Касательные к рулеттам

22

Сначала расскажем о приеме, разработанном Торриелли и (1608—1647) и Робервалем (1602—1675); этот прием основывает на сложении скоростей.

Рассмотрим движение материальной точки. Если в момент времени $t_0$ прекратить действие сил, то точка остановится или начнет равномерно движаться по касательной к траектории (скорость возникшего равномерноного движения называется меновенной векторной скоростью исходного движения при $t = t_0$). Это утверждение вытекает из законов Ньютона. Но можно, как это часто делали математики в XVII века, принять его за cinematическое определение касательной, убедившись, что оно согласуется с наблюдениями над простейшими движениями (прежде всего врашательным). Встав на такую точку зрения, мы сможем строить касательные ко многим интересным кривым, используя при этом лишь простые факты о скорости.

Будем рассматривать только плоское движение. Зафиксируем на плоскости точку $O$ — начало отсчета. Если движущаяся точка в момент времени $t$ занимает положение $A_t$, то через $r(t)$ обозначим вектор $\vec{O A_t}$. Задание векторов $r(t)$ для всех значений $t$ полностью определяет движение. Мгновенную векторную скорость в момент времени $t$ обозначим через $r(t)$; напомним, что вектор $r(t)$ направлен по касательной к траектории движения. Его длина $|r(t)|$ называется велииной скорости. Если движение проискит по фиксированной прямой, на которой ведены координаты, то векторы $r(t)$

23

и $\dot{\mathbf{r}}(t)$ направлены по этой прямой, и их можно характеризовать координатами $s(t)$ и $\dot{s}(t)$.

П р и м е р 1. Галилей показал, что для прямолинейного движения $s(t)=\dfrac{gt^2}{2}$, скорость будет равна $\dot{s}(t)=gt$.

П р и м е р 2. Пусть точка, находящаяся на расстоянии $R$ от точки $O$, равномерно вращается вокруг $O$. Тогда вектор $\dot{\mathbf{r}}(t)$ направлен по касательной к окружности, по которой движется точка, в сторону, соответствующую направлению вращения, и $|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\dfrac{2\pi R}{T}$, где

$T$ — период вращения (время полного оборота). В частности, при $T=2\pi$ имеем

$$|\dot{\mathbf{r}}(t)|=|\mathbf{r}(t)|=R.$$

Закон сложения скоростей

Пусть имеется два движения $\mathbf{r}_1(t)$ и $\mathbf{r}_2(t)$. Назовем их суммой движение, для которого $\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_1(t)+\mathbf{r}_2(t)$, где справа стоит векторная сумма. Закон сложения скоростей утверждает, что скорость движения $\mathbf{r}(t)$ равна $\dot{\mathbf{r}}_1(t)+\dot{\mathbf{r}}_2(t)$, то есть сумме (векторной) скоростей составляющих движений. Закон сложения скоростей легко установить для суммы движений с постоянными скоростями; общий же случай получается из этого частного случая предельным переходом.

Всякое движение $\mathbf{r}(t)$ может быть представлено в виде суммы двух прямолинейных движений. Для этого достаточно ввести любую декартову систему координат так, чтобы $O=(0,0)$ и рассмотреть изменение со временем координат $x(t)$, $y(t)$ вектора $\mathbf{r}(t)$. Очевидно, что исходное движение $\mathbf{r}(t)$ и будет суммой движений $x(t)$ и $y(t)$ по координатным осям. Скорости этих движений $\dot{x}(t)$ и $\dot{y}(t)$ являются компонентами вектора $\dot{\mathbf{r}}(t)$ (в силу закона сложения скоростей).

Рассмотрим пример 2 при $R=1$, $T=2\pi$, и пусть вектор $\mathbf{r}(0)$ направлен по положительному направлению оси $x$. Тогда $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$, $\dot{\mathbf{r}}(t)=(-\sin t,\cos t)$, и мы получаем, что $\dot{s}(t)=-\sin t$, если $s(t)=\cos t$, и $\dot{s}(t)=\cos t$, если $s(t)=\sin t$. Читатель, знакомый с дифференцированием, безусловно, заметит, что выявился очень простой кинематический смысл формул для производных $\sin t$ и $\cos t$.

Кинематическое определение касательной к параболе

Галилей (1564—1642) обнаружил, что если тело бросить под углом к горизонту, то оно летит по параболе. При доказательстве этого факта Галилей исходил из предположения, что такое движение является суммой равномерного движения по инерции и свободного падения. Однако Галилей не воспользовался своими вычислениями для построения касательной к параболе. Сделал это Торричелли. В приводимых ниже задачах 1, 2 сформулирован его результат.

З а д а ч а 1. Докажите, что касательная, проведенная в точке $A_t$ траектории горизонтально брошенного тела: $A_t=(x(t),y(t))=(vt,-gt^2/2)$, соединяет эту точку с точкой $(0,-y(t))=(0,gt^2/2)$.

Все вычисления легко обобщаются на случай тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью $(u,v)$. В этом случае движение разбивается на движение $\{x_1(t)=ut,\;y_1(t)=vt\}$ с постоянной скоростью $(u,v)$ и свободное падение $\{x_2(t)=0,\;y_2(t)=-gt^2/2\}$. Поэтому результирующее движение записывается так: $\{x(t)=ut,\,y(t)=vt-gt^2/2\}$ (при сложении векторов с началом в $O$ координаты их концов складываются).

З а д а ч а 2. Докажите, что касательная к параболе, по которой летит тело, брошенное со скоростью $(u,v)$, соединяет точку касания $(x(t),y(t))$ с точкой $(0,-y_2(t))=(0,gt^2/2)$.

Заметим, что указанный Торричелли способ построения касательных к параболе был известен и раньше; однако его кинематическая интерпретация, безусловно, поучительна.

Касательная к циклоиде

Циклоидой Галилей назвал кривую, которую описывает точка, лежащая на границе круга, катящегося по прямой (рис. 1); название означает — «происходящая от круга».

23

24

Рис. 1. Циклонда.

Во Франции циклонду незаависимо от Галлия открытый Мерсенн (1588—1648); здесь ее называли рулетмой или трохоидой. Крупнейшие учены и Италии, и Франции (Торричели, Виванни (1622—1703), Ферма (1601—1665), Декарт (1596—1650), Робервал) решили разнообразные задачи о циклонде. Вероятно, первый касательную к циклонде построил Виванни. Оdnako, поскольку циклонда определялась kinematически, естественно было найти такой способ построения касательной к ней, который исходил бы из kinematических сообщений. Это сделали Робервал и Торричели.

Пусть в начальной момент времени $(t=0)$ $O$ — центр производащего (катящегося) кругла, а наблюдаемая точка $A$ является точкой, в котором производающий круг касается направляющей прямой $l$. Очевидно, что движение точки $A$ является перiodическим; поэтому достаточно наблюдаать за ней лишь до тех пор, пока она вновь не попадет на прямуную $l$. Пусть, далее, в момент $t$ наблюдаемая точка занимает положение $A_t = K$ (рис. 3). Вектор $\dot{r}_1(t)$ направлен по касательной к границе производающего кругла, вектор $\dot{r}_2(t)$ — горизонтальное; длины их одинаковы. По правилам параллелограмма

$\cdot$ Имеем $c = \frac{2\pi R}{T}$, где $R$ — радиус производающего кругла, $T$ — время его полного оборота. В частности, если $T=2\pi$, то $c=R$.

25

Рис. 4.

(в данном случае это ромб) находим искомую скорость $\dot{r}(t)$, а значит, и касательную к циклоне.

Заддача 3. Докажите, что касательная к циклоне в точке $K$ соединяет эту точку с верхней точкой $D$ производащего круга при его соответствующем положении.

(Для решения задачи нужно доказать лишь простой геометрический факт: вектор $\dot{r}(t)$ направлен по прямой $KD$.)

Заметим, что величины скорости $|\dot{r}(t)|$ не постоянна: она максимальная, когда точка заняла наиболее положение (при этом векторы $\dot{r}_1(t)$ и $\dot{r}_2(t)$ лежат на одной прямой и совпадают по направлению), и равна нулю, когда точка попадает на прямую $l$ (в этом случае векторы $\dot{r}_1(t)$ и $\dot{r}_2(t)$ противоположны(рис. 4)).

Можно показать, что равенство нулю скорости в точках соприкосовения круга и прямой во все моменты времени эквивалентно приямому раннее определению качения без скольжения.

Итак, получаем, что там, где циклона имеет заострення, скорость наблюдаемой точки обращается в нуль. Оказывается, что, вообще, какова бы ни была траектория, в точках заострення скорость всегда равна нуль. Иногда говорят, что траектория не может «сломаться» на ненулевой скорости. Приямято считать, что в точках заострения у кривых нет касательных. Все сказанное здесь нужноется в серьеных уточнениях, но мы этого делать не будем.

Нормальное к кривой в точке $A$ называется прямая, проходящая через $A$ перpendикулярно к касательной в этой точке.

Рис. 5.

Из задания 3 следует, что нормаль к циклоне проходит через нижнюю точку производащего круга (точку $E$ на рисунке 3; угол $DKE$ — прямой, так как опирается на диаметр).

Укороченные циклоны

Пока мы следили только за одной (фиксированной) граничной точкой производащего круга; однако ясно, что и другие граничные точки будут движаться по таким же циклондам, только сдиинутым вдоль прямой $l$ (рис. 5). Проследим теперь за траекторями внутренних точек круга. Возникающие кривые называются укороченными циклондами (рис. 6); они характеризуются отношением $k = \frac{\rho}{R}$, где $R$ — радиус производащего круга, $\rho$ — расстояние от центра

Рис. 6. Укороченная циклона.

26

Круга до наблюдаемой точки. При $k=0$ получаем прямую, по которой движется центр круга, а при $k=1$ — циклонду.

Задача 4. Докажите, что нормаль к укороченной циклонде проходит через нижнюю точку производашего круга.

Заметим, что точка, движущаяся по укороченной циклонде, нигде не имеет нулевой скорости. В нижней точке скорость направлена горизонтально и ее величины равна $R-\rho$. Это означает, что к качею окружности радиуса $\rho$ добавляется скольжение со скоростью $R-\rho$ (поступательное движение).

Удлиенные циклонды

Вовлечем в качестве круга его внешние точки (можно представить себе, что на колесо, движущеся по рельсу, одет обод). Эти точки движутся по кривым, которые называются удлиенными циклондами (рис. 7). Все рассуждания, которые были приведены для укороченных циклонд, дословно переносятся на удлиенные. Здесь только $k=\frac{\rho}{R}>1$. Заметим лишь, что в нижней точке удлиенной циклонды скорость направлена в сторону, противоположную движению круга ($|\dot{r}_1|=\rho, |\dot{r}_2|=R, \rho>R$).

Обращали ли вы внимание на то, что нижние точки обода колеса вагона движутся назад?

Мгновенный центр вращения

Итак, мыовлекли в качестве круга по прямой все точки плоскости. Каждый точка движется по своей траектории, но все эти траектории согласены, так как движущаяся точки составляют твердое тело. Характеристикам свойством твердого тела с точки зрения kinematики являются то, что при движении расстояния между всеми его точками остаются неизменными. Мы ограничимся здесь рассмотренем лишь таких движений твердых пластин, которые можно производить, не выводя пластины из плоскости (запрещается, например, их переворочивать). Нас будет интересовать, какие ограничения на скорости точки пластины условие твердости (заметим, что вопрос о движении трехмерных твердых тел намного сложнее расматриваемой нами плоской задачи).

Вот некоторые закономерности движения твердых пластин.

Приципов ввлечения. Движение твердой пластины однозначно определяется движениями любых двух ее мочек. Движение двух различных мочек, при котором сохраняется расстояние между ними, можно, и приом edисственный образом, продолжить до движения всей плоскости как твердой пластины. Это утверждение носит чисто геометрический характер. Мы не будем приводить его доказательства, ограничиваясь

27

ничившись наглядным пояснениями. Во-первых, движение прямолинейного стержня полностью характеризуется движением двух его точек, а, во-вторых, если треугольник составлен из жестких стержней, то движение одного из них однозначно приводит в движение весь треугольник. В результате в движение двух точек, $A$, $B$, можно вовлечь прямую $AB$, а затем всякую точку $C$ вне $AB$.

Приницп иерции. Если намерду пластину не действуют никакие внешние силы (а лишь внутренние силы, обеспечивающиемердость), то она совершаем равномерное прямолинейное или равномерное врачамельное движение.

При рассмотренении произвольных движений пластин нам потребуется один фундаментальный принцип механики. Скорость не может измениться меновенно (для изменения скорости требуется ненулевое время). В частности, если в момент времени $t_0$ изменить силы, действовавшие на движущуюся точку, то скорость $r(t_0)$ не изменится, а значит, если $r(t_0) \neq 0$, не изменится и касательная к траектории в момент $t_0$ (хотя сама траектория начиная с этого момента может стать иной).

Пусть в момент времени $t_0$ на движущуюся треугольную пластину перестали действовать внешние силы. Тогда, с одной стороны, скорости точки в момент времени $t_0$ остаются прежними, а, с другой стороны, движение должно подчиняться формулированному прицилиу иерции. Поэтому при движении треугольной пластины в каждой момент времени $t$ может изменять лишь одна из двух возможностей:

a) скорости всех точек равны (как векторы);
b) существует единственная точка $O_t$, в котором скорость равна нулю; в произвольной же точке $A$ пластины скорость направлена перpendикулярно к вектору $O_tA$, а ее велича пропорциональна расстоянию от $A$ до $O_t$. (Коэффициент пропорциональности зависит только от момента времени $t$ и не зависит от $A$.)

Из того, что скорость не может измениться мгновенно, нетрудно вывести, что переход от ситuation $a$ к $b$ и наоборот возможен лишь в те моменты, когда пластина останавливается (скорости всех точек равны нулю). Поэтому в промежутках между остановками либо всуду имеет место ситuation $a$, либо всуду $b$. Можно показать, что в случае $a$ траектория любой точки $A$ получается из траектории некоторой точки $B$ параллельным переносом на вектор $BA$. Мы будем рассматривать случай $b$ (то есть считать, что в каждой момент времени имеет единственная точка $O_t$ с нулевой скоростью). Будем назвать $O_t$ меновенным центром врацшения в момент $t$. (В примере с качением круга по прямой мгновенным центром врацшения является точка соприкосновения круга с направляющей прямой).

Если известен мгновенный центр врацения $O_t$, то нормали к траекторям в момент времени $t$ (приемые $O_tA_t$), а следовательно, и касательные, строятся автоматически. Наоборот, если в момент $t$ известны скорости двух точек пластины, то взяв точку пересечения нормальной к этим скоростям, мы получим мгновенный центр врацения $O_t$.

Пусть теперь треугольная пластина движется по неподвижной плоскости. Расмотрим на этой плоскости кривую $L$, составленную из мгновенных центров врацения во все моменты времени; кривую $L$ называют неподвижным центромом; мы будем назвать ее «рельсом». С другой стороны, рассмотрим на плоскости кривую $C$, составленную из всех таких точек, которые оказываются мгновенными центрами врацения в какие-то моменты времени; $C$ называют подвижным центромом; мы будем назвать $C$ «колесом». Введенные «несеверзные» термины, вероятно, подсказали вам, что исход-

28

ное движение можно получить, если рассмотреть качение без скольжения и нашего кривого «колеса» по кривому «рельсу» и вовлечь в это качение остальные точки (рис. 8).

Будем при этом считать, что отсутствие скольжения означает равенство нулю мгновенных скоростей в точках соприкосновения «колеса» и направляющего «рельса» во все моменты времени (это согласуется с определением мгновенного центра врашения).

Отсюда можно вывести равенство длины дуги «колеса» и соответствующей дуги направляющего «рельса» (по которой эта дуга «колеса» прокатилась). При этом разрешается, чтобы при качении «колеса» пересекало «рельс».

Часто под рулетами понимают траектории, которые описывают точки плоскости при ее движении как твердой пластины с условиям (6) во все моменты времени, то есть при некотором качении. Ko всем рулетам мы научились проводить нормали и касательные. При этом оказалось, что не нужно даже уметь проводить касательные к «колесу» и «рельсу» (это было бы необходимо, если пользоваться сложением скоростей).

В наших механических рассмотренных мы вышили за пределы XVII века; заменалено, однako, что способ проведения нормальной к общим рулетам открыл Декарт, определяющий их при помощи качения (не зная, конечно, сколь общий характер носит движения, порождаемые качениями).

Эпициклопды

Рассмотрим теперь рулеты, получшиеся при качении круга по кругу. Пусть круг радиуса $r$ катится по внешней стороне окружности радиуса $R$. Траектории граничных точек катшегося круга («колеса») называются эпициклопами. Их вид зависит от $k = \frac{R}{r}$ (рис. 9). Если $k$ — целое, то подвижный круг, прокатившись один раз по границе неподвижного, сделает $k$ оборотов и эпициклопа будет иметь $k$ острнев и $k$ арок. Эпициклопу при $k = 1$ называют кардиоидой (она напоминает стилизованное изображение сердца). Если $k = \frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то подвижный круг, сделав $q$ оборотов, $p$ раз прокатится по неподвижному. Если же $k$ будет ирациональным числом, то никакой периодичности не будет, и наблюдаемая точка никакогда не вернется в исходное положение.

Можно доказать, что получающаяся в этом случае бесконечная траектория заполняется кольцо ($R \leqslant OA \leqslant R + r$), подходя скольгодно близко к любой его точке, но не в каждую попадания.

Касательные к эпициклопам легко строятся с помощью мгновенного центра врашения — точки соприкосновения круга. Докажите, что касательная к эпициклопе (в некоторых точке) прокодит через точку соответствующего подвижного круга, диаметрально противоположную точке соприкосновения с неподвижным.

Замечание. При построении эпициклопа и решения задач нужно помнить следующие. Если $A$ — начальное положение наблюдаемой точки (рис. 10), а в некоторых момент времени подвижный круг касается неподвижного в точке $B$, то эпициклопе принадлежит такая точка его границ $C$, что дуга $BA$ равна по длине дуг $BC$; учитывая разницу радиусов, получаем

$$\frac{BC}{BA} = \frac{R}{r} = k.$$

Траектории движения внутрихих (соответственно внешних) точек подвижного круга при рассматриваемом качении называются укоренными (соответственно удиñеными) эпициклопами (рис. 11; мы ограничиваем целыми $k$).

29

Рис. 9. Эпициклоиды.

30

Гипоциклопды

Рулетты, получающие при качении круга радиуса $r$ по внутренней стороне окружности радиуса $R > r$, называются гипоциклопдами (соответственно удилиенные и укороченные).

Если $r > R$, то можно в качестве аналого такого движения рассмотреть качение обруча радиуса $r$, внутренней стороны касающейся границы неподвижного круга радиуса $R$. Соответствующие рулетты называются перициклопдами. Но оказывается, что они совпадают с эпициклопдами (см. «Квант», 1975, № 1, задача M261).

Вид гипоциклопдзависит от арифметической природу $k = \frac{R}{r}$, и читатель легко разберется с этим самостояльно по аналоги с эпициклопдами.

Задача 5’. Пусть вращения, описанные в задаче 5, произходят в противоположных направлениях (одно—п о, а другое—п роти в часовой стрелки). По каким траекториям будет при этом движаться точка $A$?

Подчерком в заключение, что мы не ставили перед собой целый строго доказать все результаты, полученные нами из kinematических сообщений. В некоторых случаях это сделать просто: механические рассуждания заменяются математически. Почти автоматически (для этого оказывается достаточно скорости заменить производными). В других случаях «заменители» найти сложнее (например, там, где рассматривается движение пластин, или изменяются силы). Однако чисто математические рассмотрения не могут полностью заменить механическую интерпретацию, во многих случаях дающий возможность увидеть простой и красный ответ.

Рис. 11. Укороченные и удилиенные эпициклопды.

Задача 5. Пусть точка $A$ равномерно вращается вокруг точки $O_1$, в свою очередь равномерно вращается вокруг точки $O; |OO_1| = r_2, |O_1A| = r_1$. Пусть оба вращения произходят по часовой стрелке; $v_1$ и $v_2$ — величины линейных скоростей. Покажите, что движение точки $A$ будет произходить по какой-то эпициклопде (быть может, укороченной или удилиенной). Какими соотношениями определяется характер кривой?