Опыты со струёй воды

41

Опыты со струей воды
M. П. Головей

Наука, изучающая законы равновесия и движения жидкости и способы применения этих законов к решению различных практических задач, называется зидравликой. Трудно называть область техники, где бы не применялись законы гидравлики. Они используются при строительстве гидроэлектростанций, местов, водопроводов, каналов; они нужны для конструкрования поливальных машин и джедевальных установок.

С различными гидравлическими устройствами мы встречаемся и дома: это водопровод, канализация, теплоснабжение. Истечение воды из крана, шланга, ответствия в сосуде — во всех этих, на первый взгляд, простых явлениях определять закономерности на так просто.

За примерами не надо далеко ходить. Как вы думаете, какую форму имеет поперечное сечение струи воды, вытекающий из ответствия в форме квадрата? А из ответствия в форме треугольника? круга? Не торопитесь с ответом. Попробуйте посмотреть на опите, как вытекает вода из ответсти с различными сечениями, и вы получите совершенно неожиданный результат.

Оказывается, поперечное сечение струи, вытекающий через квадратное ответствие, имеет вид креста с четырьмя тонкими ребрами (рис. 1, а). Если ответствие треугольное, сечение струи прибретает форму креста с темя тонкими ребрами (рис. 1, б), если круглое — форму элиппса (рис. 1, в).

Форма сечения струи по мере удаления от стены соуса непрерывно меняется. На рисунке 1 показаны формы сечений струи на разных расстояниях от сосуда. Особенно заметные изменения проискодят при квадратном и треугольном ответствиях. Так, поперечное сечение струи, выходящей из квадратного ответствия, сначала имеет форму восмигулбника, а затем становится крестообразным. Это явление называется инверсией струи.

Все вы, наверное, видели, как вытекает струи воды из поливального шланга. В конце шланга обычно делают наконецник из куска трубы, слегка сплющенной с одной стороны. В этом случае струя летит дальше. Есть ли какая-нибудь закономерность в этом явлении? Оказывается, есть. Кончесне насадки с углом сложения $\beta \approx 13^\circ$ (рис. 2) дают в 1,3—1,4 раза больший рас-

Рис. 1.

42

ход *) воды, чем цилиндрические (при одинаковых площадях выходных секений). Это оптимальный угол для получения наиболее расхождения воды. Кончение схода исчезана дают сплошную струю с большими скоростями и поэтому широко применяются на практике в брандспойтах, соплах гидромониторов.

Обратимся теперь к истечению воды через отверстие в стенке сосуда.

Возьемем заполненый водой цилиндрический сосуд, в боковой стенке которого имеет малое отверстие площадью $s_1$ (рис. 3). Через это отверстие вода вытекает под давлением столба жидкости высоты $H$. Отверстие считается малым, если его размеры по крайней мере в десять раз меньше высоты столба $H$, создающего напор. При этом условия все точки малого отверстия находится приблизительно на одной и той же глубине от поверхности жидкости, и скорости течение во всех точках можно считать одинаковыми.

Отверстием в тонкой стенке называется отверстие, края которого имеет достаточно острую кромку, чтобы толщина стенки не влияла на форму и условия истечения струи. Это условия выполняется в том случае, когда толщина кромки меньше трех диаметров отверстия.

*) Расходом называют количество воды, вытекающей в единицу времени.

От чего зависит скорость, с которой вытекает вода через малое отверстие в тонкой стенке сосуда? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся законом сохранения энергии.

Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ из сосуда вытекает небольшое количество воды $\Delta m$. Потенциальная энергия воды в сосуда при этом уменьшилась на величины $\Delta mgH$ (время достаточно малое, чтобы считать уровень $H$ воды в сосуда не меняющимся). Это изменение потенциальной энергии равно кинетической энергии массы воды $\Delta m$, вытекающей из отверстия со скоростью $v$, то есть $\frac{\Delta mv^2}{2} = \Delta mgH$. Отсюда

$$v = \sqrt{2gH}.$$

Сколько времени будет вытекать вода из сосуда? Очевидно, это зависит от скорости истечения и от площади отверстия. Разберемся сначала со скоростью.

Как мы уже показали, $v = \sqrt{2gH}$. Но эту скорость можно считать постоянной лишь на протяжении малого промежутка времени (пока можно считать $H = const$). По мере истечения жидкости уровень попажается, и следовательно, скорость истечения уменшается от $v_0 = \sqrt{2gH}$ (в начальной момент времени $t = 0$) до $v_T = 0$ (тем вытекания). Каков характер изменения скорости со времени? Пусть в начальной момент времени $(t_1 = 0)$, когда открывают от-

43

верстные, высота уровня воды в сосудае над отверстением равна $H$. Начальная скорость истечения $v_1 = \sqrt{2gH}$. За малый промежуток времени $\Delta t$ из сосуда вытекает масса воды $\Delta m = \rho v_1 s \Delta t$ (ρ — плотность жидкости; $\Delta t$ столбало, что в течение этого времени скорость $v_1$ постоянна). За это время уровень воды в сосудае уменшится на величины $\Delta h = \frac{\Delta m}{S}$ (S — площадь дна сосуда). Поэтому в следующий момент времени ($t_2 = \Delta t$) скорость истечения меньше $v_1$ и равна $v_1 - \Delta v = \sqrt{2g(H - \Delta h)}$. Возведем последнее равенство в квадрат:

$$v_1^2 - 2v_1 \Delta v + (\Delta v)^2 = 2gH - 2g\Delta h.$$

Пренебрегая величины $(\Delta v)^2$ и учитывая, что $v_1^2 = 2gH$, получаем

$$v_1 \Delta v = g \rho v_1 \frac{s}{S} \Delta t, \quad \Delta v = g \rho \frac{s}{S} \Delta t.$$

Следовательно,

$$\frac{\Delta v}{\Delta t} = g \rho \frac{s}{S} = \text{const}$$

(разумеется, для заданных $s$, $S$ и $\rho$). А это означает, что скорость истечения линейно зависит от времени. Поэтому можно считать, что в течение всего времени $T$, пока вытекает жидкость, скорость истечения равна среднему значению (за промежуток времени $T$), то есть равна

$$v_{cp} = \frac{v_1 + 0}{2} = \sqrt{\frac{gH}{2}}.$$

Тепер посмотрим, как влияет на время вытекания воды плошадь отверстия. За единицу времени из сосуда должна вытекать масса жидкости $Q = \rho s v_{cp}$ (ρ — плотность жидкости). При этом мы считаем, что скорость в данной момент времени во всех точках отверстия направлена строго перpendикулярно к плоскости сечения отверстия. Однако, если вытекающей из круглого малого отверстия в тонкой стенке, то диаметр ее поперечного сечения меньше диаметра отверстия. Струя как бы скимается. Сжатие струи происходит из-за того, что жидкость подтекает к отверстию со всех сторон и ее частицы, движущие к отверстию вдоль стенок сечения, продолжают сбытаться с осью струпу. Только на некотором расстоянии от кромки отверстия, равном примерно радиусу отверстия, траектории частиц становятся почти параллельными. Сжатие струи продолжается и дальше, но уже несравненно медленнее, незаметно для глазза. Сечение, при котором заканчивается резкое видимое сжатие струпу, называется сжатым. Отношение площади сжатого сечения $s_2$ к площади сечения отверстия $s_1$ называется коэффициентом сжатия $\varepsilon$:

$$\varepsilon = \frac{s_2}{s_1}.$$

Поскольку расстояние между сечениями $s_1$ и $s_2$ мало (как мы уже говорили, оно равно примерно радиусу сечения $s_1$), то скорость воды во всех точках сечения $s_2$ praktически равна $\sqrt{2gh}$ (h — высота уровня воды в сосуда в данной момент времени) и перpendикулярна к плоскости сечения. Следовательно, расход воды

$$Q = s_2 v_{cp} = \varepsilon s_1 v_{cp} = \varepsilon s_1 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2gH}.$$

Тепер совсем просто подчитать время, в течение которого вытекает вода из сосуда. Объем вытекающей воды $V = SH$, следовательно,

$$T = \frac{V}{Q} = \frac{SH}{\frac{1}{2} \varepsilon s_1 \sqrt{2gH}} = \frac{S \sqrt{2gH}}{\varepsilon s_1 V g}.$$

Это соответствие можно проверить на опите. Для эксперимента возьмите сосуд с отверстием диаметром 2—3 мм. Можно воспользоваться металлической банкой с высокими стенками или цилиндрическим ведром. Отверстение должно находиться достаточно далеко от дна и от поверхности

44

воды. Заметьте по часам время истечения жидкости и сравните его с расчетами, проведенными с $Q = s_1 v_{cp}$, где $s_1$ — площадь секения отверстия. Очевидно, что отношение $T_{эксп.}: T_{расч.}$ равно $\varepsilon$. Вообще при истечении струи через малое отверстие в тонкой стенке $\varepsilon = 0,64 \div 0,60$. Укладывается ли ваш результат в эти пределы?

После того как мы разобрались в особенностях истечения струи воды из отверстия в стенке сосуда, обратимся к красивому и вместе с тем простому опыту, моделирующему основной элемент волоконной оптики — световод.

Объчно световод состоит из дескятков или сoten тысяч тончайших (диаметром несколько микрон) стеклянных волокон. Длина их может достигать нескольких метров. Волокна укладываются в плотный жгут, наполобие многожильного провода, и заключит в защитную оболочку. Световые лучи попадают внутри световода и распространяются по каждому волокну независяимо от одного конца до другого.

Работа световода основана на явлении полного внутреннего отражения, заключитшегося в том, что лучи света могут выходить из оптически более плотной среды в менее плотную только в том случае, если они падают на границу раздела сред под углами, менящими предельного угла полного внутреннего отражения. Для границ раздела стекло — воздух этот угол равен $42^\circ$, для границ раздела вода — воздух $49^\circ$. Все лучи, составляющие с границей раздела угол, больший предельного, отражаются обратно в более плотную среду. Это явление происходит и в волокнах световодов, где луч, войдя в один конец волокна, многократно отражаясь, доходит до другого его конца.

Рассмотрим еще один опит с струей воды. Для эксперимента необходим какой-нибудсусуд со светопроприцаемыми стенками диаметром 10—20 cm и высотой 20—40 cm. Лучше всего воспользоваться жестя-

Рис. 4.

ной банкой или цилиндрическим ведром. На расстоянии 30—40 мм отдана следует просверлить два отверстия, одно направив другого (рис. 4). Диаметр одного отверстия — 2 мм, диаметр другого — 5—10 мм. Получающие по краям отверстия засечены обязаательно зачисите наждачной бумагой или срежьте сверлом бóльшего диаметра, иначе вытекаюшая струя получится недорогой.

Большое отверстие заклейте прорачным материалом, например, полизтиленовой пленкой или целлюфаном. Достаточно хорошего и герметического можно заклеить отверстие даже резиновым kleem. Обыт лучшие всего проводить в затемненной комнате. Заклеенное отверстие нужно освещать направленным источником света. Им может служить общий карманный фонарь. Пока сосуд не заполнен водой, свет карманного фонаря проходит насвозь через оба отверстия. Если же заполнить сосуд водой, траектория луча света изогнется по форме вытекаюшей струи.

Дело в том, что, проходя через произное окно, свет сквозь второе отверстие в стенке попадает внутри струи, вытекаюшей из отверстия. На границу раздела вода — воздух лучи света попадают под углами, бóльшим угла полного внутреннего отражения. Поэтому свет не может выйти через боковую поверхность и следует вдоль струи, которая уподобляется изогнутому световоду.