Волновая механика

Квант 1975, №5 с. 14-21 Тег RV5O

Волновая механика

Около пятидесети лет назад родила квантовая механика — наука о законах движения микросоппических частиц материалов (атомов, атомных ядер, электронов и т. п.). Эти законы оказались настолько удивительными, настолько не похожими на то, с чем стalkивались физики до сих пор, что вначале даже крупные учены отказывались верить выводам квантовой механики. Да и в наши дни не прекрашаются дискуссии о физических основах этой науки, хотя многие ее разделы уже стали инженерными дисциплинами.

В первые годы существования квантовой механики ее называли волновой механикой. Сейчас это название уже начало забывать, а между тем в нем содержится указание на самую главную черту, присущую явлениям микромира. Ведь квантовый, то есть дискретный характер процессов, в которых участвует микрочастицы, связан именно с их волновыми свойствами. Например, тот факт, что энергия электронов в atomе может принимать лишь определенный дискретный набор значений, есть следствие волновой природу электрона.

В этой статье мы постараемся разобраться, что означает слова «волновая природа электрона» и почему она приводит к дискретности его свойств. Начать придется издалека.

Частцы и волны

Как мы описываем движение больших тел, например, движение артиллерийского снаряда, спутника Земли, планеты вокруг Солнца? Такие тела называют микросоппическими (в отличие от микрочастицы), и особенностями движения хорошего известны. Конецно, спутники Земли и артиллерийские снаряды вредли ли можно считать волне обиденными вещеми. Но законы, которые управляют их движением, легко понять на основе нашей посеедневного опыта.

Мы привыкли к тому, что каждое тело занимает определенное место в пространстве, и это место можно указать, задавая координаты тела. Если тело движется, то оно с течение времени меняет свое положение в пространстве. Чтобы описать движение тела, можно указать положения, которые оно занимает в последовательные моменты времени, то есть (выражаясь более точно) можно задать зависимость координат тела от времени. Это — язык механики, вернее даже, — ее азбука. Но отсутства берегся уверенно, что можно в каждый момент времени определить положение тела в пространстве, задав его координаты? Ответ совершенно ясен: оттуда же, откуда берегся вообще все наши знания — из опыта. Именно повседневный опыт служит источником понятей и представленной, которые пользовется общая механика — механика микросоппических тел (ее также называют классической). Важно запомнить это обстоятельство: в повседневном опите мы имеем дело с микросоппическими телами, поэтому привычные

представления о перемещении в пространстве относится как раз к таким темам. Согласно этим представлениям каждое движущесе тело имеет траекторию, и в каждой точке траектории можно указать скорость тела, его ускорение и т. д. Так описывается движение тел в классической механике.

По-инному приходится поступать при описании волновых процессов, например, звука или волн на поверхности воды. Первое, что нужно отметить, это бессмысленность понятия траектории для волн. Ведь звук распространяется от своего источника по всем направлении. Если все-tаки задают вопрос: где в данной момент находится звуковая волна, то ответ должен быть следующим: это некооторая часть пространства, ограниченная поверхностью, до которой волны успел доойти к данному моменту времени. Внутри этой поверхности в каждой точке (разумеется, если источник работы не перерывно) существует колебания плотности воздуха, которые и являются звуком. Значит, бессмысленное говорить о координате звука, о точке пространства, в которой находится звук. Это становится особенно ясным в случае волн в замкнутой полости, где могут возникнуть стоящие волны. Примером могут служить резонансный ящик для камерона, духовые музыкальные инструменты (такие, как орган или сокофон), барабан и т. д. Когда по барабану ударят, то внутри него устанавливаются стоящие волны, и при этом звучит весь объем воздуха, заключенный внутри барабана. Таким образом, можно сказать, что волна заполняет все доступное ей пространство, и такие понятия, как координата или траектория, к волнам не применены. Здесь следует пользоваться другими другими методами. Волны характеризуются их амплитудой, частотой, фазой, скоростью распространения, длиной волны.

Остановимся еще на одном различии в свойств волн и частиц, которые очень важно для дальнейшего изучения основных волн является исключительно привлекательной волн. Волна, в прямом смысле слова, может завернуть за угол, частота — нет. Например, можно услышать речь, стоя за углом дома и не видя разговаривающих людей.

С явлением дифракции тесто связано поведение волн при их отражении от шероховатой поверхности. Если бы отражающая поверхности была идеально гладкой, то волны и частицы волны были себя совершенно одинаково (рис. 1). Для тех и других выполнялся бы известный закон: угол падения равен углу отражения (разумеется, надо оворить, что удар частиц поверхности поверхности предполагается абсолютию упругим). Легко собрать, что в этом идеальном случае параллельный пучок летяших частц остается параллельным и после отражения от поверхности, так как скорость каждой частицы поворачивается на один и тот же угол. То же самое относится к волнам.

Посмотрим теперь, что происходит в реальном случае, то есть когда поверхость не является идеально плоскостью, а имеет неекоторые

шероховатости. Начнем с частиц. Следует разлиать два случая. Первая, изображенный на рисунке 2, соответствует маленьким частицам. Их размеры горизонтом меньше высоты и ширины зубцов поверхности, поэтому можно рассматривать такие частицы как материльные точки. Каждый из этих частиц попадает на некоторый участок поверхности, на некоторый склон зубца, и отражается от этого склона все по тому же закону: угол падения равен углу отражения. Но так как каждый зубц наклонен под своим определенным углом к направлению perвичного потока частиц, то частицы, попавшие на разные зубцы, отлетают в разных направлениях. В результате отраженные частицы уже не образуют параллельного пучка, а размещаются хаотически под разными углами.

Если же на поверхности падают большие частицы, которые при соприкосновении с поверхностью накрывают сразу много зубцов, то картина получаетсяиной (рис. 3). «С точки зрения» такой частицы поверхность с мелкими зубцами мало отличается от идеальной плоскости. Например, стол для пинг-понга называется (неровно обработана фанера, краска легла не взделе одинаковым слоем и т. д.), тем не менее шарик отскакивает почти так же, как отровной плоскости. Дело в том, что большой шарик, касаясь при ударе сразу многох мелких зубцов поверхности, как бы upsредняет их действия, и это upsреднение действие оказывается почти таким же, как для идеальной плоскости. В таких случаях говорят о зеркальном отражении.

Отражение волн от шероховатой поверхности также может произойти двояким образом. Длинные волны (длина волны больше размеров неровности) диффрагируют на неровности; в результате отражение оказывается близким к идеальным. Например, неровности поверхности обичного зеркала гориздо меньше длины волн видимого света. Отражение света происходит направлено (зеркальное). Однако жесткиеRENTенские лучи, длина волны которых в тысячи раз меньше чем у видимого света, отражаются от того же зеркала рассеянию (диффузно) — отраженные лучи идут в различных направлениях.

Итак, при отражении потоков частиц или волн от неровностей поверхности решающего роль для частиц играет соответствие между размерами неровностей и размерами частиц, а в случае волн — соответствие между размерами неровностей и длиной волны.

Мы подошли теперь к главной части нашего расссказа.

Как ведут себя электроны
Когда Дж. Дж. Томсон в самом конце прошло века открыл электрон,

он представлял его себе как частицу, несущую определенную порцию электрического заряда. Действительно, все опыты как будто говорили за то, что электрон — это частица, заряженная отрицательным электричеством и ведущая себя так, как и полагается частицам. Мы уже знаем, что это означает. Во-первых, электроны можно считать поштучно (например, измеряя полный заряд и деля его на заряд одного электрона); никто еще никогда не наблюдал половины электрона. Во-вторых, каждый электрон пучка характеризуется своей траекторией, которую можно изменять, воздействуя на пучок электрическим или магнитным полем. Момент попадания электрона в мишень можно фиксировать по вспышке в люминесцирующем покрытии мишени. Эта вспышка практически точечная, а это значит, что электрон оказывает действие лишь на очень малую область мишени. Следовательно, можно говорить о координате электрона, о его траектории, то есть обо всем, что характеризует его как частицу.

Именно на основе представлений об электроне как о частице возникла так называемая планетарная модель атома, предложенная Резерфордом. В этой модели атом рассматривался как миниатюрная Солнечная система, в которой вокруг «Солнца» — атомного ядра — движутся по орбитам «планеты» — электроны. Размеры атома, то есть радиусы электронных орбит, вскоре удалось выяснить. Они оказались величинами порядка $10^{-8}$ см, или одного ангстрема. Относительно размеров самого электрона имелись расхождения во мнениях, но все сходились на том, что его радиус должен быть, конечно же, меньше $10^{-8}$ см. Ведь электрон — часть атома, а часть, во всяком случае, не может быть больше целого. Но вот в 1927 году американские физики Дэвиссон и Джермер осуществили свои знаменитые опыты с пучками электронов. И сразу стало ясно, что взгляд на электроны как на малень-

кие твердые шарики, мягко говоря, наивен. Природа электрона оказалась гораздо более сложной.

Мы разберем здесь лишь один из опытов Дэвиссона и Джермера. Параллельный пучок электронов направлялся на грань кристалла и отражался от нее. Отраженный пучок оставался параллельным (как в случае отражения видимого света от зеркала). Вот и все. На первый взгляд в этом факте нет ничего удивительного. Ведь мы знаем, что при определенных условиях частицы могут испытывать зеркальное отражение от твердой поверхности. Но не нужно забывать, что «с точки зрения электрона» поверхность кристалла ни в коем случае не является сплошной поверхностью. Кристалл состоит из атомов, разделенных промежутками пустого пространства. Размеры промежутков примерно равны размерам самих атомов и составляют величину порядка $10^{-8}$ см. А электроны — это маленькие частицы, радиус их много меньше, чем $10^{-8}$ см. Значит, при соударении пучка электронов с кристаллом должна иметь место ситуация, когда размеры частиц меньше размеров неровностей. Следовательно, отражение электронов должно быть диффузным.

Таким образом, либо надо считать электроны очень большими шарами, гораздо больше самих атомов (тогда они отражались бы от кристалла зеркально), либо… либо электроны не подчиняются законам классической механики и не являются частицами в привычном смысле этого слова. Первая возможность приводит к явной бессмыслице: большой шар не может кружиться по орбите внутри маленького атома. Значит, остается вторая возможность, сколь бы невероятной она ни казалась.

Зеркально отражаться от поверхности кристалла могут лишь волны, длина которых больше расстояния между атомами в кристалле. Следовательно, нужно считать, что пучок электронов ведет себя подобно вол-

2 «Квант» № 5

нам, а тогда возникает вопрос о характерных параметрах этих волн: об их частоте, длине волны и т.д. Ко времени опытов Дэвиссона и Джермера уже была известна «сумасшедшая» гипотеза французского ученого де Бройля (высказанная в 1923 году) о том, что всякая частица ведет себя подобно волне, длина которой $\lambda$ связана с импульсом $p=mv$ частицы следующей формулой (формула де Бройля):

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.$

Заметим, что величина $h$ в этой формуле — знаменитая постоянная Планка, равная $6{,}62 \cdot 10^{-27}$ $эрг \cdot с$ . Она связывает частоту $\nu$ колебаний электромагнитного поля с энергией $E$ его кванта (фотона) по формуле Планка: $E = h\nu$ , или длину волны с импульсом фотона: $\lambda = \dfrac{h}{p}$ . Идея де Бройля возникла из предположения о симметрии в природе. Теория показала, что волны обладают в некотором смысле свойствами частиц. Не могут ли частицы в свою очередь обладать волновыми свойствами? Гипотеза де Бройля состоит в том, что указанные соотношения одинаково применимы как к фотонам, так и к частицам вещества. Многочисленные эксперименты, проведенные впоследствии, это действительно подтверждают.

Формулы Планка и де Бройля связывают механические характеристики частиц (импульс, энергию) с их волновыми характеристиками (длиной волны и частотой). Чрезвычайно малая (с точки зрения привычных нам масштабов) величина постоянной Планка показывает, что волновые эффекты в движении частиц становятся существенными лишь в области микромира. В самом деле, шарик для пинг-понга массой 1 $г$ , летящий со скоростью 1 $м/с$ , имеет дебройлевскую длину волны, равную $6{,}6 \cdot 10^{-29}$ $см$ . Это фантастически малая длина, в триллионы раз меньшая размеров атомного ядра.

Совершенно ясно, что никаких волновых эффектов (например, дифракции) в движении такого тела обнаружить нельзя. Напротив, для электрона в атоме длина волны де Бройля равна примерно $10^{-8}$ $см$ ( $m \approx 9 \times 10^{-28}$ $г$ , $v \approx 10^{8}$ $см/с$ ), то есть порядка размеров самого атома, в котором движется электрон. В этих условиях волновое поведение электрона играет определяющую роль. Вся специфика атомных явлений и, в частности, их квантовый характер связаны именно с этим волноподобным поведением электронов. Мы рассмотрим сейчас простейший пример, показывающий, как дискретность свойств атома вытекает из волновой природы электрона.

При обычных условиях электроны удерживаются внутри атома силами электростатического притяжения и не могут удалиться от ядра на слишком большое расстояние. Таким образом, принадлежащие атому электроны движутся в ограниченной области пространства. Их обычно называют связанными электронами. Наоборот, электроны в пучке, созданном электронной пушкой, могут, в принципе, попасть в любую область пространства, поэтому называются свободными. Пример, о котором идет речь, схватывает именно эту особенность атомного электрона: ограниченность области пространства, доступной для его движения.

Для простоты рассуждений представим себе, что электрон может двигаться только вдоль некоторой прямой и не выходит за пределы отрезка $AB$ (рис. 4). Скажем, в точках $A$ и $B$ находятся твердые стенки, сквозь которые электрон не может проникнуть. Такая система является одномерной моделью атома. Разумеется, атомы устроены гораздо сложнее, и наш пример не претендует на количественное соответствие реальному атому. Но главную качественную ссобенность атомов — существование дискретных энергетических уров-

ней — нам удасться проследить даже на этой простой модели. (Впрочем, следует заметить, что такая модель может иметь и неосредственный физический смысл. Например, она довольно хорошо описывает поведение электронов в тонких пленках металлов или полупроводников. В этом случае отрезок $AB$ изображает толщину пленки, а две поверхности пленки играют роль стенок, не выpusкойших электрон наружу.) Чтобы рассчитать характеристики такого одномерного атома, воспользоваться формулой де Бройля. Поскольку электрон «заперт» в ограниченной области пространства (в данном случае — на отрезке прямой), то мы должны говорить о стоянных волнах. Аналогичные механические одномерные stories волны возникают, например, при колбанях струны, закрепленной в двух точках. Естественно, что эти точки закрепления следует сопоставить точкам $A$ и $B$ , за которым электрон не может проникнуть. Колбанная струны также не проникают сквозь закрепленные концы. Это означает, что смешення точек струны при колбанях всегда таковы, что точки $A$ и $B$ являются узловыми (их смешення всегда равны нулю). Отсюда сразу следует, что на отрезке $AB$ должно укладывать целое число полуволн. Таким образом, колблющая струна с закрепленными концами может находиться лишь в определенных состояниях движения, которые можно нумеровать по числу полуволн, укладывающийся между точками $A$ и $B$ . Другими словами, в струне возможны лишь такие волны, длина которых $\lambda$ удовлетворяет следующему соотношению: $AB = n\lambda/2$ , где $n$ — целое число, принимающее значение 1, 2, 3 и т. д. На рисунке 4 слуан I, II, III, IV соответствуют $n$ , равному 1, 2, 3 и 4. Обозначим длину отрезка $AB$ буквой $L$ . Тогда возможные длины волн $\lambda_n$ задаются формулой

$\lambda_n = \frac{2L}{n}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$

Тепер вернемся к электрону, бегающему между двумя стенками, и применим к нему формулу де Бройля. Поскольку может существовать лишь дискретный набор волн $\lambda_n$ , то скорость электрона $v_n = \frac{h}{m\lambda_n}$ может принимать также лишь дискретный набор значений:

$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = \frac{h}{m2L} n; \quad n = 1, 2, 3, \dots$

Кинетическая энергия электрона равна $E = mv^2/2$ , и она тоже не может быть произвольной. Существуют лишь дискретные энергетические уровни:

$E_n = \frac{h^2n^2}{8mL^2}; \quad n = 1, 2, 3, \dots$

(число $n$ называется квантовым числом). Мы получили одну из первых формул квантовой механики — энергетическая уровни электрона, «запертого» между двумя непроницаемыми стенками. С точки зрения классической механики сама постановка вопроса о дозвольных значениях энергии для этого случая бессмысленна. Если классический шарик прыгает между двумя стенками, упруго отракаясь от них, то его энергия $E = \frac{mv^2}{2}$ зависит от начальной скорости $v_0$ и может принимать любые значения. Никакой энергетической «лестицы» не существует, возможно значения энергии заполняют

всю шкалу энергий. Для микрочастицы, как мы видели, дело обстоятельноному. Ее энергия может иметь лишь дискретный набор значений, и эта дискретность есть прямое следствие волновой природы микрочастицы.

Вобобще говоря, выражение для энергетических уровней можно формировать и к классическому частите, например, все к тому же пинг-понговому шарику. Пусть его масса $m = 1 \, e$ , а расстояние между стенками $L = 10 \, cm$ ; тогда вследствие чрезвычайной малости $h$ расстояния между соседними уровнями оказывается невообразимо малыми; например,

$E_{21} = \frac{h^2}{8mL^2} (2^2 - 1) \approx 16 \cdot 10^{-55} \, \text{эр}.$

Энергетическая лестница получается настолько густой, что практический энергия может изменяться непрерывно, как и должно быть для классической частицы. В этом заключается предельный переход от квантовой механики к классической.

Помимо волновой природы микрочастицы для возникновения дискретного спектра чрезвычайно существенно оказывается тот факт, что движение частицы происходит в ограниченной области пространства. В этом случае, как мы уже говорили, возникна状態 волны, а также колебания характеризуются дискретными значениями длины волн, и следовательно, частот. Частота же, помноженная на $h$ , равна энергии частицы. Общая tendенция такого, что чем меньше размеры доступной области движения, тем больше расстояние между соседними уровнями энергии (см., например, формулу (*)).

Если же микрочастица движется под действием таких сил, которые разрешают ей уйти на бесконечность, то стояние волны не возникают, и энергия может иметь любое значение. В этом случае говорят, что квантовая система имеет непрерывный спектр энергии (например, луч электронной пушки).

В атоме водорода электрон удалявается вблизи ядра силами электростанческого притяжения. Если состояние электрона таково, что у него не хватает энергии предолеть притяжение и уйти на бесконечно большое расстояние от ядра, то он обладает дискретным спектром. Однако, если каким-либо способом сообщить электрону достаточно энергии (это можно сделать, например, освещая atom светом), то электрон предоляет притяжение к протону и может уйти от него сколь угодно дальше. Начиная с этой энергии, спектр электрона становится непрерывным, то есть энергия электрона может принимать любые значения.

На рисунке 5 изображены возникшие значения энергии электрона в атоме водорода. Наинизший возникший уровень энергии называется нормальным или основным. В разобранном выше примере с электроном, «бегающим» между двумя стенками, основному уровню соответствует значение числа $n$ , равное 1. Формула () для уровня энергии оказывается довольно полезной для оценки энергии основного состояния и других квантовых систем. В этом случае под $L$ следует помнить размер доступной области пространства, в котором движется электрон. Например, диаметр atomа водорода равен приблизительно $10^{-8} \, cm$ , масса электрона $\approx 9 \cdot 10^{-28} \, e$ . Подставляя эти значения в формулу (), получим для

Энергии основного состояния атома водорода $E_1 = 0,6 \cdot 10^{-10} \text{эр} = 37,5 \text{эр}$ . Точное значение этой энергии 13,5 эр, то есть мы ошиблись почти в три раза. Но ведь это именно оценка, грубая прикидка, которая дает представление только о порядке интересушей нас величины.

В заключение следует подчернуть, что события, произходящие в микромире на уровне атомов, молекул и атомных ядер, стали понятными лишь после того, как появились идея о волновой природа микрочастиц. Их двойственная природа (с одной стороны, — это частицы, с другой волны) не имеет аналогий в привящном нам макросоппереском мире, поэтому было бы бесполезно пытаться представить себе, например, на что похож электрон, движущийся в атоме. Он не похож ни на что, известное нам до сих пор. Электрон обладает одновременно и свойствами частиц, и волновыми свойствами, но не является ни частицей в общим смысле слова, ни обычной волной. Говорить об электроне как о частице можно лишь приближению, не забывая о его волновых свойствах. Например, для обычной, классической частицы можно точно задать ее координату, импульс, энергию в любой момент времени. Что можно сказать об этих параметрах при описании поведения микрочастиц?

Согласно формуле де Бройля частице, обладающей данным импульсом, то есть определяны мзначением скорости, соответствует волна определенной длины. Определим значением длины волны характераизуются только гармоничские волны. Но гармоничская волна безгранична в пространстве. Значит, мы не можем говорить о локализации, о пространственных координатах микрочастицы в данной момент времени.

Если же мы считаем, что частица локализована в пространстве, то тем самым мы ограничили область, в которой сосредоточен колебательный процесс, описываемый волновыми свойствами данной частицы. Но описать такие колебания одной гармоничческой волной определяенной длины нельзя. Следовательно, согласно соотношению де Бройля ничего неелья с определенно скзаать об импульсе частицы в тот момент времени, в которой мы считаем зафиксированными ее координаты.

Таким образом, нет смысла говорить об одновременных точных значениях координат и импульса микрочастицы. Эти параметры могут быть определены в один и тот же момент времени лишь приближительно, с определенной степенью точности. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг показал, что между неточностями $\Delta x$ и $\Delta p$ в определении координат и импульса микрочастицы в данной момент времени существует соотношение:

$\Delta x \cdot \Delta p \geq h^*).$

Это соотношение называется соотношением неопределенностей.

Сегодня мы не можем ответить на вопрос, почему микрочастиц устроен именно так, а не инчае, да и вряд ли такой вопрос относится к числу правилно поставленных. Но мы теперь твордо знаем, что самые привычные, кажущие незыбленные микрочастицы определяются о природе могут быть определены потоком новых фактов и наблюданий. Поэтому с большой осторожностью относится ко всякого рода категорических суждений о свойствах и законах окружащего нас мира, либо каждое такое «абсолютное» утверждение основано в действительности на ограниченном человеком опыте.

*) $\Delta p$ — составляющая полного импульса частицы на соответствующую ось координат. В данной случае — на ось $X$ .