Bài toán M251—M255; F263—F267

34

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 5 năm 1974 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: Bài toán «Kvant», M251, M252 “hoặc”… F263”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải là gửi trong các phong bì riêng. Gửi Bài toán từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này, bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với các giải pháp của bạn cho bài toán (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề lượng tử”, “mới bài toán” vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Những cái khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Bài toán

M251-M255; F263-F267

M251. Cho $n$ quả sung có nhiều màu và thể tích của mỗi màu không lớn hơn $\frac{n}{2}$. Chứng minh rằng chúng có thể được đặt trên một vòng tròn sao cho không có hai vật lý cùng màu nào đứng cạnh nhau.

F. G. Shleifer

M252. a) Trên mặt phẳng có một đầu nhòe đều ở bên cạnh $a$. Nó được phép “lăn” dọc theo mặt phẳng, lật (phản xạ đối xứng) so với bất kỳ phía nào. Chứng minh rằng với bất kỳ điểm $M$ nào của mặt phẳng và bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, đều có thể lăn cọ quét đến vị trí sao cho tâm của nó nằm cách điểm $M$ ở khoảng cách nhỏ hơn $\varepsilon$ (Hình 1).

6. Giải bài toán tương tự để có hình ngũ giác đều.

c *) Với $n$-giác thông thường nào thì phát biểu tương tự là đúng?

G. A. Galperin

M253. Ba điểm được cho trên mặt phẳng, tương ứng với nội tiếp, ngoại tiếp và một trong các đường tròn bên ngoài của tam giác. Làm thế nào bạn có thể tái tạo lại tam giác bằng cách sử dụng dữ liệu này?

(Hãy nhớ rằng đường tròn ngoài của một tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và kéo dài bằng hai cạnh kia.)

B. V. Martynov

M254. Tính giá trị
$$\sqrt{0,11111\ldots11111} \approx 100$$ với độ chính xác
a) 100 chữ số thập phân;
b) 101 chữ số thập phân; c*) 200 chữ số thập phân.

A. A. Egorov

M255 *. AB và CD là hai tiếp tuyến khác nhau của hai quả bóng cho trước (A và C thuộc bề mặt của một quả bóng, B và D thuộc bề mặt của quả bóng kia). Chứng minh rằng hình chiếu của các đoạn AC và BD lên đường thẳng đi qua tâm các quả cầu là bằng nhau.

I. F. Sharytsin

F263. Kính lão hóa (một mặt kính nhẵn, mặt kia nhám) được áp dụng cho bản vẽ: một mắt hướng lên trên, mắt kia hướng xuống. Trong một trường hợp, bản vẽ có thể nhìn thấy rõ, trong trường hợp khác thì không thể phân biệt được. Tại sao?

F264. Hai tấm kim loại phẳng, tròn giống hệt nhau, được bố trí như trong Hình 2, quay với vận tốc góc $\omega$ theo hai hướng ngược nhau trong từ trường vuông góc với mặt phẳng của các tấm. Cảm ứng từ trường là $B$, khoảng cách giữa các bản là $a$. Các trục của tấm được nối với nhau bằng dây dẫn. Tìm sự phân bố mật độ điện tích ở trạng thái ổn định trên các bản.

Cơm. 2.

F265. Một cậu bé ngồi trên xe trượt tuyết muốn nâng mình lên tường với sự trợ giúp của một sợi dây buộc vào xe trượt và ném qua các khối nhà.

Cơm. 3.

Cơm. 4.

(Hình 3). Để làm được điều này, hệ số ma sát giữa cậu bé và chiếc xe trượt tuyết sẽ là bao nhiêu, nếu khối lượng của chiếc xe trượt tuyết là $m$, khối lượng của cậu bé là $M$, và hệ số ma sát của những người chạy xe trượt tuyết trên tuyết là $k$?

F266. Ống hình chữ U chuyển động với tốc độ không đổi $v$ song song với bề mặt chất lỏng (Hình 4). Tiết diện của phần dưới của ống, hạ xuống nước là $S_1$, và phần trên, nằm phía trên mặt nước, là $S_2$. Lực nào tác dụng vào ống? Mật độ chất lỏng $ρ$. Bỏ qua sự tạo thành sóng trên bề mặt chất lỏng.

F267. Một tàu vũ trụ hình cầu di chuyển quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn. Nhiệt độ của con tàu là bao nhiêu nếu năng lượng phát ra trên một đơn vị diện tích bề mặt của Mặt trời và con tàu tỷ lệ với lũy thừa bậc 4 của nhiệt độ tuyệt đối của chúng? Các phi hành gia trên tàu nhìn thấy Mặt trời ở góc 30°. Nhiệt độ bề mặt của Mặt trời được lấy là 6000 ° K.