Задачи М321—М325; Ф333—Ф337

50

Задачи

М321—М325; Ф333—337

М321. Имеется прямогольный стол площади 1. Докажите, что для любого ε>0 можно указать систему прямогольных салфеток, покрывающих этот стол (края салфеток параллельны краям стола), такую что любая ее подсистема, состоящая из неперекрывшихся салфеток, имеет площадь, меньше ε.

А. В. Браилов

М322. a) Фигура, состоящая более чем из одной точки, является пересечением N кругов. Докажите, что границы этой фигуры можно представить в виде объединения 2N — 2 дуг окружностей.

б) В алфавите N букв. Несолько букв выписано по окружности так, что никакая буква не встречается два раза подряд и для любых двух различных букв a, b можно проведи

прямую так, что все буквы a будут по одному от прямой, а буквы b — по другую (рис. 1). Докажите, что выписано не более 2N — 2 букв.

С. В. Фомин

М323*. Докажите, что любую функцию, определянию на всей числовой прямой, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которых имеет центр симметрии.

В. А. Сердеев

М324. Имеется несколько кучек камней. Двое играют в игру, ход которого

51

состоит в том, что игрок разбивает каждую кучку, состоящую более чем из одного камня, на две меньше кучки. Ходы делаются по одному камню. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. Как должен играть начинающий, если сначала в каждой кучке было от 80 до 120 камней?

С. В. Фомин

М325. В числовом треугольнике верхнее число равно 1 и крайние числа в каждой строке — тоже 1, а каждое из остальных чисел не меньше суммы двух чисел, стоящих над ним (в частности, этом условию удовлетворяет «треугольник Паскала», изображенный на рис. 2). Пусть натуральное число $a$, больше 1, встречается в этом треугольнике $k$ раз. Доказите, что $2^k < a^2$.

Ф333. На непроводящем диске радиуса $R$ закреплена по хорде проволока длиной $l$. Диск врашает с постоянной угловой скоростью $\omega$. Перpendикулярно к диску направлено магнитное поле с индукцией $B$ (рис. 3).

Ф334. Бусинка сокальзывает без трения по вертикальной расположенной проволоке длины $l$, которая изогнута в гармошу длины $\frac{l}{2}$ (рис. 4). Во сколько раз время сокальзывания бусинки больше времени ее падения с высоты $l$? Амплитуда перегибов проволоки много меньше ее длины. Размеры бусинки пренебрежимо малы по сравнению с длиной «колена» гармошки.

Б. Н. Брейзман

Ф335. Цилиндрический сосуд радиуса $R$, ось которого составляет угол $\alpha$ с вертикально, заполнен водой. В цилиндр опускают хорошее притертий поршень, материал которого пропускает воздух, но непроницаем для воды. При каком минимальном весе поршня всегда его нижняя поверхность будет касаться воды?

В. В. Мирнов

Ф336. Цилиндрическая чашка со рутью врашает вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. При этом поверхность рутини образует параболическое зеркало. Определить фокусное расстояние этого зеркала. Плотность рутини $\rho$, ускорение свободного падения $g$.

Ф337. При наблюлении в телефоняре звезды видны даже днем. Объясните, почему.