Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

64

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova
(Khoa Cơ và Toán, Khoa Vật lý, Khoa Toán tính toán và Điều khiển học)

Chúng tôi đã nói chi tiết về các khoa này của Đại học Tổng hợp Moscow vào năm «Kvant», 1973, số 4. Ở đây chúng tôi đặt các lựa chọn cho bài kiểm tra viết môn toán, dành cho những người đăng ký vào các khoa này vào năm 1974, và bài toán, được đưa ra trong bài kiểm tra miệng môn vật lý.

Mathematica

Khoa Cơ học và Toán học
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình:
   $$\sqrt{1 + \sin x} + \cos x = 0.$$

2. Giải bất đẳng thức:
   $$\sqrt{1 - \log_5(x^2 - 2x + 2)} < \log_5(5x^2 - 10x + 10).$$

3. Một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường trung tuyến ADprod phải cắt đường tròn này tại điểm E. Biết AB + AD = DE, góc BAD = 60° và AE = 6. Tìm diện tích tam giác ABC.

4. Cho tam giác ABCD có cạnh DC = 9, cạnh DB = AD và cạnh AC vuông góc với mặt ABD. Một hình cầu bán kính 2 tiếp xúc với các mặt ABC, cạnh DC và mặt DAB tại giao điểm các đường trung tuyến của nó. Tìm thể tích của paramid.

5. Tìm tất cả các giá trị thực của α, với mỗi giá trị đó có các số nguyên chẵn (x, y, u, v) thỏa mãn các đẳng thức:
   $$x^2 + y^2 = (111 - \alpha)(\alpha - 89),$$
   $$50(u^2 - v^2) = \alpha(15u + 5v - \alpha).$$
   Tùy chọn 2

6. Giải phương trình:
   $$\sqrt{2\sin 2x} + 2\sin x = 0.$$

7. Giải bất đẳng thức:
   $$\sqrt{1 + \log_2(7x^2 + 14x + 8)} \leq 1 + \log_8(7x^2 + 14x + 8).$$

8. Một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tiếp tuyến của đường tròn này đi qua điểm B cho đến khi cắt đoạn tiếp tuyến CA tại điểm D. Biết AB + AD = AC, đoạn CD = 3, góc BAC = 60°. Tìm chu vi của tam giác ABC.

9. đáy của tam giác ABCD là tam giác ABC có góc BAC = 60° và góc ACB vuông. Mặt BCD tạo một góc 60° với mặt ABC. Cạnh BD = 2. Quả cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC và mặt BCD. Tâm của hình cầu - điểm O - nằm trên đáy paramid và đoạn OD vuông góc với mặt phẳng đáy của paramid ABCD. Tìm độ dài cạnh AC.

10. Tìm tất cả các giá trị thực của α, với mỗi giá trị đó có các số nguyên chẵn (x, y, u, v) thỏa mãn các đẳng thức:
    $$(x + y)(x + y + 20) = (140 - \alpha)(\alpha - 80),$$
    $$\alpha(8u^2 + 2v^2 - \alpha) = (4u^2 - v^2)^2.$$

Khoa Vật lý

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình:
   $$\sqrt{3} - \tg x = \tg \left(\frac{4\pi}{3} - x\right).$$

2. Giải bất đẳng thức:
   $$x^2 - 2|x + 1| < 0.$$

3. Giải phương trình:
   $$2\sqrt{3}\log_16x - \sqrt{3}\log_2x - 6 = 0.$$

4. Hai tam giác đều ABC và CDE giống nhau nằm trên cạnh 1.

65

nằm trên mặt phẳng sao cho chúng chỉ có một điểm chung $C$ và góc $BCD$ nhỏ hơn $\frac{\pi}{3}$. Điểm $K$ là trung điểm của $AC$, điểm $L$ là trung điểm của $CE$, điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$. Diện tích tam giác $KLM$ là $\frac{\sqrt{3}}{5}$. Tìm độ dài của đoạn $BD$.

5. Cho hai đường thẳng tam giác $SABC$ và $NKLM$, tất cả các cạnh của chúng đều bằng $a$. Những đường này có chiều cao chung là $SN$ ($S$ là tâm mặt $KLM$ và $N$ là tâm mặt $ABC$). Ngoài ra, $KL \parallel BC$ và các đường thẳng được sắp xếp sao cho mặt phẳng đi qua $KL$ và $BC$ cắt đoạn $SN$. Tìm thể tích phần chung của các đường thẳng $SABC$ và $NKLM$.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình:
   $$\sin x + \cos x - 1 = \text{ctg} \frac{x}{2} (\cos x - 1).$$

2. Giải bất đẳng thức:
   $$(|x| - 1)^2 > 2.$$

3. Giải phương trình:
   $$\frac{3}{4} \log^3 \frac{x}{3} - 30 \sqrt{\log^3 x} + 36 = 0.$$

4. Từ điểm $K$, nằm bên ngoài đường tròn có tâm $O$, hai đường tiếp tuyến được vẽ với đường tròn này, $MK$ và $NK$ ($M$ và $N$ là các điểm tiếp tuyến). Trên hợp âm $MN$, điểm $C$ ($MC < CN$) được lấy. Qua điểm $C$ vuông góc với đoạn $OC$ vẽ một đường thẳng cắt đoạn $NK$ tại điểm $B$. Được biết, bán kính của hình tròn là $R$, $MKN = \alpha$, $MC = b$. Tìm độ dài của đoạn $CB$.

5. Tại đáy của đường thẳng tam giác $SABC$ là tam giác vuông cân bằng góc $ABC$. Điểm $D$ là điểm giữa cạnh huyền $AB$, $SD$ là chiều cao của đường thẳng, $SD = DC = a$. Một mặt phẳng vuông góc với $SD$ được vẽ qua điểm $S$ và một tam giác vuông $SEF$ được dựng trên mặt phẳng này sao cho điểm $S$ là đỉnh của một góc vuông, $SE = SF = a\sqrt{2}$ và $EF \parallel AB$. Ngoài ra, tam giác $SEF$ được định vị sao cho mặt phẳng đi qua $EF$ và $AB$ cắt cạnh $SC$. Tìm thể tích phần chung của các đường thẳng $SABC$ và $SDEF$.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

Tùy chọn 1

1. Tìm tất cả lời giải phương trình $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq x \leq 2\pi$.

2. Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ mà mỗi lời giải của bất đẳng thức $\log \frac{1}{2} x^2 \geq \log \frac{1}{2} (x+2)$ là nghiệm của bất đẳng thức $49x^2 - 4a^4 \leq 0$.

3. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện đồng thời:
   $$\begin{cases} |x-2| + |x-3| = 1, \\ 813x - 974 \leq 163x^2. \end{cases}$$

4. Có ba bể chứa không thông nhau, thể tích của vòi hình tam giác là 3 giờ, vòi thứ hai là 4 giờ, vòi thứ ba là 5 giờ. Mỗi bể có thể được kết nối với bất kỳ ống nào trong số ba ống này. Sau khi một ống được kết nối với từng bể theo một cách nào đó, tất cả các ống sẽ được bật đồng thời. Ngay khi bình đầy, ống tương ứng sẽ bị tắt và không thể kết nối với bình khác trong tương lai. Việc đổ đầy được coi là cuối cùng nếu cả ba thùng đều được đổ đầy. Với phương thức kết nối nhanh nhất, việc đổ đầy sẽ kết thúc sau 6 giờ. Nếu các bể được nối với nhau thì việc đổ đầy sẽ kết thúc sau 4 giờ. Tìm thể tích thùng thứ hai và thùng thứ ba.

5. Trong đường thẳng tam giác $SABC$, tổng ba góc phẳng tại mỗi đỉnh $B$ và $C$ bằng $180^\circ$ và $SA = BC$. Tìm thể tích của đường thẳng nếu diện tích mặt $SBC$ bằng $100\text{ cm}^2$ và khoảng cách từ tâm hình cầu ngoại tiếp đến mặt phẳng đáy $ABC$ bằng 3\text{ cm}.

Tùy chọn 2

1. Tìm tất cả lời giải phương trình $\sqrt{\sin(1-x)} = \sqrt{\cos x}$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq x \leq 2\pi$.

2. Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ mà mỗi lời giải của bất đẳng thức $\log \frac{1}{2} x^2 \geq \log \frac{1}{2} (x+2)$ là nghiệm của bất đẳng thức $49x^2 - 4a^4 \leq 0$.

3. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện đồng thời:
   $$\begin{cases} |x+5| = |x+2| + 3, \\ 1114 + 279x \leq 139x^2. \end{cases}$$

4. Tại cảng có ba đường ống để bốc hàng tàu chở dầu. Chiếc đầu tiên bơm 300 tấn dầu mỗi giờ, chiếc thứ hai là 400 tấn và chiếc thứ ba là 500 tấn. Chúng ta cần chất hàng lên hai chiếc tàu chở dầu. Nếu việc nạp hàng được thực hiện bằng hai đường ống đầu tiên, nối đường ống thứ nhất với một trong các tàu chở dầu và đường ống thứ hai với tàu chở dầu kia, thì việc tải cả hai tàu chở dầu bằng phương pháp kết nối nhanh nhất có thể sẽ mất 12 giờ. Trong trường hợp này, một trong các tàu chở dầu có thể bị đầy và sau đó được kết nối

66

Đường ống tới nó bị ngắt kết nối và không được sử dụng để tải thêm. Nếu thể tích nhỏ hơn của tàu chở dầu lớn gấp đôi thực tế và việc chất hàng được thực hiện bằng đường ống thứ hai và thứ ba thì với phương thức kết nối nhanh nhất, việc chất hàng sẽ mất 14 giờ. Xác định mỗi tàu chở bao nhiêu tấn dầu.

5. Trong tam giác paramid SABC, tổng ba góc phẳng tại mỗi đỉnh A, B và C bằng 180°. Tìm khoảng cách giữa hai cạnh SA và BC biết BC=4 cm, AC=5 cm, AB=6 cm.

Vật lý

Khoa Cơ học và Toán học và Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Ở hai đầu của một thanh ánh sáng dài $l=20$ cm, người ta đặt hai quả bóng, quả thứ nhất bằng chì ($\rho_1=11,3\text{ e/cm}^3$) và quả thứ hai bằng nhôm ($\rho_2=2,7\text{ e/cm}^3$). Thanh Sharirino được cố định ở giữa và hạ xuống nước, nơi nó ở trạng thái cân bằng. Bạn cần di chuyển quả bóng thứ hai dọc theo thanh bao xa để lấy lại thăng bằng trong không khí?

2. Một quả cầu có khối lượng $m=200$ e có thể trượt không ma sát dọc theo một thanh nằm ngang quay quanh một trục thẳng đứng với vận tốc góc $\omega=2\text{ c}^{-1}$. Một lò xo được gắn vào quả bóng, đầu kia cố định vào trục. Chiều dài của lò xo ở trạng thái không biến dạng là $l=20$ cm. Xác định độ giãn dài tuyệt đối của lò xo $\Delta l$. Độ cứng của lò xo $k=4\text{ h/m}$.

3. Một viên đạn lợn có khối lượng $m=10$ e bay theo phương ngang với vận tốc $v_0=400\text{ m/c}$, trúng một mảnh chì có khối lượng $M=1990\text{ e}$ và bị kẹt trong đó. Con lợn nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Tìm xem miếng chì sẽ nóng lên bao nhiêu độ $\Delta t$. Việc chuyển cơ thể sang các cơ thể xung quanh không được tính đến. Nhiệt dung của chì là $c=1,2\cdot 10^2\text{ дж/kг.эрад}$.

4. Một bình hình trụ có chiều cao $l=40\text{ cm}$ được chia thành hai phần bởi một pít-tông mỏng không trọng lượng, trượt không ma sát. Pít-tông ở độ cao $h=26,7\text{ cm}$ so với nhà xi lanh. Dưới pít-tông có hydro, phía trên là khí có khối lượng phân tử chưa xác định $\mu$. Tìm khí $\mu$ nếu khối lượng của nó bằng khối lượng hydro.

5. Năm tụ điện được ghép thành một mục tiêu như hình 1. Điện dung của các tụ 1, 2, 3 bằng nhau và bằng nhau: $C_1=C_2=C_3=2\text{ мкф}$. Điện dung của tụ $C_4$ và $C_5$ là 4 µF. Mùa xuân $u=100\text{ b}$ được áp dụng cho các điểm $A$ và $B$. Xác định bụi bẩn $q_4$ và $q_5$ trên tụ thứ tư và thứ năm.

6. Một dây dẫn có chiều dài $l=0,1\text{ m}$ có thể trượt không ma sát dọc theo hai dây dẫn gồm các thanh song song nối với nhau bằng điện trở $R=0,1\text{ om}$, theo hình từ tính đồng nhất. 1.

trường, chỉ báo $B=0,05\text{ m}$ vuông góc với mặt phẳng của các thanh. Phải tác dụng lực nào vào dây dẫn để nó chuyển động đều với vận tốc $v=1\text{ m/c}$?

7. Kích thước ảnh của một vật trong gương gợn sóng là $m=2\text{ раза меньше}$ so với kích thước của vật đó. Khoảng cách giữa vật và ảnh $d=15\text{ cm}$. Bán kính cong của gương là bao nhiêu?

Khoa Vật lý

1. Tàu vũ trụ ở cách bề mặt Trái đất một khoảng $h=20000\text{ km}$ và trong hệ tọa độ liên kết với Trái đất có tốc độ $v_1=6\text{ km/c}$, hướng tâm từ tâm Trái đất. Di chuyển không hoạt động. Con tàu sẽ rơi xuống Trái đất hay bay ra ngoài vũ trụ? Bỏ qua ảnh hưởng của Mặt trời, Lunya và các hành tinh. Bán kính Trái đất là $R_0=6400\text{ km}$, $g_0=10\text{ m/c}^2$. Điều gì xảy ra nếu trong cùng điều kiện, tốc độ của tàu là $v_2=5\text{ km/c}$ hoặc $v_3=4\text{ km/c}$?

2. Khi giống hệt nhau, các vật bắt đầu trượt dọc theo bề mặt hình cầu bất động nhẵn tuyệt đối có bán kính $R$ từ vị trí có một phần ba nằm trên sọc của quả bóng. Các cơ thể được kết nối bằng các sợi không trọng lượng và không phát triển có cùng chiều dài $l\ll R$.

a) Xác định gia tốc ban đầu $a$ của hệ vật này.

6. Xác định hệ số ma sát nhỏ nhất $k$ giữa hai vật và mặt cầu thì vật sẽ không nhúc nhích.

3. Một tấm kính hình trụ nổi trong nước sao cho cạnh của nó nằm trên bề mặt khi nó được đổ đầy nước về bên phải. Sau khi lấy ly ra và đổ nước ra, họ nhúng nó lên trên đến độ sâu $h$, nơi nó ở trạng thái cân bằng (không ổn định) - nó không bùng lên và không chìm. Xác định độ sâu $h$, sự vắng mặt của nó so với mực nước trong ly. Áp suất khí quyển $p_0=10^5\text{ h/m}^2$. Bỏ qua độ dày của đáy và thành của tấm kính. $g=10\text{ m/c}^2$.

67

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Cơm. 4.

Cơm. 5.

4. Hai vòng đệm giống hệt nhau có khối lượng M 1 và 2 nằm bất động trên một bề mặt hoàn toàn nhẵn. Giữa chúng, trên các đường nối tâm của các vòng đệm này, có vòng đệm 3 có khối lượng M/4 (cùng kích thước), chuyển động với tốc độ v theo hướng của vòng đệm thứ hai (Hình 2). Giả sử rằng vòng đệm va chạm là đàn hồi tuyệt đối, hãy xác định vận tốc của cả ba vòng đệm theo độ lớn và hướng sau khi va chạm dừng lại.

5. Một lò xo được chèn vào giữa hai xi lanh cố định giống hệt nhau chứa cùng một loại khí (Hình 3). Ở trạng thái ban đầu, khoảng cách giữa các piston và vỏ xi lanh là l₀, nhiệt độ ban đầu là T₁. Sau đó khí ở cả hai xi lanh được nung nóng đến nhiệt độ T₂ và áp suất trong chúng tăng n lần.

Tìm độ dài của lò xo đã thay đổi bao nhiêu.

6. Một khối lượng bổ sung m = 4 g nitơ được bơm vào một bình có thể tích V = 10 l, chứa đầy không khí ở áp suất p₀ = 1 am và nhiệt độ t₀ = 0 °C, ở nhiệt độ 0 °C. Bình được đậy kín và đun nóng đến nhiệt độ t₁ = 100 °C. Xác định áp suất pₓ của hỗn hợp khí trong bình ở nhiệt độ này. Đối với nitơ μ = 28.

7. Có hai điện tích chính xác: âm - q với khối lượng m và dương + Q với khối lượng M. Các điện tích phải đặt cách nhau bao nhiêu d để trong một điện trường đều bên ngoài có cường độ E, chúng tăng tốc thành một đơn vị (tức là không thay đổi vị trí tương đối của chúng)?

8. Mục tiêu điện bao gồm pin có e. d.s. E₁ và E₂, các điện trở R₁, R₂ và R₃ và một pin Eₓ không xác định được nối như trong Hình 4. Một vôn kế V có điện trở trong lớn được nối vào đoạn AB. Xác định giá trị nào của e. d.s. Eₓ của pin không xác định, số chỉ vôn kế không thay đổi khi đóng phím K. Bỏ qua điện trở trong của pin.

9. Một khe phát sáng hẹp S nằm song song với mép của hai điểm nhỏ (vài phút) trên đường nối tâm của các vòng đệm này; có một vòng đệm 3 có khối lượng M/4 (cùng kích thước), chuyển động với tốc độ v theo hướng của vòng đệm thứ hai (Hình 2). Giả sử rằng vòng đệm va chạm là đàn hồi tuyệt đối, xác định bằng độ lớn và hướng vận tốc của cả ba vòng đệm sau khi va chạm dừng lại.

10. Một người nhìn vào một gương cầu lượn sóng và nhìn thấy ảnh trực tiếp của mắt mình. Góc của ảnh này lớn hơn N = 1,8 lần góc của ảnh thu được trong một gương phẳng đặt cùng khoảng cách a = 24 cm. Xác định bán kính cong R của gương lượn sóng.

11. Trong không khí, bước sóng của ánh sáng đơn sắc là λ₀ = 6000 Å. Khi truyền vào thủy tinh, bước sóng thay đổi và trở thành λ₁ = 4200 Å. Ánh sáng chiếu vào một mặt phân cách thủy tinh-không khí phẳng với góc bằng bao nhiêu nếu tia phản xạ và tia khúc xạ tạo thành một góc vuông?

Zh. M. Mikhailov,
V. N. Sluudsky,
A. V. Ustinova