Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

64

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
(механико-математический факультет, физический факультет, факультет вычислительной математики и кибернетики)

Подробно об этих факультах МГУ мы расссказывали в «Кванте», 1973, № 4. Здесь мы помещаем варанты письменного экзамена по математике, предлагавшие поступившим на эти факультеты в 1974 году, и задачи, предлагавшие на устном экзамене по физике.

Mathematica

Механико-математический факультет
Вариант 1

1. Решить уравнение:
   $$\sqrt{1 + \sin x} + \cos x = 0.$$

2. Решить неравенство:
   $$\sqrt{1 - \log_5(x^2 - 2x + 2)} < \log_5(5x^2 - 10x + 10).$$

3. Вокруг треугольника ABC описана окружность. Медиана ADprodолжена до пересечения с этой окружностью в точке E. Известно, что AB + AD = DE, угол BAD = 60° и AE = 6. Найти площадь треугольника ABC.

4. В треугольной парамиде ABCD ребро DC = 9, ребро DB = AD, а ребро AC перпендикулярно к грани ABD. Сфера радиуса 2 касается грани ABC, ребра DC, а также грани DAB в точке пересечения ее медиан. Найти объем парамиды.

5. Найти все действительные значения α, для каждого из которых существует четые целых числа (x, y, u, v), удовлетворяющие равенствам:
   $$x^2 + y^2 = (111 - \alpha)(\alpha - 89),$$
   $$50(u^2 - v^2) = \alpha(15u + 5v - \alpha).$$
   Вариант 2

6. Решить уравнение:
   $$\sqrt{2\sin 2x} + 2\sin x = 0.$$

7. Решить неравенство:
   $$\sqrt{1 + \log_2(7x^2 + 14x + 8)} \leq 1 + \log_8(7x^2 + 14x + 8).$$

8. Вокруг треугольника ABC описана окружность. Через точку B проведена касательная к этой окружности до пересечения с продолжением стороны CA в точке D. Известно, что AB + AD = AC, отрезок CD = 3, угол BAC = 60°. Найти перimetр треугольника ABC.

9. В основании треугольной парамиды ABCD лежит треугольник ABC, в котором угол BAC = 60°, а угол ACB прямой. Грань BCD образует угол в 60° с гранью ABC. Ребро BD = 2. Сфера касается ребер AB, AC и грани BCD. Центр сферы — точка O — лежит на основании парамиды и отрезок OD перпендикулярен к плоскости основания парамиды ABCD. Найти длину ребра AC.

10. Найти все действительные значения α, для каждого из которых существует четые целых числа (x, y, u, v), удовлетворяющие равенствам:
    $$(x + y)(x + y + 20) = (140 - \alpha)(\alpha - 80),$$
    $$\alpha(8u^2 + 2v^2 - \alpha) = (4u^2 - v^2)^2.$$

Физический факультет

Вариант 1

1. Решить уравнение:
   $$\sqrt{3} - \tg x = \tg \left(\frac{4\pi}{3} - x\right).$$

2. Решить неравенство:
   $$x^2 - 2|x + 1| < 0.$$

3. Решить уравнение:
   $$2\sqrt{3}\log_16x - \sqrt{3}\log_2x - 6 = 0.$$

4. Два одинаковых правильных треугольника ABC и CDE со стороны 1 расположены.

65

ложены на плоскости так, что имеют только одну общую точку $C$, и угол $BCD$ меньше, чем $\frac{\pi}{3}$. Точка $K$ — середина $AC$, точка $L$ — середина $CE$, точка $M$ — середина отрезка прямой $BD$. Площадь треугольника $KLM$ равна $\frac{\sqrt{3}}{5}$. Найти длину отрезка $BD$.

5. Данные две треугольные прямые $SABC$ и $NKLM$, все ребра которых равны $a$. Эти прямые имеют общую высоту $SN$ ($S$ — центр грани $KLM$ и $N$ — центр грани $ABC$). Кроме того, $KL \parallel BC$ и прямые расположены так, что плоскость, проходящая через $KL$ и $BC$, пересекает отрезок $SN$. Найти объем общей части прямид $SABC$ и $NKLM$.

Вариант 2

1. Решить уравнение:
   $$\sin x + \cos x - 1 = \text{ctg} \frac{x}{2} (\cos x - 1).$$

2. Решить неравенство:
   $$(|x| - 1)^2 > 2.$$

3. Решить уравнение:
   $$\frac{3}{4} \log^3 \frac{x}{3} - 30 \sqrt{\log^3 x} + 36 = 0.$$

4. Из точки $K$, расположенной вне окружности с центром $O$, проведены к этой окружности две касательные, $MK$ и $NK$ ($M$ и $N$ — точки касания). На хорде $MN$ взята точка $C$ ($MC < CN$). Через точку $C$ перpendикулярно к отрезку $OC$ проведена прямая, пересекающая отрезок $NK$ в точке $B$. Известно, что радиус окружности равен $R$, $MKN = \alpha$, $MC = b$. Найти длину отрезка $CB$.

5. В основании треугольной прямоды $SABC$ лежит прямой угловый равновесный треугольник $ABC$. Точка $D$ — середина гипotenузы $AB$, $SD$ — высота прямоды, $SD = DC = a$. Через точку $S$ проведена плоскость, перpendикулярная к $SD$, и в этой плоскости построен прямой треугольник $SEF$ так, что точка $S$ — вершина прямого угла, $SE = SF = a\sqrt{2}$, а $EF \parallel AB$. Кроме того, треугольник $SEF$ расположен так, что плоскость, проходящая через $EF$ и $AB$, пересекает ребро $SC$. Найти объем общей части прямид $SABC$ и $SDEF$.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Вариант 1

1. Найти все решения уравнения $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$, удовлетворяющие условия $0 \leq x \leq 2\pi$.

2. Найти все действительные значения $a$, при которых каждое решение неравенства $\log \frac{1}{2} x^2 \geq \log \frac{1}{2} (x+2)$ является решением неравенства $49x^2 - 4a^4 \leq 0$.

3. Найти все значения $x$, удовлетворяющие одновременному условиям:
   $$\begin{cases} |x-2| + |x-3| = 1, \\ 813x - 974 \leq 163x^2. \end{cases}$$

4. Имеются три несообщающихся между собой резервуара, причем объем треугольного шлангом за 3 часа, вторым шлангом — за 4 часа, третьим шлангом — за 5 часов. Каждаому из резервуаров может быть подключен любой из этих трех шлангов. После того как произведено подключение к каждой из резервуаров по одному шлангу каким-либо способом, все шланги одновременно включаются. Как только какой-то резервуар наполнится, соответствующий шланг отключается и не может быть подключен в дальнейшем к другому резервуару. Заполнение считается оконечным, если наполнения все три резервуара. При самом быстроском способе подключения заполнение оконечится через 6 часов. Если бы резервуары сообщались, заполнение окончилось бы через 4 часа. Найти объем второго и третього резервуаров.

5. В треугольной прямиле $SABC$ суммы трех плоских углов при каждой вершине $B$ и $C$ равны $180^\circ$ и $SA = BC$. Найти объем прямиле, если площадь грани $SBC$ равна $100\text{ cm}^2$, а расстояние от центра описанного шара до плоскости основания $ABC$ равно 3\text{ cm}.

Вариант 2

1. Найти все решения уравнения $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$, удовлетворяющие условия $0 \leq x \leq 2\pi$.

2. Найти все действительные значения $a$, при которых каждое решение неравенства $\log \frac{1}{2} x^2 \geq \log \frac{1}{2} (x+2)$ является решением неравенства $49x^2 - 4a^4 \leq 0$.

3. Найти все значения $x$, удовлетворяющие одновременному условиям:
   $$\begin{cases} |x+5| = |x+2| + 3, \\ 1114 + 279x \leq 139x^2. \end{cases}$$

4. В порту для загрузки танкеров имеется три трубопровода. По первому из них закачивается в час 300 тонн нефти, по второму 400 тонн, по третьему — 500 тонн. Нужно загрузить два танкера. Если загрузку проводить первым двумя трубопроводами, подключив к одному из танкеров первый трубопровод, а к другому танкеру — второй трубопровод, то загрузка обиха танкеров при наиболее быстроном из двух возможных способов подключения займет 12 часов. При этом какой-то из танкеров, может быть, оказывается заполненным равше и тогда подключенный

66

к нему трубопровод отключается и в дальнейшей загрузке не используется. Если бы вместеимость меньше по объему танкера была вдвое больше, чем на самом деле, и загрузка произвольлась бы вторым и третьим трубопроводами, то при быстрейшем способе подключения загрузка заняла бы 14 часов. Определить, сколько тонн нефти вмешает каждый из танкеров.

5. В треугольной парамиде SABC суммы трех плоских углов при каждой вершине A, B и C равны 180°. Найти расстояние между скрещивающимся ребрами SA и BC если BC=4 cm, AC=5 cm, AB=6 cm.

Физика

Механико-mатематический факультет и факультет вычислительной математики и киберnetики

1. На концах легкого стержня длиной $l=20$ cm помещены два шарика, первый из свинца ($\rho_1=11,3\text{ e/cm}^3$), а второй из алюминия ($\rho_2=2,7\text{ e/cm}^3$). Стержень шаририно закреплен посередине и опущен в воду, где он находится в равновесии. На сколько нужно передвинуть по стержню второй шарики, чтобы равновесие восстановилось в воздухе?

2. Шарик массы $m=200$ е может скольить без трения по горизонтальном стержню, врашающему вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega=2\text{ c}^{-1}$. К шарику прикреплена пружина, другой конец которой закреплен на оси. Длина пружины в недеформированном состоянии $l=20$ cm. Определить абсолютоное удлинение пружины $\Delta l$. Жесткость пружины $k=4\text{ h/m}$.

3. Свиниовая пуля массы $m=10$ е, летящая горизонтальное со скоростью $v_0=400\text{ m/c}$, попадает в кусок свинца массы $M=1990\text{ e}$ и застревает в нем. Свиниц лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Найти, на сколько градусов $\Delta t$ нагреется свинц. Передачу телла окружающим телам не учитывать. Теплоемкость свинца $c=1,2\cdot 10^2\text{ дж/kг.эрад}$.

4. Цилиндрический сосуд высотой $l=40\text{ cm}$ разделен на две части неевесомым тонким поршнем, скользывающим без трения. Поршень находится в высоте $h=26,7\text{ cm}$ над дом цилиндра. Под поршнем находится водород, а над ним газ с неизвестной молекулярной массой $\mu$. Узнать $\mu$ газа, если его масса равна массе водорада.

5. Пять конденсаторов объединены в цель, показанную на рисунке 1. Емкость конденсаторов 1, 2, 3 одинаковы и равны: $C_1=C_2=C_3=2\text{ мкф}$. Емкость конденсаторов $C_4$ и $C_5$ равны 4 мкф. К точкам $A$ и $B$ приложен на пружение $u=100\text{ b}$. Определить загрязы $q_4$ и $q_5$ на четвертом и пятом конденсаторов.

6. Проводник длины $l=0,1\text{ m}$ может без трения скольить по двум проводацам параллельным рейкам, соединенным соротивлением $R=0,1\text{ om}$, в однородном магнитном рис. 1.

поле, индикция которой $B=0,05\text{ m}$ перpendикулярна к плоскости реек. Какую силу нужно приложить к проводнику, чтобы он двигаляра равномерно со скоростью $v=1\text{ m/c}$?

7. Размеры изображения предмета в волнутом зеркале в $m=2\text{ раза меньше}$, чем размеры самого предмета. Расстояние между предметом и изображением $d=15\text{ cm}$. Чему равен радиус кривизны зеркала?

Физический факультет

1. Космический корабль находится на расстоянии $h=20000\text{ km}$ от поверхности Земли и в системе координат, связанной с Землей, имеет скорость $v_1=6\text{ km/c}$, направленную по радиусу от центра Земли. Двигается не работают. Упадет ли корабль на Землю или улетит в космическое пространство? Влиянием Солнца, Луньи и планет пребрежь. Радиус Земли равен $R_0=6400\text{ km}$, $g_0=10\text{ m/c}^2$. Что произойдет, если при тех же условиях скорость корабля $v_2=5\text{ km/c}$ или $v_3=4\text{ km/c}$?

2. При одинаковых тела начинают скольить по абсолютою гладкой неподвижной шаровой поверхности радиуса $R$ из положения, когда треть находится на полoce шара. Тела соединены неевесомыми и нерастящими нитями одинаковой длины $l\ll R$.

a) Определить начальное ускорение $a$ этой системы тел.

6. Определить, при каком минимальном коэффициенте трея $k$ между телами и шаровой поверхности тела не сдинутся с места.

3. Цилиндрический стакан плавает в воде так, что его края находится у поверхности, когда он направинузаполлен водой. Вынув стакан и вылив из него воду, погружают его вверх дом на такую глубину $h$, где он находится в равновесии (неустойчивом) — не вспышает и не тонет. Определить глубину $h$, отсутствия ее от уровня воды в стакане. Атмосферное давление $p_0=10^5\text{ h/m}^2$. Толщиной дна и стенок стакана пребрежь. $g=10\text{ m/c}^2$.

67

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

4. На абсолотно гладкой поверхности неподвижно лежат две одинаковые шайбы 1 и 2 массой M каждый. Между ними на линиях, соединяющихся центры этих шайб, имеется шайба 3 массой M/4 (тек же размеров), которая движется со скоростью v в направлении второй шайбы (рис. 2). Считая столкововая шайба абсолотно упругими, определять по величины и направлению скорости всех трех шайбы после того, как столковенная прекратется.

5. Между двумя одинаковых неподвижных цилиндров, заполненных одинаковым газом, вставлен пружина (рис. 3). В исходном состоянии расстояние между поршнями и дом цилиндров равно l₀, начальная температура T₁. Затем газ в обих цилиндрах был нагрет до температуры T₂, при этом давление в них возросло в n раз.

Найти, насколько изменилась длина пружины.

6. В сосуд объемом V = 10 л, наполненный воздухаом при давлении p₀ = 1 am и температуре t₀ = 0 °C, накачивают дополнительное массу m = 4 г азота при температуре 0 °C. Сосуд закрывают и нагревают до температуры t₁ = 100 °C. Определить давление pₓ смеси газов в сосуд при этой температуре. Для азота μ = 28.

7. Имеются два точных заряда: отрицательный — q с массой m и положительный + Q с массой M. На каком расстоянии d друг от друга должны быть расположены заряды, чтобы во внешнем однородном электрическом поле с напряженной E они ускорялись как одно целое (т. е. не изменяя взаимного расположения)?

8. Электрическая цель состоит из батарей с э. д. с. E₁ и E₂, сопротивлений R₁, R₂ и R₃ и неизвестной батареи Eₓ, включенных, как показано на рисунке 4. К участку AB подключен волтметр V с большим внутренним сопротивлением. Определить, при каком значении э. д. с. Eₓ неизвестной батареи показания волтметра не изменяются при замыкании ключа K. Внутренним сопротивлением батарей пренебречь.

9. Узкая светящаяся щель S расположена параллельно ребру малого (несколько минут) двумя нимми на линиях, соединяющихся центры этих шайб, имеется шайба 3 массой M/4 (тек же размеров), которая движется со скоростью v в направлении второй шайбы (рис. 2). Считая столкововая шайба абсолотно упругими, определить по величины и направлению скорости всех трех шайбы после того, как столковенная прекратится.

10. Человек смотрит в волнутое сферическое зеркало и видит прямое изобразение своего глаза. Угловой размер этого изобразения в N = 1,8 раза больше, чем угловой размер изобразения, которое получилось в плоском зеркале, помещенном на таком же расстоянии a = 24 см. Определить радиус кривизны R волнутое зеркала.

11. В воздухе длина волны монохроматического света λ₀ = 6000 Å. При перехождение в стекло длина волны меняется и становится равной λ₁ = 4200 Å. Под каким углом φ свет падает на плоскую границу раздела воздуха — стекло, если отраженный и преломленный лучи образуют прямой угол?

Ж. М. Михайлов,
В. Н. Слуудский,
А. В. Устинова