Bài toán M321—M325; F333—F337

50

Bài toán

M321—M325; F333—337

M321. Tồn tại một bảng hình chữ nhật có diện tích 1. Chứng minh rằng với mọi ε>0, có thể chỉ ra một hệ khăn ăn hình chữ nhật phủ lên bàn này (các cạnh của khăn ăn song song với các cạnh của bàn), sao cho bất kỳ hệ thống con nào của nó bao gồm các khăn ăn không chồng lên nhau đều có diện tích nhỏ hơn ε.

A. V. Brailov

M322. a) Một hình gồm nhiều điểm là giao điểm của N đường tròn. Chứng minh rằng các biên của hình này có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2N - 2 cung tròn.

b) Có N chữ cái trong bảng chữ cái. Một số chữ cái được viết xung quanh một vòng tròn sao cho không có chữ cái nào xuất hiện hai lần liên tiếp và với hai chữ cái a, b khác nhau người ta có thể thực hiện được

một đường thẳng sao cho tất cả các chữ cái a sẽ là một từ đường thẳng và các chữ cái b sẽ nằm ở đường thẳng kia (Hình 1). Chứng minh rằng không quá 2N - 2 chữ cái được viết.

S. V. Fomin

M323*. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số nào được xác định trên toàn bộ trục số đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai hàm, đồ thị của mỗi hàm có tâm đối xứng.

V. A. Serdeev

M324. Có vài đống đá. Hai người chơi một trò chơi, diễn biến của trò chơi là

51

bao gồm việc người chơi chia mỗi đống nhiều hơn một viên đá thành hai đống nhỏ hơn. Các bước di chuyển được thực hiện từng viên một. Người chiến thắng là người thực hiện nước đi cuối cùng. Người mới bắt đầu nên chơi như thế nào nếu lúc đầu có từ 80 đến 120 viên đá trong mỗi cọc?

S. V. Fomin

M325. Trong một tam giác số, số trên cùng là 1 và các số ngoài cùng ở mỗi hàng cũng là 1, mỗi số còn lại không nhỏ hơn tổng của hai số ở trên nó (cụ thể là “tam giác Pascal” ở Hình 2 thỏa mãn điều kiện này). Cho số tự nhiên $a$ lớn hơn 1 xuất hiện trong tam giác này $k$ lần. Chứng minh rằng $2^k < a^2$.

F333. Một sợi dây có chiều dài $l$ được cố định dọc theo dây âm trên một đĩa không dẫn điện có bán kính $R$. Đĩa quay với vận tốc góc không đổi $\omega$. Một từ trường có cảm ứng $B$ hướng vuông góc với đĩa (Hình 3).

F334. Hạt trượt không ma sát dọc theo một sợi dây thẳng đứng có chiều dài $l$, được uốn thành một chiếc đàn có chiều dài $\frac{l}{2}$ (Hình 4). Hỏi thời gian hạt trượt lớn hơn thời gian hạt rơi từ độ cao $l$ bao nhiêu lần? Biên độ uốn của dây nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của nó. Kích thước của hạt nhỏ không đáng kể so với chiều dài “đầu gối” của đàn accordion.

B. N. Breizman

F335. Một bình hình trụ có bán kính $R$, trục của nó tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng, chứa đầy nước. Một pít-tông được xếp chồng tốt, vật liệu của nó có thể thấm không khí nhưng không thấm nước, được hạ xuống xi lanh. Với trọng lượng nhỏ nhất của piston thì mặt đáy của nó luôn chạm vào nước?

V. V. Mirnov

F336. Một chiếc cốc hình trụ có tay cầm quay quanh một trục thẳng đứng với vận tốc góc $\omega$. Trong trường hợp này, bề mặt của rutini tạo thành một gương parabol. Xác định tiêu cự của gương này. Mật độ Rutini $\rho$, gia tốc rơi tự do $g$.

F337. Khi quan sát bằng điện thoại, các ngôi sao có thể nhìn thấy ngay cả vào ban ngày. Giải thích tại sao.