Решения задач М286—М290; Ф296—Ф298

52

Решения задач

M286. На плоскости расположено N точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точек. Какое наименьшее количество точек плоскости может оказаться отмещенным?

Рассмотрим всеозможно расстояния между заданным N точекми и выберем среди этих расстояний наибольшее — пусть это расстояние между ккими-то двумя точкими A и B. Соединим точки A с остальных N—1 точкими; получим N—1 отрезков. Середины этих отрезков различны и все лежат внутри или на границе круга с центром в точке A радиуса $\frac{1}{2} |AB|$ (рис. 1).

Аналогично, соединив точки B с осташмися N—1 точкими, получим N—1 отеченных точек (средин), расположенных внутри или на границе круга того же радиуса с центром в точке B.

Построенные два круга имеют только одну точку — середину отрезка AB. Следовательно, всегда имеется по крайней мере 2 (N—1) — 1 (так как середину отрезка AB мы учитываем дважды) отеченных середин, то есть не менее (2N—3) отеченных точек.

Покажем, что 2N—3 — это наименьшее число отеченных точек. Пусть заданные N точек лежат на одной прямой, причем расстояния между соседними точкими одинаковы (рис. 2). Легко видеть, что в этом случае число отеченных точек — середин (на рисунке 2 это красные точки) равно (N—2) + N—1 = 2N—3. Тем самым все доказано.

В заключение мы предложаем читательм подумать над следующей задачей. При каких N можно расположить на плоскости N точек так, чтобы они не лежали на одной прямой и чтобы при этом количество отеченных середин отрезков с концами в этих точек равны 2N—3?

С. В. Коняzin

M287. Существует ли макая последовательность натуральных чисел, что любое наименьшее число 1, 2, 3,… можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единичным способом?

Такая последовательность существует. Объясним коротко, как ее построить.

Предположим, что мы построили конечную последовательность, обладающую следующими свойствами:

1. все попарные разности между членами этой последовательности различны;
2. числа 1,2,…, k можно представить в виде разности двух ее членов;
3. число k+1 нельзя представить в виде разности двух ее членов.

Пусть максимальный член этой последовательности равен M. «Допишем» теперь эту последовательность: добавим к ней числа 2M и 2M+k+1. Проверьте сами, что новая последовательность удовлетворяет свойством 1,2 (с заменой k на k+i, где i — некоторое натуральное число, зависит от первого настоящего последовательности, i≥1) и свойству 3 (с заменой числа k+1 на число k+i+1). Применяя описание «дописывание», например, к числом 1,2, получим бесконечную последовательность, удовлетворяющую условием задачи.

Л. Г. Лиманов

53

M288. На конгрессе собрались ученые, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдется ученый, у которого ровно один друг.

M289. N гирь, каждая из которых весит целое число граммов, разложены на К равных по весу куч. Докажите, что можно не менее чем К разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся (N—1) гири уже нельзя разложить на К равных по весу куч.

Рис. 3.

M290. Для каких n существует такая замкнутая непересекающаяся ломаная из n звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит еще хотя бы одно ее звено?

Возьмем ученого $A$, число друзей у которого максимально (если таких ученых несколько, возьмем любого из них); обозначим это число через $N$. Если ни один из $N$ друзей ученого $A$ не имеет ровно одного друга, то так как ученый $A$ имеет максимальное число друзей, каждый из его друзей может иметь $2, 3, \ldots, N$ друзей — всего $N-1$ возможностей. Поскольку же число друзей ученого $A$ равно $N$, то, значит, двое из друзей ученого $A$ имеют равное число друзей и, кроме того, общего друга — ученого $A$. Но это противоречит условию задачи, и, следовательно, хотя бы один из ученых (друзей ученого $A$) имеет ровно одного друга.

С. Ландо

◆

Возьмем две коробки и разложим в них наши гири так, чтобы в первой коробке оказалось менее $K$ гирь. Раскладывать же гири будем следующим образом.

Сначала возьмем гири, веса которых не делятся на $K$. Если таких гирь меньше $K$, то положим их в первую коробку и перейдем к следующему шагу. Если же таких гирь окажется больше $K$, то положим все гири во вторую коробку.

В первом случае возьмем те гири, веса которых делятся на $K$, но не делятся на $K^2$. Если они уместятся в первой коробке, то положим их туда; если же нет, то положим все гири, не лежащие в первой коробке, во вторую.

Если опять будет иметь место первый случай, возьмем затем те гири, веса которых делятся на $K^2$, но не делятся на $K^3$ и так далее. Так как всего гирь не меньше $K$ штук, то часть гирь обязательно попадет во вторую коробку. Пусть первой группой гирь, не поместившихся в первой коробке, будут гири, веса которых делятся на $K^r$, но не делятся на $K^{r+1}$. Во второй коробке окажутся те гири, веса которых делятся на $K^r$, а в первой — те, веса которых не делятся на $K^r$.

По условию задачи, гири можно разложить на $K$ равных по весу групп. Поскольку в первой коробке меньше $K$ гирь, в ней никак не могут быть представлены все $K$ групп, и значит, существует группа, все гири из которых оказались во второй коробке. Следовательно, суммарный вес этой (а значит, и каждой) группы делится на $K^r$. Так как всего у нас $K$ равных по весу групп, то суммарный вес гирь делится на $K^{r+1}$.

Предположим теперь, что мы убрали какую-нибудь гирю, и оставшиеся гири смогли разделить на $K$ равных по весу групп. Как и раньше, получим, что сумма весов оставшихся гирь делится на $K^{r+1}$.

Вес гири, которую мы убрали, равен разности суммарных весов всех гирь и оставшихся гирь; следовательно, вес этой гири делится на $K^{r+1}$ (заметим, что $r$ может оказаться равным нулю; это соответствует тому, что все гири попадают во вторую коробку, а первая остается пустой). Значит, если бы мы убрали гирю, вес которой не делится на $K^{r+1}$, то оставшиеся гири нельзя было бы разложить на $K$ равных по весу групп. Но в силу выбора числа $r$ гирь, веса которых не делятся на $K^{r+1}$, не меньше $K$, так как иначе они все были бы помещены в первую коробку. Тем самым все доказано.

С. В. Конягин.

◆

Заметим сразу, что число звеньев $n$ должно быть достаточно большим, во всяком случае, $n > 8$. Докажем вначале (учитывая уже сделанное замечание), что любая несамопересекающаяся замкнутая ломаная с н е ч е т н ы м числом звеньев, не превышающим 13, обладает тем свойством, что всегда найдется прямая, содержащая ровно одно звено этой ломаной. Предположим противное, то есть что для такой

54

ломаной ($n = 2k + 1, n \leqslant 13$) не существует прямой, содержащейровно одно звено. Тогда на одной из прямых должны лежать по крайней мере три звена нашей ломаной. У этих трех звенев шесть концов, и из каждой конца выходит звено ломаной, то есть всего шесть новых звенев, причем никакие два из этих звенев не лежат на одной прямой. Поэтому каждая прямая, содержащая одно из этих шести звенев ломаной, должна в силу сделанного предположения содержать по крайней мере еще одно звено, отличное от уже рассмотренныхRANES ($3 + 6$ звенев); значит, рассматриваемая ломаная должна иметь еще по крайней мере шесть звенев. Получаем, что число звенев у такой ломаной должно быть не менее, чем $3 + 6 + 6 = 15$ — противоречие.

Покажем теперь, что для любого четного $n \geqslant 10$ и нечетного $n \geqslant 15$ ломаная, о котором говорится в задаче, существует $n \geqslant 10$ это хорошо всем известные $\frac{n}{2}$ конечные звезды (рисунок 3; на этом рисунке $n = 10$ и $n = 12$). Несамопересекающийся замкнутую ломаную с нечетным числом звенев, большем 13, обладающий указаным свойством, построить сложнее. Ломаная из 15-ти звенев изобравена на рисунке 4. Отрезая от нее последовательно прямой по два угла, получим ломаную с 17-ю звеньями, 19-ю, и так далее (рис. 5).

С. Ландо

Ф296. Каждый из $k$ различных конденсаторов с экстремами $C_1, C_2, \dots, C_k$ заряжен до разности помечалов $U$. Затем все конденсаторы соединены последовательно разномерными полосами в замкнутую цепь. Наименование на каждом конденсаторе в этой цепи.

До соединения конденсаторов в цепь их заряды были $q_1 = C_1U, q_2 = C_2U, \dots, q_i = C_iU, \dots, q_k = C_kU$. Обозначим заряды конденсаторов после соединения в цепь соответствующего через $q'_1, q'_2, \dots, q'_k$. Распределение зарядов на пластинках конденсаторов будет таким, как показано на рисунке 6. Из закона сохранения заряда следует, что сумма зарядов соединенных друг с другом пластинкой конденсаторов (один из таких участков цепи выделен на рисунке 6 пунктирной линии) должна быть равна суммарному заряду, которое был на этих пластинках до соединения конденсаторов. То есть (с учетом знаков зарядов)

$$q'_2 - q'_1 = q_2 - q_1 = (C_2 - C_1)U,$$

$$q'_3 - q'_2 = q_3 - q_2 = (C_3 - C_2)U,$$

$$q'_k - q'_{k-1} = q_k - q_{k-1} = (C_k - C_{k-1})U.$$

Кроме того, работа по пересечению заряда вдоль замкнутого контрара в электростанческом поле равна нулю, поэтому равна нулю сумма направления на отдельных конденсатрах: $U_1 + U_2 + \dots + U_k = 0$, или

$$\frac{q'_1}{C_1} + \frac{q'_2}{C_2} + \dots + \frac{q_k}{C_k} = 0.$$

Из системы уравнения () и (**) определяем новые заряды конденсаторов, а потом и направления на них. Прежде всего, выразим все заряды через заряд $q'_1$ первого конденсатора. Из первого уравнения системы () следует, что $q'_2 = q'_1 + (C_2 - C_1)U$. Сложив первое и второе уравнения системы (*), получим $q'_3 = q'_1 + (C_3 - C_1)U$.

55

Аналогично, для заряда $i$-го конденсатора получим
$$q'_i = q'_1 + (C_i - C_1) U.$$
Подставим полученные выражения в уравнение (**):
$$\frac{q'_1}{C_1} + \left[ \frac{q'_1}{C_2} + \left( 1 - \frac{C_1}{C_2} \right) U \right] + \dots + \left[ \frac{q'_1}{C_k} + \left( 1 - \frac{C_1}{C_k} \right) U \right] = 0,$$
или
$$q'_1 \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_k} \right) + kU - C_1 U \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_k} \right) = 0.$$
Отсюда $q'_1 = (C_1 - kC_0) U$, где $C_0$ — емкость балансировального соединений конденсатора:
$$\frac{1}{C_0} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_k}.$$
Так как $q'_i = q'_1 + (C_i - C_1) U$, то
$$q'_i = (C_1 - kC_0) U + (C_i - C_1) U = (C_i - kC_0) U.$$
Это означает, что напряжение на $i$-м конденсаторе равно
$$U'_i = \frac{q'_i}{C_i} = \left( 1 - k \frac{C_0}{C_i} \right) U.$$

Ф297. Кончическая пробка перекрываем сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненной p. Радиусы отверстия R и r. Определить суммарную силу, действующую на пробку со стороны жидкости. Поле мягости не учитываем.

Рис. 6.

Рис. 7.

На каждый малый элемент боковой поверхности пробки с площадью $\Delta s_i$ действует сила давления жидкости $\Delta F_i = p \Delta s_i$, направленная перpendicularно к боковой поверхности пробки (рис. 7). Из симметрии ясно, что горизонтальные составляющие таких сил, действующих на различные малые элементы поверхности пробки, складываясь, взаимно уничтожат друг друга. Поэтому равнодействующая сил давления вертикальная и равна сумме вертикальных составляющих этих сил. То есть
$$F = \Sigma F_i \sin \alpha = \Sigma p \Delta s_i \sin \alpha = p \Sigma \Delta s_i \sin \alpha.$$
Произведение $\Delta s_i \sin \alpha$ — это проекция площади элемента на плоскость, параллельную стенкам сосуда. Следовательно, сумма $\Sigma \Delta s_i \sin \alpha$ равна площади проекции боковой поверхности пробки на эту плоскость, т. е. $\pi (R^2 - r^2)$. Поэтому
$$F = p \pi (R^2 - r^2).$$
Приведем еще одно решение этой задачи. Расмотрим аналогичный данному в задание плоскости, равный объему пробки между стенками сосуда (рис. 8). Так как выделенный объем жидкости находится в равновесии, то равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю. Какие же силы действуют на выделенный объем жидкости? Это силы реакции со стороны стенок сосуда, равные по абсцилтной величины $N_1 = p \pi R^2$ и $N_2 = p \pi r^2$, и равнодействующая $F$

56

Рис. 8.

Ф298. Внутри фотоаппарата перепределикулярно к фомопластинке расположено плоское зеркало, длина коморого DB равна половине фокусного расстояния объекта (рис. 9). Изображение А зверзды Вега находится от центра фомопластинки на расстоянии, вдвое меньшем радиуса объекта. Во сколько раз обеспечность «отраженной изобравжения» С зверзды Вега меньше освещности ее изобравжения А в присутствии зеркала?

Сил давления со стороны окружащей жидкости, направленная вертикально вверх. Так как $N_1 - N_2 = \pi p (R^2 - r^2)$.

Очевидно, что на пробку со стороны жидкости действует точно также же сила.

♦

Найдем отношение световых потоков, идущих от далекой звезды и попадающих на фотопластинку в точки A и C (рис. 9). В точке A сбираются те лучи, которые проходят через линзу объекта ниже точки G — точки пересечения прямой AD с линзой. Лучи, идущие выше точки G, попадают на зеркало и, отражаясь от него, сбираются в точке C.

Рассмотримечение линзы объекта плоскостью, перепределикулярной к падающей лучу лучей (рис. 10). Прямая EK делит линзу на два сегмента, через которых лучи попадают в точку A или в точку C. Так как линза равномерно освещена светом звезды, то относение световых потоков равно относению площей соответствующих сегментов. Найдем это относение.

Фотопластинка расположена в фокальной плоскости объекта, длина зеркала равна половине фокусного расстояния объекта, поэтому $DB = OD$ (см. рис. 9) и $\Delta GDO = \Delta ADB$. Следовательно, $GO = AB = R/2$, где $R$ — радиус объекта.

Рис. 10.

объекта. Тогда (см. рис. 10) $\angle GKO = 30^\circ$, $\angle KOG = 60^\circ$ и $\angle EOK = 120^\circ$. Выразим теперь площад сегментов $S_1$ и $S_2$ через площад соответствующих секторов и треугольника EOK:

$$S_1 = \frac{\pi R^2}{360} \cdot 120 - R^2 \frac{\sqrt{3}}{4} \quad \text{и} \quad S_2 = \frac{\pi R^2}{360} \cdot 240 + R^2 \frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Отношение $S_1/S_2$ равно

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R^2/3 - R^2}{\pi R^2/3 + R^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{8\pi + 3\sqrt{3}} \approx 0,25.$$

И. Ш. Словодечкий