tức thời. Tăng tốc. Đồ thị vận tốc của chuyển động xen kẽ đều với vận tốc ban đầu. Thi thể rơi tự do.

3. Định luật phản xạ ánh sáng. Tạo ảnh trong gương phẳng. Xây dựng ảnh trong gương cầu.

Vé 2

1. Một chiếc máy bay có khối lượng $m = 2,5 \text{ m}$ với động cơ đã tắt, lao xuống, lướt đi với tốc độ không đổi $v = 144 \text{ km/ч}$ từ độ cao $h_1 = 2 \text{ km}$ đến độ cao $h_2 = 1 \text{ km}$, sau khi đi được một khoảng cách $l = 10 \text{ km}$. Động cơ máy bay phải phát triển công suất bao nhiêu $W$ để có thể bay lên độ cao $h_1$, đi hết quãng đường $l$ với cùng tốc độ?

2. Tương tác từ của dòng điện. Từ trường. Lực tác dụng lên dây dẫn mang dòng điện trong từ trường. Cảm ứng từ trường. Ampe kế. Vôn kế.

3. Thấu kính hội tụ và phân kỳ. Công thức thấu kính. Xây dựng một hình ảnh.

Vé 3

1. Một bình hình trụ có thành mỏng có chiều cao $h = 1 \text{ m}$, diện tích đáy $S = 0,1 \text{ m}^2$ được ngâm trong một vũng nước. Tàu chứa đầy dầu lỏng với mật độ $\rho = 800 \text{ к/м}^3$. Khoảng cách từ đáy bình đến mặt nước là $H = 2 \text{ m}$. Tìm lực $F$ tác dụng từ bên trong bình lên đáy của nó. Áp suất khí quyển $p_0 = 10^5 \text{ к/м}^2$.

2. Hai loại điện. Tương tác của các điện tích. định luật Coulomb. Ảnh hưởng của môi trường đến lực tương tác của các điện tích. Sự cho phép.

3. Thiết bị chiếu. Máy ảnh. Kính lúp. Đường đi của chùm tia trong các thiết bị này.

Vé 4

1. Điểm nằm trên trục quang chính của thấu kính phân kì có tiêu cự $f = 25 \text{ cm}$. Khoảng cách từ thấu kính đến ảnh của điểm này là $b = 15 \text{ cm}$. Ảnh của điểm sẽ di chuyển một khoảng $l$ bao nhiêu nếu bản thân đường thẳng đó bị dịch chuyển một khoảng $L = 2 \text{ cm}$ theo hướng vuông góc với trục quang chính?

2. Khái niệm về tiềm năng. Tiềm năng trường để sạc chính xác (không có đầu ra). Sự chuyển động của điện tích trong điện trường. Sự khác biệt tiềm năng. Mối liên hệ giữa điện thế và hướng của trường đều.

3. Hiện tượng khẳng định cấu trúc phức tạp của nguyên tử. Các phương pháp quan sát hạt Cấu trúc của nguyên tử. Sự phát xạ và hấp thụ năng lượng của nguyên tử.