Общие свойства конических сечений

31

Конические сечения

В статях «Эллипс», «Гипербола» и «Парабола»*) эти кривые определялись по-разному: первая — как результат растяжения или скатия окружности, а вторя и третья — как графики некоторых функций. Каждая из них имеет свое фокальное свойство, которое часто принимается за определение кривой. Напомним эти «фокальные определения» (предполагается, что все рассматриваемые точки для каждой линии лежат в одной плоскости):

Эллипс — это множество всех точек, сумма расстояний каждой из которых до двух точек (фокусов) одна и та же.

Гипербола — множество всех точек, разность расстояний каждой из которых до двух точек (фокусов) одна и та же.

Парабола — множество всех точек, одинаково удаленных от точки (фокуса) и от не проходящей через нее прямой (директорицы).

Древнегреческий математик Менехм, открывший эти кривые, определял их иначе: как сечения кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к одной из образующих. Он называл полученные кривые сечениями остроугольного, прямогоугольного и mynoугольного конуса, в зависимости от освенного угла конуса. Первое, как мы видим ниже, представляет собой эллипс, второе — парабoly, третье — одну ветвь гиперболы (рис. 1, а, б, и в). Название «Эллипс», «Гипербола» и «Парабола» были введены Аполлонем*. До нас должно получить (7 книг из 8) сочинение Аполлоня «О кончексных сечениях». В этом сочинении Аполлоний рассматривает обе полы конуса (рис. 2) и пересекает конус плоскостями, не обязательно перепедикулярими к одной из образующей.

Теорема. Если плоскость сечения пересекает все образующие конуса (молько одну его полу), то линяя пересечения (красная линия на рисунке 2) — эллипс;

если плоскость паралельна одной образующей (и может пересекает одну полу), то линяя пересечения (синяя) — парабола;

если плоскость паралельна двум образующим ( пересекаем обе полы), то линяя пересечения (черная) — эпербола.

Изящное доказательство этой теоремы было предложено в 1822 году сельгийским инженером Данделом, использовшим сферы, которые приятно теперь называть сферами Данделена.

Эллипс. Впишем в конус две сферы, касающиеся плоскости сечения.

*) См. «Кваит», 1975, № 1, 3 и 4. Предполагается, что читатель знаком с этим статями.

32

выходящих из $M$; аналогично, $MF_2 = MP_2$. Следовательно, $MF_1 + MF_2 = MP_1 + MP_2 = P_1P_2$.

Длина отрезка $P_1P_2$ — одна и та же для всех точек $M$ нашего сечения: это образующая усеченного конуса, ограниченного параллельными плоскостями $I$ и $II$, в которых лежат окружности $k_1$ и $k_2$. Следовательно, линяя сечения конуса плоскостью $\Pi$ — эллипс с фокусами $F_1$ и $F_2$.

Гиperбола. Этот случай аналогичен только что разобранному. Читатель предлагается доказать, пользоваться рисунком 4, а, 6, что в сечении получается гипербола.

Парабола. Этот случай расстоян в статье «Парабола» *), исходя из аналогичного определения этой кривой. Но можно проверить и расчужение со сферай Данделена (рис. 5).

*) «Квант», № 4, c. 16.

Рис. 1.

ния П с разных сторон (рис. 3, а, 6). Обозначим через $F_1$ и $F_2$ точки касания этой плоскости со сферами. Возьмем на линяя сечения конуса плоскостью П произвольную точку $M$. Отметим на образующей конуса, проходящей через $M$, точки $P_1$ и $P_2$, лежащие на окружности $k_1$ и $k_2$, по которым сферы касаются конуса. Ясно, что $MF_1 = MP_1$ как отрезки двух касательных к первой сфере,

33

Рис. 3.

Рис. 4.

3 «Квант» № 5

34

Плоскость П пересекает круговой конус параллельно образующей $St$. Впишем в конус сферу, касающуюся плоскости П. Точка касания $F$ и есть фокус. Конус и сфера соприкасаются по окружности $k$, плоскость I которой пересекает П по прямой $d$. Это и есть директриса.

Для доказательства проведем через точку $M$, лежащую на образующей $SHM$ конуса, плоскость II, параллельную I. Она пересечет конус по второй окружности $k'$. Затем опустим из $M$ перпендикуляр $MD$ на прямую $d$. Легко видеть, что он параллелен образующей $St$ и что фигура $MDEB$ — параллелограмм. Имеем: $MF = MH$ (как две касательные из точки $M$ к сфере); $MH = BE$ (как две образующие усеченного конуса, ограниченного плоскостями I и II); $BE = MD$ (как противоположные стороны параллелограмма). Из равенства $MF = MD$ для любой точки $M$ сечения следует, что это сечение — парабола.

Директориальное свойство конических сечений. Эксцентриситет

Фокальному свойству параболы можно придать такую формулировку: отношение $\dfrac{MF}{MD}$ расстояний любой точки параболы до фокуса $F$ и до директрисы $d$ (рис. 5) — величина постоянная (равная единице).

Аналогичное свойство имеет место также для эллипса и гиперболы.

В плоскости эллипса (гиперболы) для каждого фокуса $F$ существует такая прямая $d$ (директриса), что отношение расстояний от любой точки $M$ эллипса (гиперболы) до фокуса $F$ и до директрисы $d$ — величина постоянная. Она называется эксцентриситетом эллипса (гиперболы) и обозначается греческой буквой $\varepsilon$ (эпсилон). Для параболы, таким образом, $\varepsilon = 1$; из дальнейшего выяснится, что для эллипса $\varepsilon$ меньше 1, а для гиперболы $\varepsilon$ больше 1. У параболы одна директриса, а у эллипса (гипер-

болы) — две, по одной для каждого фокуса (рис. 6).

Докажем это свойство, например, для эллипса. Директрисы $d_1$ и $d_2$ — это линии пересечения плоскости П с плоскостями I и II (см. рис. 3). Для эллипса они расположены вне конуса и, значит, вне кривой. Из подобия треугольников $MD_1P_1$ ($MD_1 \perp d_1$) и $MD_2P_2$ ($MD_2 \perp d_2$) имеем: $MP_1 : MD_1 = MP_2 : MD_2$. Обозначим эти отношения через $\varepsilon$. Так как $MP_1 = MF_1$, $MP_2 = MF_2$, то $MF_1 = \varepsilon \cdot MD_1$, $MF_2 = \varepsilon \cdot MD_2$. Складывая эти равенства, получаем

$$MF_1 + MF_2 = \varepsilon (MD_1 + MD_2) = \varepsilon \cdot D_1D_2.$$

Но левая часть, по фокальному свойству эллипса, постоянна и равна $2a$, длина $D_1D_2$ (расстояние между директрисами) тоже постоянна. Значит, $\varepsilon = \mathrm{const}$.

Аналогично проводится рассуждение и для гиперболы.

Рис. 5.

35

Фокусы эллипса разошлись друг от друга по отношению к длине 2a его фокальной оси, то есть какова растянутость эллипса.

Проискождение названный эллипса и гиперболы. Кривые второго порядка

Назовем главной хордой эллипса, гиперболы, парабoles ту хорду, которая проходит через фокус перепределкулярно к фокальной оси (так называется ось, проходящая через фокус кривой). У эллипса и гиперболы, в отличие от парабoles, по две главные хорды. Длину половины главной хорды будем обозначать буквой p и называть фокальным параметром кончческого сечения *).

Для любой точки M кончческого сечения построим желтый прямоугольник ABCD (высота которого равна главной хорде) и синий квадрат NMEH (рис. 7, a, 6, b). Как мы знаем **), для парабoles эти прямоугольник и квадрат имеют одинаковую площадь.

Ниже мы увидим, что для эллипса квадрат имеет меньше площадь, чем прямоугольник, то есть этот квадрат имеет не достаточно (elleipsis). Для гиперболы же квадрат имеет больше площадь, чем прямоугольник, то есть имеет избыток (hyperbole). Этот факт, известный еще Аполлоню, последующий основой для названия обихих кривых.

Доказательство. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Если, однако, сливнуть эллипс вправо на a единицу (так, чтобы в начале координат находился не центр, а левый конец фокальной оси эллипса), то в этом новом положении (синий эллипс на рис. 8,a) он будет иметь уже другое уравнение, которое получает

*) Рекомендуем возобновить в память соответствующие сведения о главной хорде и фокальном параметре парабoles («Квант», № 4, c. 12).

**) «Квант», № 4, c. 12.

36

Рис. 7.

чается из прежнего, если в нем $x$ заменить на $x - a$:

$$\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

или

$$y^2 = \frac{2b^2}{a} x - \frac{b^2}{a^2} x^2.$$

Заметив, что $p = \frac{b^2}{a}$ (это получается непосредственно вычисленем; см. рис. 7,6)

Рис. 8.

и $\frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 - c^2}{a^2} = 1 - \varepsilon^2$, мы можем записать это уравнение так:

$$y^2 = 2px + (\varepsilon^2 - 1)x^2.$$

Точно к таким же виду приводится уравнение гиперболи (десь кривая сдиггается так, чтобы в начале координат оказался правый конец фокальной оси (см. рис. 8, 6) и $x$ заменяется на $x + a$).

Заметим, что и парабола (рис. 8, в), у которой $\varepsilon = 1$, имеет то же уравнение:

37

$y^2=2px$). Таким образом, все три кривые выражаются одним и тем же уравнением (2). Оно называется уравнением относительной вершины, так как начало координат в этом случае находится в вершине кривой (рис. 9).

Второй член в правой части (2) отрицатель для эллипса, равен нулю для параболы

*) В «Кванте» № 4 (с. 13) уравнение параболы было получено в виде $x^2=2py$, а здесь мы пишем его так: $y^2=2px$. Дело в том, что оси координат мы здесь переставили (сравните рисунки 8 в, в этой статье и 6 в статье «Парабола» в «Кванте» № 4).

Существенно, что уравнение конечского сечения (2) — второй степени относительно входящих в него переменных. Это относится к конечческим уравнением всех трех кривых. Вообще, любая кривая, уравнение которого в прямогольной системе координат имеет вторую степень, то есть $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$, является конечским сечением *). Поэтому конечские сечения называются также кривыми второго порядка.

От эллипсов к гиперболам через парабoly

Рассмотрим плоскость П, пересекающая конус по окружности, и возьмем в этой плоскости прямую $l$, касающийся этой окружности. Если теперь начать поворачивать плоскость П вокруг прямой $l$, то она будет

*) Правда, при такой формулировке приходится считать конечским сечением не только кривую линю, но и, например, пару пересекающих прямых (уравнение $x^2-y^2=0$). Однако это в полное естественное, так как плоскость, проходящая через вершину конуса, может пересекаться его по двум прямым, то есть по «вырожденому» конечскому сечению.

Рис. 9.

Рис. 10.

38

пересекать конус по все более вытянутым эллипсам. Наконец (когда поворачивающаяся плоскость оказывается параллельной одной из образующих конуса), сечение превращится в парабoly, а затем (при дальнейшемращении плоскости) оно будет представлять собой гипербoly *). На рисунке 10 показаны кривые, построено появляющейся в поворачивающейся плоскости.

Из сказанного ясно, что парабoly — это граничный случай между эллипсами и гиперболами. Для окружности (ε=0) второй фокус с первым. С увеличением экцентриситета второй фокус удаляется от первого, но пока ε меньше 1, кривая остается эллипсом, построено растягивающимся. При ε=1 эллипс деформируется в парабoly (его второй фокус «уходит в бесконечность»), а дальше (при ε больше 1) второй фокус вновь появится на фокальной оси (с другой стороны, внутри второй ветви гиперболы).

Перемещая и поворачивая лампу, лучи которой ограничены круглым абажуром (рис. 11), мы можем получить контур в виде любо кончечного секения, кроме гипербол с большим экцентрисетом (ε > 1/cos α).

Оптические свойства конических секений

На рисунке 12 изображена густая сеть из двух серий концентрических окружностей с центрами F₁ и F₂; разность радиусов двух соседних окружностей каждой серии равна d. Сеть разбиает плоскость на маленькие 4-угольники, которые можно считать

*) Несложные вычисления (мы их не приводим) показывают, что экцентриситы гипербол, которые можно получить при сечении данного кругового конуса плоскостью, не преводятся 1/cos α, где α — угол между осью и образующей конуса. (Это вытекает из того факта, что угол между асимптотами гипербол, получившихся в сечении, не преводится 2α.)

Рис. 11.

39

Это следует из фокальных свойств обенх кривых: для эллипса $F_1N = F_1M + d$, $F_2N = F_2M - d$ и $F_1N + F_2N = F_1M + F_2M$; аналогично и для гиперболы. Вот новый способ построения эллипса и гиперболы по фокусам и одной точке! Начинать можно с любого узла сети, и мы получаем два семейства «софокусных» эллипсов и гипербол. Это построение тем точнее, чем меньше $d$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит, каждая пара софокусных эллипса и гиперболы пересекается под прямым углом $*$). Диагональ ромба делит угол ромба пополам, значит, касательная к эллипсу (гиперболе) является биссертриской каждой угла ромбической сети, внутри которого она проходит. Из того, что каждый радиус окружности пересекает ее под прямым углом, следует, что касательная $MN$ в каждой точке $M$ эллипса образует равные углы с прямыми $F_1M$ и $F_2M$. Значит, по закону «угол падения равен углу отражения», луч $F_1M$, падающий из $F_1$ в точку $M$ эллипса, отражается из него по прямой $MF_2$ (рис. 13, а). Это будет для каждой точки эллипса.

Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса $F_1$, отражаются от эллипса, совершается в другом его фокусе $F_2$. В этом и состоит оптическое свойство

*) Под углом между двумя кривыми понимают угол между касательными к ним, проведенными в точке их пересечения.

40

эллипса, отсюда и называние фокус (латинскоеfocus — очаг).

Для гипербольы оптическое свойство звучит так: лучи, выходящие из одного фокуса, отражаясь от зипербольы, будут расходиться максим образом, что каждуся выходящими из второго фокуса (рис. 13, 6).

Случай парабольы — промежуточный между эллипсом и гиперболю. Второй фокус «уходит в бесконечность» по фокальной оси, и лучи, выходящие из единственного фокуса, отражаясь от парабольы, почти паралельно оси *) (рис. 13, в).

Некоторые другие свойства

В заключение приведем без доказательства еще несколько свойств кончических сечений.

Свойство сопряженных диаметров, доказанное для эллипса **), с некоторыми варианями переносится на парабольу и гипербoly. У парабольы множество середин паралельных хорд лежит на луче, паралельном оси симметрини парабольы — каждый такой луч и является диаметром парабольы. У одной ветви гипербольы середины паралельных хорд также лежат на луче. Прямая, на которой этот луч лежит, проходит через центр гипербольы и называется диаметральной. Исследуйте сами, где лежат середины паралельных хорд другого вида — отрезков, один конец которых лежит на одной, а другой — на другой ветви гипербольы.

Если взять на кончексом сечении шесть последовательных точек A, B, C, D, E, F (огранничаясь в случае гипербольы одной ветью), то в полученном вписанном шестиугольнике ABCDEF при моки пересечения nap

*) На этом свойстве парабольы основаноустройство проекторов — у них внутренняя зеркальная поверхность получена вращением парабольы вокруг ее оси (параболюд вращения). Если источник света помещить в фокусе параболона, то лучи отрезятся от зеркала паралельным лучом.

**) См. «Квант» № 1 за этот год, с. 5.

промышленных сторона AB и DF, BC и EF, CD и FA лежат на одной пряной (теорема Паскаля). Могут оказаться исключения, когда имеется пара паралельных противоположных сторон или две такие пары (тогда и стороны третьей пары паралельны). Подумайте, что можно сказать о трех точках пересечения в этих случах.

Вот еще два интересных свойства — одно у эллипса, другое — у гипербольы.

Если отрезок AB постоянной длины скользит своими концами по двум взяняниям небесных тел — планет, комет, спутников. Если материалная точка M движется в пространстве только под действием прятяжения другой матриальной точки C (которую будем считать неподвижной), причем сила прятяжения подчиняется закону Ньютона F = a/r² (где r — расстояние между C и M, a — постоянная), то траектория движения является конечским сечением с фокусом в точке C (либо же точки M движется по пряной, проходящей через C). Кеплер пришел к этому закону эмпирических, изучая наблюдания Тихо Браге; математически закон был доказан впоследствии Ньютоном. Планеты и естественные их спутники движутся по эллипсам, кометы — по эллипсам, гипербольам и параболам **). Космическим кораблом можно придать любую из этих траекторий.

*) Доказательство этого факта читателя «Кванта» могут найти в первой публикации статьи «Эллипс» («Квант», 1970, № 9).

**) Небольшая дуга сильно вытянутого эллипса, близкая к фокусу, плох отличма от аналогичной дуги парабольи и гипербольы (ε≈1, см. с. 37). Из-за этого возникот трудности при определении орбиты кометы—вернется она или не вернется?