72
Как вы думаете, сколько лет счетам?
100? 200? 300? Оказывается, намного больше! Прародитель счетов — он называется абак — был известен еще в Древней Греции. Правда, это были далеки не прививные нам счеты, а общковенная доска, посыпанная тонким слоем темного песка, на котором можно чертить пальцем или заостренной палочки. По преданию, Архимед был убит римским солдатом, когда он занимался расчетами на такой «песочной доске».
Более поздним видом счетов, известным уже в IV веке до н. э., была «счетная доска» (такими досками пользовались в эпоху Возрождения). Впрочем, есть основания предполагать, что такие доски были известны и раньше и что им пользовались в XVIII веке до н. э. в Вавилоне. Сохранили несколько изображений счетной доски, и одна греческая счетная доска была найдена на острове Саламин (рис. 1). Счетная доска — это прямогольник, расчерченый паралельными линяями, представляющими разряды числовой системы, как правило, десятичной. Линни чертили на пергаменте, вырезали на дереве, гравировали на граморе, а иногда даже вышивали на сукне. По этим линиям передвигали незакрепленные физики, и таким образом производили простые вычисления. Физики могла быть круглая галька или что-нибудь похожое, и от латинского слова calculus — галька — возникло слово
73
ших числа, записанных римскими цифрами. Вы сразу убедитесь, что это намного труднее, чем сложить числа в обычной записи. А умножение и деление становятся просто непосильными операциями! Именно поэтому более XV веков в Европе почти все вычисления делились на счетах. Таким образом, одновременно существовали два способа обозначения чисел — один, крайне громоздкий и неудобный, применяющийся при записи чисел, и второй, волне удобный и практичный, применяющийся при подсчетах. Этот второй способ, по сути дела, не отличается от привчного для нас современного способа записи. По-видимому, не счеты возникли после изобретения позиционной системы числения, а позиционная система возникла благодаря счетам.
Первым, кто ввел в Европе индо-арабскую систему обозначения чисел, был Леонардо из Пизы, известный под именем Фибоначчи. Он изложил ее в своей прекрасной книге «Liber Abaci» (1202 год). Распространение арабских цифр в Европе привело к появлению алгоритмов — вычислительной, которые полностью отказылись от римской системы обозначения чисел ради более совершенной индо-арабской системы. Извание алгоритма произходит от именя арабского математика IX века Аль-Хорезми и является предшественником современного слова алгоритм. Абакисты, которые придерживаютсь в письменных вычислениях римских цифр, а считали в основном на счетах, и алгоритмы часто составились между собой в скорости вычислений. На рисунке, взятом из изданной в 1504 году книги «Margarita philosophica» (см. вторую страницу обложки), вы видите такое состояние.
Оптовые торговцы вскоре обнаружили, что новые цифры чрезвычайно удобны для ведения счетов. Однако в некоторых европейских странах пользоваться имми было запрещено законом, так что применять арабские цифры можно было лишь подпользовать. Например, в 1299 году во Флоренцини появляется указ, запрещаюший употреблять арабские цифры, и даже в 1594 году в Антверпене купцам не разрешают писать арабские цифры в контрактах и векселях. С цифрами вставь борба даже в некоторых аrabских странах. Новая система записи чисел окончательно победила лишь в XVI—XVII веках, когда началось массовое произвольство бумаги, а вскоре аrabские цифры приобрели стандартное наертание благодария книгоопечатанию.
Но вернемся к счетам. Современные счеты — это, по существу, видимизмененная счетная доска, на которой фишки скольдают по проволоке или стержням. В настоящее время использовются три вида счетов: китайский суан пэн, японский соробан и русские счеты.
У китайского суан пэна (рис. 2) состоит скольят почти без трения по бамбуковым стержням. На каждом стержне помещается пять бусин (единиц) под разделителем и две (пятерки) — над разделителем. На рисунке 3 вы видите китайский неро-
74
算
Рис. 3.
глиф «суан» — «исчислять». Он изображает счеты, которые держат два нероглифа «рука» над нероглифом «бамбук».
Происхождение суан пэна неизвестно. Его точное описание восходит к XVI веку, но он, несомненно, появился на много столетей раныше.
Японский соробан (рис. 4) также восходит к XVI веку, когда он, по всей верятности, был заимствован из Китая. Косточки у него с заостренными краями: два конуса, соединенные в основаниях. На каждом стержне имеется лишь одна косточка (пятерка) над разделителем (эту область японцы называют небом), и только четыре косточки (единицы) внизу — на земле. Устройство первоначального имелю пять косточек внизу, как на китайском суан пэне, но пятую выбросили около 1920 года.
В Японии до сих пор проводят ежегодные составания в счете на соробане. Нередко проводились составания между японскими или китайскими вычислителями на счетах и американскими — на арифметре. Самое известное подобное составание составалось в 1946 году, когда рядом Томас Вуд помещался с Киоси
Мацзаки. Окзаалось, что Мацзаки выполнили все расчеты, кроме умножения отромных чисел, быстрее.
Русские счеты резко отличются от восточных. Возможно, они позаимствованы у арабов. До сих пор такие же счеты использовются коe-где в Индии и на Ближнем Востоке, где турики называют их кульба, а армяне — хореб. Стержни с четырьмя косточками, которые вы видите на рисунке 5, использовются для подсчета дробных частей рублей и копеек.
Лучшие всего счеты приспособлены для сложения и вычитания. Умножение и деление на счетах осуществляется с помощью многоократного повторения этих операций. Сложение и вычитание на счетах делается так же, как на бумаге при выполнении операций столбиком. Чтобы быстро计ать на счетах, движения пальцев должны быть совершенно автоматически: останавливаться и сообщать нельзя! Если хорошего изучить движения пальцев, нужные для сложения, то движения, нужные для вычитания, можно не разучивать. Дело в том, Пусть, например, нужно вычесть 9213 из 456 789:
Таким образом, мы свели вычитание к сложению и вычитанию некоторой степени десяти. (Разберитесь)
Рис. 4. Соробан. Отложено число 4620.
75
самостоятьно, как следует действовать в случае произвольных чисел.)
Этот метод называется методом вычитания путем добавления дополнительной. Он использует и в быстрое действующих ЭВМ. Здесь его применять особенно просто, поскольку машины работают в двойной системе численения. Применим этот метод и в числовой системе с любым основанием. Постайтесь понять, как он будет выглудеть в случае системы с основанием . (Разумеется, это задание относится только к тем, кто знает, что такое система с основанием . Если вы этого не знаете, советует вам прочитать статью «Системы численения», напечатанную в «Кванте» № 6 за 1970 год.) Кстати говоря, на счетах тоже можно произвольить операции с числами, записанных и не в десятичной системе. Например, при подсчетах с двойными числами нужно пользоваться самой левой косточкой в каждой ряду, с тройными — двумя
лёвыми косточками и так далее. При работе с десятичными числами можно обойти девять косточками, а все десять косточек нужно только для одинаковатричной системы чисел.
Отличное практическое упражнение в сложении на счетах связано с таким числовым фокусом. Вы пишете «волшебное» число 12 345 679 и просите кого-нибудь из присутствующих называть любую цифру. Допустим, называна цифра 7. Тогда вы предлагаете умножить волшебное число на 63. Оказывается — надо полагать, к всеобщему развлечению,— что произведение состоит из одних семерок (что определять множитель, нужно по-proсту умножить называное число на 9).
Вот как можно использовать это «волшебное» число для упражнения на счетах. Положите на счетах 12 345 679 и прибавьте к нему это же число восемь раз. Если вы не допустили ошибок при этих сложениях, то вы получите на счетах число, состоящее из одних единиц. Сложите «волшебное» число еще девять раз и получите число из двоек, еще девять раз — из трех. Наконец, после 80 сложений вы должны получить число из одних девяток. Это упражнение заменяет тем, что с его помощью легко проверить точность работы на каждом из девятки этапов.
Кроме 12 345 679 есть еще бесконечное множество «волшебных» чисел. Например, , где — однозначное число, состоит из одних . Наименьшее волшебное число для семи — 15 873; для 13 — 8 547, для 99 — 1 122 334 455 667 789. Найдите самое постоянное наименьшее «волшебное» число для 17. Постайтесь разобраться, для каких чисел можно указать «волшебное» число, а для каких — нельзя.