Cơ học sóng

14

Cơ học sóng

Khoảng năm mươi năm trước, cơ học lượng tử đã ra đời - môn khoa học về các định luật chuyển động của các hạt vật chất cực nhỏ (nguyên tử, hạt nhân nguyên tử, electron, v.v.). Những định luật này hóa ra rất đáng ngạc nhiên, quá khác so với những gì các nhà vật lý đã gặp cho đến nay, đến nỗi lúc đầu ngay cả các nhà khoa học hàng đầu cũng từ chối tin vào các kết luận của cơ học lượng tử. Và thậm chí ngày nay, các cuộc thảo luận về nền tảng vật lý của khoa học này vẫn tiếp tục, mặc dù nhiều phần của nó đã trở thành các ngành kỹ thuật.

Trong những năm đầu của cơ học lượng tử, nó được gọi là cơ học sóng. Bây giờ cái tên này đã bắt đầu bị lãng quên, nhưng trong khi đó nó lại chứa đựng gợi ý đặc điểm quan trọng nhất vốn có trong các hiện tượng của thế giới vi mô. Xét cho cùng, lượng tử, tức là bản chất rời rạc của các quá trình mà các vi hạt tham gia, có liên quan chính xác đến tính chất sóng của chúng. Ví dụ, việc năng lượng của các electron trong nguyên tử chỉ có thể nhận một tập giá trị rời rạc nhất định là hệ quả của bản chất sóng của electron.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cố gắng tìm hiểu cụm từ “bản chất sóng của điện tử” nghĩa là gì và tại sao nó dẫn đến sự rời rạc về các tính chất của nó. Chúng ta sẽ phải bắt đầu từ xa.

Hạt và sóng

Làm thế nào để chúng ta mô tả chuyển động của các vật thể lớn, chẳng hạn như chuyển động của một quả đạn pháo, một vệ tinh Trái đất hoặc một hành tinh quay quanh Mặt trời? Những vật thể như vậy được gọi là vi mô (trái ngược với vi hạt) và các đặc điểm của chuyển động tốt đã được biết đến. Tất nhiên, việc vệ tinh và đạn pháo của Trái đất làm hại sóng có thể coi là điều xúc phạm. Nhưng những quy luật chi phối chuyển động của chúng rất dễ hiểu từ kinh nghiệm hàng ngày của chúng ta.

Chúng ta đã quen với việc mỗi vật thể chiếm một vị trí nhất định trong không gian và vị trí này có thể được xác định bằng cách xác định tọa độ của vật thể. Nếu một vật chuyển động thì vị trí của nó trong không gian sẽ thay đổi theo thời gian. Để mô tả chuyển động của một vật thể, bạn có thể xác định các vị trí mà nó chiếm giữ tại các thời điểm liên tiếp, nghĩa là (nói chính xác hơn) bạn có thể xác định sự phụ thuộc của tọa độ của vật thể vào thời gian. Đây là ngôn ngữ của cơ học, hay đúng hơn là bảng chữ cái của nó. Nhưng ông đề phòng sự vắng mặt với niềm tin rằng có thể xác định được vị trí của một vật thể trong không gian tại mọi thời điểm bằng cách xác định tọa độ của nó? Đáp số hoàn toàn rõ ràng: từ cùng một nơi mà tất cả kiến ​​​​thức của chúng ta đều đến từ - từ kinh nghiệm. Kinh nghiệm hàng ngày đóng vai trò là nguồn gốc của các khái niệm và cách biểu diễn được sử dụng bởi cơ học nói chung - cơ học của các vật thể vi mô (nó còn được gọi là cổ điển). Điều quan trọng cần nhớ là trường hợp này: trong kinh nghiệm hàng ngày chúng ta đang xử lý các vật thể vi mô, do đó, thông thường

15

ý tưởng về sự chuyển động trong không gian chỉ liên quan đến những chủ đề như vậy. Theo những ý tưởng này, mọi vật thể chuyển động đều có một quỹ đạo và tại mỗi điểm của quỹ đạo, người ta có thể chỉ ra tốc độ của vật thể, gia tốc của nó, v.v. Đây là cách mô tả chuyển động của các vật thể trong cơ học cổ điển.

Chúng ta phải làm khác đi khi mô tả các quá trình sóng, chẳng hạn như âm thanh hoặc sóng trên mặt nước. Điều đầu tiên cần lưu ý là khái niệm quỹ đạo của sóng là vô nghĩa. Rốt cuộc, âm thanh truyền từ nguồn của nó theo mọi hướng. Nếu bạn vẫn đặt câu hỏi: sóng âm ở đâu tại một thời điểm nhất định, thì đáp số sẽ như sau: đây là một phần không gian nhất định, bị giới hạn bởi bề mặt mà sóng có thể chạm tới tại một thời điểm nhất định. Bên trong bề mặt này tại mỗi điểm (tất nhiên, nếu nguồn công không bị gián đoạn) đều có sự dao động về mật độ không khí, đó là âm thanh. Điều này có nghĩa là sẽ vô nghĩa khi nói về tọa độ của âm thanh, về điểm trong không gian nơi âm thanh phát ra. Điều này trở nên đặc biệt rõ ràng trong trường hợp sóng trong một khoang kín, nơi có thể xảy ra sóng dừng. Một ví dụ có thể là hộp cộng hưởng Cameron, nhạc cụ hơi (chẳng hạn như đàn organ hoặc socophone), trống, v.v. Khi đánh trống, sóng đứng được tạo ra bên trong nó, đồng thời toàn bộ thể tích không khí chứa trong trống được vang lên. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng sóng lấp đầy tất cả không gian có sẵn cho nó và các khái niệm như tọa độ hoặc quỹ đạo không áp dụng cho sóng. Ở đây bạn nên sử dụng các phương pháp khác. Sóng được đặc trưng bởi biên độ, tần số, pha, tốc độ truyền và bước sóng.

Chúng ta hãy tập trung vào một điểm khác biệt nữa về tính chất của sóng và hạt, điều này rất quan trọng để nghiên cứu sâu hơn về sóng cơ bản - sóng cực kỳ hấp dẫn. Sóng, theo nghĩa đen của từ này, có thể rẽ một góc, tần số thì không. Ví dụ: bạn có thể nghe thấy giọng nói khi đứng quanh góc nhà và không thấy mọi người đang nói chuyện.

Hiện tượng nhiễu xạ bột có liên quan đến hoạt động của sóng khi chúng phản xạ từ một bề mặt gồ ghề. Nếu bề mặt phản xạ hoàn toàn nhẵn thì sóng và các hạt sóng sẽ hành xử giống hệt nhau (Hình 1). Đối với cả hai, định luật nổi tiếng sẽ được đáp ứng: góc tới bằng góc phản xạ (tất nhiên, cần lưu ý rằng tác động của các hạt lên bề mặt được coi là hoàn toàn đàn hồi). Dễ dàng nhận thấy rằng trong trường hợp lý tưởng này, một chùm hạt bay song song vẫn song song ngay cả sau khi phản xạ từ bề mặt, vì tốc độ của mỗi hạt quay theo cùng một góc. Điều tương tự cũng áp dụng cho sóng.

Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì xảy ra trong trường hợp thực tế, nghĩa là khi bề mặt không phải là mặt phẳng lý tưởng nhưng có một số

16

sự gồ ghề. Hãy bắt đầu với các hạt. Cần phân biệt hai trường hợp. Đầu tiên, thể hiện trong Hình 2, tương ứng với các hạt nhỏ. Kích thước chân trời của chúng nhỏ hơn chiều cao và chiều rộng của bề mặt răng nên các hạt như vậy có thể được coi là điểm vật chất. Mỗi hạt này chạm vào một diện tích nhất định của bề mặt, một độ dốc nhất định của răng và bị phản xạ từ độ dốc này theo cùng một định luật: góc tới bằng góc phản xạ. Nhưng vì mỗi chiếc răng nghiêng một góc nhất định theo hướng của dòng chuyển động cơ bản của các hạt, nên các hạt rơi trên các răng khác nhau sẽ bay đi theo các hướng khác nhau. Kết quả là các hạt phản xạ không còn tạo thành chùm tia song song mà được đặt ngẫu nhiên ở các góc khác nhau.

Nếu các hạt lớn rơi trên bề mặt, khi tiếp xúc với bề mặt sẽ bao phủ nhiều răng cùng một lúc, thì hình ảnh sẽ khác (Hình 3). “Từ quan điểm” của một hạt như vậy, một bề mặt có răng nhỏ khác rất ít so với một mặt phẳng lý tưởng. Ví dụ, người ta gọi một bàn bóng bàn (ván ép được xử lý không đồng đều, sơn không được phủ một lớp bằng nhau, v.v.), tuy nhiên, quả bóng nảy gần giống như một mặt phẳng san bằng. Thực tế là một quả bóng lớn, chạm vào nhiều răng bề mặt nhỏ cùng một lúc khi va chạm, dường như làm tăng tác dụng của chúng, và hành động tăng mức tiết kiệm này hóa ra gần giống như đối với một mặt phẳng lý tưởng. Trong những trường hợp như vậy họ nói về sự phản chiếu gương.

Sự phản xạ của sóng từ một bề mặt gồ ghề cũng có thể xảy ra theo hai cách. Sóng dài (bước sóng lớn hơn kích thước của vùng không đều) bị khuếch tán bởi các vùng không đều; Kết quả là sự phản xạ gần đạt mức lý tưởng. Ví dụ, độ bất thường trên bề mặt của một tấm gương thông thường nhỏ hơn nhiều so với bước sóng của ánh sáng khả kiến. Sự phản xạ ánh sáng xảy ra có hướng (gương). Tuy nhiên, các tia RENT cứng, có bước sóng ngắn hơn hàng nghìn lần so với bước sóng của ánh sáng khả kiến, bị phản xạ từ cùng một gương bằng cách tán xạ (khuếch tán) - các tia phản xạ đi theo các hướng khác nhau.

Vì vậy, khi dòng hạt hoặc sóng bị phản xạ từ những bất thường trên bề mặt, vai trò quyết định của các hạt được thể hiện bởi sự tương ứng giữa kích thước của những bất thường và kích thước hạt, và trong trường hợp sóng, sự tương ứng giữa kích thước của những bất thường và bước sóng.

Bây giờ chúng ta đến phần chính của câu chuyện.

Các electron hoạt động như thế nào?
Khi J. J. Thomson phát hiện ra electron vào cuối thế kỷ này,

17

ông tưởng tượng nó như một hạt mang một phần điện tích nhất định. Thật vậy, mọi thí nghiệm dường như đều chỉ ra rằng electron là một hạt mang điện tích âm và hành xử như các hạt cần phải làm. Chúng tôi đã biết điều này có nghĩa là gì. Đầu tiên, các electron có thể được đếm riêng lẻ (ví dụ, bằng cách đo tổng điện tích và chia cho điện tích của một electron); chưa ai từng quan sát thấy một nửa electron. Thứ hai, mỗi electron trong chùm tia được đặc trưng bởi quỹ đạo riêng của nó, quỹ đạo này có thể thay đổi bằng cách tác động lên chùm tia bằng điện trường hoặc từ trường. Thời điểm một electron chạm vào mục tiêu có thể được phát hiện bằng một tia chớp trong lớp phủ phát quang của mục tiêu. Đèn flash này gần giống như điểm, nghĩa là electron chỉ tác động lên một vùng rất nhỏ của mục tiêu. Do đó, chúng ta có thể nói về tọa độ của electron, về quỹ đạo của nó, nghĩa là về mọi thứ đặc trưng cho nó như một hạt.

Chính trên cơ sở khái niệm electron như một hạt mà cái gọi là mô hình hành tinh của nguyên tử, do Rutherford đề xuất, đã nảy sinh. Trong mô hình này, nguyên tử được coi như một Hệ Mặt trời thu nhỏ, trong đó các “hành tinh” - các electron - chuyển động trên quỹ đạo xung quanh “Mặt trời” - hạt nhân nguyên tử. Kích thước của nguyên tử, tức là bán kính quỹ đạo của electron, đã sớm được tìm ra. Hóa ra chúng có kích thước khoảng $10^{-8}$ cm, hoặc một angstrom. Có nhiều quan điểm khác nhau về kích thước của bản thân electron, nhưng mọi người đều đồng ý rằng bán kính của nó tất nhiên phải nhỏ hơn $10^{-8}$ cm. Xét cho cùng, electron là một phần của nguyên tử và trong mọi trường hợp, một phần không thể lớn hơn toàn bộ. Nhưng vào năm 1927, các nhà vật lý người Mỹ Davisson và Germer đã thực hiện những thí nghiệm nổi tiếng của họ với chùm tia điện tử. Và ngay lập tức người ta thấy rõ rằng việc coi các electron là nhỏ

Nói một cách nhẹ nhàng thì những quả bóng cứng như vậy là ngây thơ. Bản chất của electron hóa ra phức tạp hơn nhiều.

Ở đây chúng ta chỉ xem xét một trong những thí nghiệm của Davisson và Germer. Một chùm electron song song hướng tới mặt tinh thể và phản xạ từ nó. Chùm tia phản xạ vẫn song song (như trong trường hợp phản xạ ánh sáng khả kiến ​​từ gương). Thế thôi. Thoạt nhìn, thực tế này không có gì đáng ngạc nhiên. Rốt cuộc, chúng ta biết rằng trong những điều kiện nhất định, các hạt có thể chịu phản xạ gương từ bề mặt rắn. Nhưng chúng ta không được quên rằng “theo quan điểm của electron”, bề mặt của tinh thể hoàn toàn không phải là một bề mặt liên tục. Một tinh thể được tạo thành từ các nguyên tử cách nhau bởi những khoảng trống. Kích thước của các khoảng trống xấp xỉ bằng kích thước của chính các nguyên tử và có giá trị cỡ $10^{-8}$ cm. Và electron là những hạt nhỏ, bán kính của chúng nhỏ hơn rất nhiều so với $10^{-8}$ cm. Điều này có nghĩa là khi một chùm electron va chạm với một tinh thể, sẽ xảy ra tình huống trong đó kích thước hạt nhỏ hơn kích thước của các điểm bất thường. Do đó, sự phản xạ của electron phải khuếch tán.

Do đó, hoặc các electron phải được coi là những quả cầu rất lớn, lớn hơn nhiều so với bản thân các nguyên tử (khi đó chúng sẽ bị phản xạ một cách đặc biệt từ tinh thể), hoặc… hoặc các electron không tuân theo các định luật cơ học cổ điển và không phải là các hạt theo nghĩa thông thường của từ này. Khả năng đầu tiên dẫn đến một điều hiển nhiên là vô nghĩa: một quả bóng lớn không thể quay quanh một nguyên tử nhỏ. Điều này có nghĩa là vẫn còn khả năng thứ hai, cho dù nó có vẻ khó tin đến đâu.

Chỉ những sóng có chiều dài lớn hơn khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể mới có thể bị phản xạ rõ ràng từ bề mặt tinh thể. Vì vậy, chúng ta phải giả sử rằng chùm electron hoạt động giống như sóng.

2 «Kvant» № 5

18

chúng ta, và khi đó câu hỏi đặt ra về các tham số đặc trưng của các sóng này: tần số, bước sóng, v.v. Vào thời điểm thực hiện các thí nghiệm của Davisson và Germer, giả thuyết “điên rồ” của nhà khoa học người Pháp de Broglie (phát biểu năm 1923) đã biết rằng mọi hạt đều hành xử giống như một sóng, độ dài của sóng $\lambda$ có liên hệ với động lượng $p=mv$ của hạt theo công thức sau (công thức của de Broglie):

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.$$

Lưu ý rằng đại lượng $h$ trong công thức này là hằng số Planck nổi tiếng, bằng $6{,}62 \cdot 10^{-27}$ $эрг \cdot с$. Nó nối tần số $\nu$ dao động của trường điện từ với năng lượng $E$ của lượng tử (photon) của nó theo công thức Planck: $E = h\nu$, hay bước sóng với động lượng của photon: $\lambda = \dfrac{h}{p}$. Ý tưởng của De Broglie nảy sinh từ giả định về tính đối xứng trong tự nhiên. Lý thuyết cho thấy sóng có một số tính chất của hạt. Ngược lại, các hạt không thể có tính chất sóng sao? Giả thuyết của De Broglie là những mối quan hệ này áp dụng như nhau cho cả photon và hạt vật chất. Nhiều thí nghiệm được thực hiện sau đó đã xác nhận điều này.

Công thức Planck và de Broglie kết nối các đặc tính cơ học của hạt (động lượng, năng lượng) với đặc tính sóng (bước sóng và tần số) của chúng. Giá trị cực kỳ nhỏ (theo quan điểm của thang đo mà chúng ta quen thuộc) của hằng số Planck cho thấy hiệu ứng sóng trong chuyển động của các hạt chỉ trở nên quan trọng trong thế giới vi mô. Thật vậy, một quả bóng bàn có khối lượng 1 $г$ chuyển động với tốc độ 1 $м/с$ có bước sóng de Broglie bằng $6{,}6 \cdot 10^{-29}$ $см$. Đây là một chiều dài cực kỳ ngắn, nhỏ hơn hàng nghìn tỷ lần so với kích thước của hạt nhân nguyên tử.

Hoàn toàn rõ ràng rằng không thể phát hiện được hiệu ứng sóng nào (ví dụ như nhiễu xạ) trong chuyển động của một vật thể như vậy. Ngược lại, đối với một electron trong nguyên tử, bước sóng de Broglie xấp xỉ $10^{-8}$ $см$ ($m \approx 9 \times 10^{-28}$ $г$, $v \approx 10^{8}$ $см/с$), tức là theo thứ tự kích thước của chính nguyên tử mà electron đang chuyển động trong đó. Trong những điều kiện này, hành vi sóng của electron đóng vai trò quyết định. Tất cả các chi tiết cụ thể của hiện tượng nguyên tử và đặc biệt là bản chất lượng tử của chúng đều liên quan chính xác đến hành vi giống như sóng này của các electron. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét ví dụ đơn giản nhất cho thấy tính chất rời rạc của một nguyên tử xuất phát từ bản chất sóng của electron như thế nào.

Trong điều kiện bình thường, các electron được giữ trong nguyên tử bằng lực hút tĩnh điện và không thể di chuyển quá xa hạt nhân. Do đó, các electron của nguyên tử chuyển động trong một vùng không gian giới hạn. Chúng thường được gọi là các electron liên kết. Ngược lại, các electron trong chùm tia do súng điện tử tạo ra về nguyên tắc có thể rơi vào bất kỳ vùng không gian nào và do đó được gọi là tự do. Ví dụ được đề cập thể hiện chính xác đặc điểm này của electron nguyên tử: vùng không gian có hạn dành cho chuyển động của nó.

Để đơn giản cho lý luận, chúng ta hãy tưởng tượng rằng electron chỉ có thể chuyển động dọc theo một đường thẳng nhất định và không vượt ra ngoài ranh giới của đoạn $AB$ (Hình 4). Giả sử tại các điểm $A$ và $B$ có ​​những bức tường rắn mà electron không thể xuyên qua. Hệ thống như vậy là mô hình một chiều của nguyên tử. Tất nhiên, các nguyên tử phức tạp hơn nhiều và ví dụ của chúng ta không giả vờ là một sự tương ứng về mặt định lượng với một nguyên tử thực. Nhưng đặc tính định tính chính của nguyên tử là sự tồn tại của các mức năng lượng rời rạc.

19

nó - chúng ta sẽ có thể theo dõi nó ngay cả trên mô hình đơn giản này. (Tuy nhiên, cần lưu ý rằng mô hình như vậy cũng có thể có ý nghĩa vật lý ngay lập tức. Ví dụ, nó mô tả khá chính xác hành vi của các electron trong các màng mỏng kim loại hoặc chất bán dẫn. Trong trường hợp này, đoạn $AB$ biểu thị độ dày của màng và hai bề mặt của màng đóng vai trò là những bức tường không cho electron thoát ra ngoài.) Để tính các đặc tính của nguyên tử một chiều như vậy, hãy sử dụng công thức de Broglie. Vì electron bị “khóa” trong một vùng không gian giới hạn (trong trường hợp này là trên một đoạn thẳng), nên chúng ta phải nói về sóng dừng. Ví dụ, các sóng câu chuyện một chiều cơ học tương tự xuất hiện khi một sợi dây cố định tại hai điểm dao động. Đương nhiên, những điểm neo này phải được so sánh với các điểm $A$ và $B$, ngoài những điểm đó electron không thể xuyên qua. Các dây dây cũng không xuyên qua được các đầu cố định. Điều này có nghĩa là sự nhầm lẫn giữa các điểm của dây trong quá trình dao động luôn sao cho các điểm $A$ và $B$ là nút (hỗn hợp của chúng luôn bằng 0). Từ đây suy ra ngay rằng đoạn $AB$ phải chứa một số nguyên nửa sóng. Do đó, một dây dao động có các đầu cố định chỉ có thể ở một số trạng thái chuyển động nhất định, trạng thái này có thể được đánh số bằng số nửa sóng khớp giữa các điểm $A$ và $B$. Nói cách khác, chỉ những sóng như vậy mới có thể tồn tại trong một chuỗi có độ dài $\lambda$ thỏa mãn hệ thức sau: $AB = n\lambda/2$, trong đó $n$ là một số nguyên có giá trị 1, 2, 3, v.v. Trong Hình 4, các sluans I, II, III, IV tương ứng với $n$, bằng 1, 2, 3 và 4. Chúng ta biểu thị độ dài của đoạn $AB$ với chữ cái $L$. Khi đó các bước sóng có thể có $\lambda_n$ được tính theo công thức

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Bây giờ chúng ta hãy quay lại với electron chạy giữa hai bức tường và áp dụng công thức de Broglie cho nó. Vì chỉ có thể tồn tại một tập hợp sóng rời rạc $\lambda_n$ nên tốc độ electron $v_n = \frac{h}{m\lambda_n}$ cũng chỉ có thể nhận một tập hợp giá trị rời rạc:

$$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = \frac{h}{m2L} n; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Động năng của electron là $E = mv^2/2$ và nó cũng không thể tùy ý. Chỉ có các mức năng lượng riêng biệt:

$$E_n = \frac{h^2n^2}{8mL^2}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

(số $n$ gọi là số lượng tử). Chúng ta đã thu được một trong những công thức đầu tiên của cơ học lượng tử - mức năng lượng của một electron “bị khóa” giữa hai bức tường không thể xuyên thủng. Theo quan điểm của cơ học cổ điển, việc xây dựng câu hỏi về các giá trị năng lượng cho phép trong trường hợp này là vô nghĩa. Nếu một quả bóng cổ điển nhảy giữa hai bức tường, phản xạ đàn hồi từ chúng, thì năng lượng của nó $E = \frac{mv^2}{2}$ phụ thuộc vào tốc độ ban đầu $v_0$ và có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Không có “thang” năng lượng, có lẽ các giá trị năng lượng được điền vào

20

toàn bộ thang năng lượng. Đối với các vi hạt, như chúng ta đã thấy, vấn đề rất chi tiết. Năng lượng của nó chỉ có thể có một tập hợp các giá trị rời rạc và sự rời rạc này là hệ quả trực tiếp của bản chất sóng của vi hạt.

Nói chung, biểu thức của các mức năng lượng cũng có thể được xây dựng cho một hạt cổ điển, ví dụ, cùng một quả bóng bàn. Đặt khối lượng của nó $m = 1 \, e$ và khoảng cách giữa các bức tường $L = 10 \, cm$; sau đó, do độ cực kỳ nhỏ của $h$, khoảng cách giữa các cấp độ lân cận hóa ra nhỏ đến mức không thể tưởng tượng được; Ví dụ,

$$E_{21} = \frac{h^2}{8mL^2} (2^2 - 1) \approx 16 \cdot 10^{-55} \, \text{эр}.$$

Thang năng lượng hóa ra dày đặc đến mức năng lượng thực tế có thể thay đổi liên tục, giống như đối với một hạt cổ điển. Đây là sự chuyển đổi cuối cùng từ cơ học lượng tử sang cơ học cổ điển.

Ngoài bản chất sóng của vi hạt, việc hạt chuyển động trong một vùng không gian giới hạn là cực kỳ quan trọng đối với sự xuất hiện của quang phổ rời rạc. Trong trường hợp này, như chúng tôi đã nói, sóng phát sinh và các dao động được đặc trưng bởi các bước sóng riêng biệt và do đó tần số riêng biệt. Tần số nhân với $h$ bằng năng lượng của hạt. Xu hướng chung là kích thước của vùng chuyển động khả dụng càng nhỏ thì khoảng cách giữa các mức năng lượng liền kề càng lớn (ví dụ: xem công thức (*)).

Nếu một vi hạt chuyển động dưới tác dụng của những lực cho phép nó đi đến vô cùng, thì sóng đứng sẽ không phát sinh và năng lượng có thể có bất kỳ giá trị nào. Trong trường hợp này, hệ lượng tử được cho là có phổ năng lượng liên tục (ví dụ, chùm tia của súng điện tử).

Trong nguyên tử hydro, một electron bị đẩy ra gần hạt nhân bởi lực hút điện. Nếu trạng thái của một electron không có đủ năng lượng để thắng lực hút và đi một khoảng cách vô cùng lớn so với hạt nhân thì nó có phổ rời rạc. Tuy nhiên, nếu bằng cách nào đó bạn truyền đủ năng lượng cho electron (chẳng hạn, điều này có thể được thực hiện bằng cách chiếu sáng nguyên tử bằng ánh sáng), thì electron sẽ vượt qua lực hút đối với proton và có thể di chuyển ra xa nó bao nhiêu tùy ý. Bắt đầu từ năng lượng này, phổ electron trở nên liên tục, nghĩa là năng lượng của electron có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Hình 5 cho thấy các giá trị năng lượng điện tử thu được trong nguyên tử hydro. Mức năng lượng thấp nhất xảy ra được gọi là bình thường hoặc cơ bản. Trong ví dụ trên với một electron “chạy” giữa hai bức tường, mức mặt đất tương ứng với giá trị của số $n$ bằng 1. Công thức () cho mức năng lượng hóa ra khá hữu ích để ước tính năng lượng của trạng thái cơ bản và các hệ lượng tử khác. Trong trường hợp này, dưới $L$ người ta nên nhớ kích thước của vùng không gian có thể tiếp cận được mà electron chuyển động trong đó. Ví dụ, đường kính của nguyên tử hydro xấp xỉ $10^{-8} \, cm$, khối lượng của electron là $\approx 9 \cdot 10^{-28} \, e$. Thay các giá trị này vào công thức (), ta thu được cho

21

Năng lượng ở trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro là $E_1 = 0,6 \cdot 10^{-10} \text{эр} = 37,5 \text{эр}$. Giá trị chính xác của năng lượng này là 13,5 kỷ nguyên, tức là chúng ta đã nhầm gần ba lần. Nhưng đây chính xác là một ước tính, một ước tính sơ bộ, chỉ đưa ra ý tưởng về mức độ quan tâm của chúng ta.

Tóm lại, cần nhấn mạnh rằng các sự kiện xảy ra trong thế giới vi mô ở cấp độ nguyên tử, phân tử và hạt nhân nguyên tử chỉ trở nên dễ hiểu sau khi ý tưởng về bản chất sóng của các vi hạt xuất hiện. Bản chất kép của chúng (một mặt, chúng là hạt, mặt khác là sóng) không có điểm tương đồng trong thế giới macrosopper vốn có trong chúng ta, vì vậy sẽ vô ích nếu cố gắng tưởng tượng, chẳng hạn như một electron chuyển động trong nguyên tử là như thế nào. Nó không giống bất cứ điều gì chúng ta đã biết cho đến nay. Một electron có cả tính chất hạt và sóng, nhưng không phải là hạt theo nghĩa chung cũng như không phải là sóng thông thường. Chúng ta chỉ có thể nói về một electron như một hạt gần đúng mà không quên các tính chất sóng của nó. Ví dụ, đối với một hạt cổ điển, thông thường, bạn có thể xác định chính xác tọa độ, động lượng và năng lượng của nó bất kỳ lúc nào. Có thể nói gì về những thông số này khi mô tả hoạt động của các vi hạt?

Theo công thức của de Broglie, một hạt có động lượng nhất định, nghĩa là được xác định bởi giá trị tốc độ của nó, sẽ tương ứng với một sóng có độ dài nhất định. Chúng ta hãy xác định rằng chỉ có sóng hài được đặc trưng bởi giá trị của bước sóng. Nhưng sóng hài là vô hạn trong không gian. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể nói về sự định vị, về tọa độ không gian của một vi hạt tại một thời điểm nhất định.

Nếu chúng ta tin rằng hạt được định vị trong không gian, thì do đó chúng ta đã giới hạn vùng tập trung quá trình dao động được mô tả bởi các tính chất sóng của hạt này. Nhưng những rung động như vậy không thể được mô tả bằng một sóng điều hòa có độ dài nhất định. Do đó, theo hệ thức de Broglie, không thể nói bất cứ điều gì một cách chắc chắn về động lượng của một hạt tại thời điểm mà tại đó chúng ta coi tọa độ của nó là cố định.

Vì vậy, sẽ không có ý nghĩa gì khi nói về các giá trị chính xác đồng thời của tọa độ và động lượng của vi hạt. Các thông số này chỉ có thể được xác định tại cùng một thời điểm với độ chính xác nhất định. Năm 1927, nhà vật lý người Đức Werner Heisenberg đã chỉ ra rằng có mối liên hệ giữa độ sai số $\Delta x$ và $\Delta p$ trong việc xác định tọa độ và động lượng của một vi hạt tại một thời điểm nhất định:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq h^*).$$

Mối quan hệ này được gọi là mối quan hệ không chắc chắn.

Ngày nay chúng ta không thể trả lời câu hỏi tại sao các vi hạt lại có cấu trúc theo cách này mà không phải cách khác, và câu hỏi như vậy khó có thể là một trong những câu hỏi được đặt ra chính xác. Nhưng giờ đây chúng ta biết chắc chắn rằng những vi hạt quen thuộc nhất, dường như không thể lay chuyển được xác định về tự nhiên có thể được xác định bằng dòng chảy các sự kiện và quan sát mới. Vì vậy, chúng ta hết sức thận trọng với tất cả các loại phán đoán mang tính phân loại về các đặc tính và quy luật của thế giới xung quanh chúng ta, hoặc mỗi tuyên bố “tuyệt đối” như vậy thực ra đều dựa trên kinh nghiệm hạn chế của con người.

*) $\Delta p$ là thành phần tổng động lượng của hạt trên trục tọa độ tương ứng. Trong trường hợp này - trên trục $X$.