Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky

55

giới thiệu
kỳ thi đại học

Trong số này, như thường lệ, chúng tôi đưa ra các phương án tuyển sinh môn toán và vật lý năm 1974 tại các trường đại học, cao đẳng sư phạm và đại học. Chúng tôi khuyên bạn trước tiên nên cố gắng tự mình giải quyết những bài toán này và nếu có điều gì bạn chưa rõ, hãy xem đáp số.

Ural
tình trạng
trường đại học
họ. A. M. Gorky

Vào «Kvant», 1973, số 7, chúng ta đã nói về Huân chương Cờ đỏ Ural của Đại học Bang Lao động được đặt theo tên. A. M. Gorky. Trong số này, chúng tôi cung cấp các mẫu lựa chọn cho kỳ thi viết môn toán và vé tham dự kỳ thi vấn đáp môn vật lý tại Khoa Toán, Cơ học và Vật lý năm 1974.

Toán học
Khoa Toán và Cơ học
Tùy chọn 1

1. Có giá trị nào của tham số $a$ mà có bất kỳ bất đẳng thức lời giải nào không
   $$\sqrt{x^2 + 4x + 3} \geq -1 - x$$
   là nghiệm của phương trình
   $$|x - a| - |x + 1| = 2$$
   và ngược lại, mọi phương trình lời giải đều là nghiệm của bất đẳng thức?

2. Các đường thẳng $l_1$ và $l_2$ cắt nhau tại đỉnh $B$ của tam giác $ABC$. Xây dựng một tam giác $ABC$ nếu ngoài các đường thẳng này, vị trí của đỉnh $A$ nằm trên mặt phẳng và biết rằng đường trung tuyến của tam giác nằm trên $l_1$ và đường cao nằm trên $l_2$.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{\log x^2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} x - x^2 \right)} \leq \log_x x^2.$$

4. Nó được cho rằng $\alpha = \beta + \gamma$. Chứng minh rằng $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = 2$.

Tùy chọn 2

1. Có giá trị nào của tham số $a$ mà mỗi bất đẳng thức lời giải không
   $$\sqrt{x^2 + 4x + 7} \leq x + 3$$
   là nghiệm của phương trình
   $$2^{x+2} - |2^{x+1} - a| = 2^{x+1} + 1$$
   và ngược lại, mỗi phương trình lời giải là nghiệm của bất đẳng thức?

2. Trên mặt phẳng có ba điểm, trong đó có hai điểm là trung điểm của các cạnh của tam giác và điểm thứ ba là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác đó. Các phần tử còn lại của hình tam giác đã bị xóa. Sử dụng compa và thước kẻ để dựng lại hình tam giác.

3. Giải bất đẳng thức
   $$|\log|x|(4 + 3x - x^2) - 1| \leq \frac{1}{2} \log \sqrt{x-1}(x-1).$$

4. Người ta cho rằng $\alpha, \beta, \gamma$ là các góc trong của một số tam giác và $tg\alpha, tg\beta, tg\gamma$ tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng
   $$2\cos \beta = \cos(\alpha - \gamma).$$

Khoa Vật lý
Tùy chọn 3

1. Giải bất đẳng thức
   $$ax^2 - 2ax - 3 < 0.$$

2. Ở đáy có chiều cao $H$, là một hình tam giác vuông có hai chân $a$ và $b$. Các thông số đỉnh của đáy và điểm giữa của các cạnh bên nằm trên cùng một mặt cầu. Chứng minh rằng góc nghiêng của các gân bên với đế bằng nhau. Tìm góc nghiêng của các thông số biên bên so với đáy.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_1 - x^2(x + 1)^4 \leq \log \sqrt{2x-1}|1 - 2x|.$$

56

Cơm. 1.

4. Giải phương trình
   $$2 \sin 2x - m^2 \sin x + \sin 3x = 0.$$
   Tùy chọn 4
5. Giải bất đẳng thức
   $$-\frac{x}{a} > \frac{1}{x^3}.$$
6. Ở đáy lớn hơn của primamide bị cắt cụt là một hình chữ nhật có đường chéo bằng $d$; diện tích nhỏ hơn đáy của primam là $S$. Được biết, có thể mô tả một hình cầu xung quanh nguyên mẫu này. Chứng minh rằng tất cả các cạnh bên của số nguyên tố đều bằng nhau. Tìm thể tích của primamide nếu chiều dài của cạnh bên là $l$ và góc nghiêng của cạnh này với mặt phẳng của đế là $\alpha$.
7. Giải bất đẳng thức
   $$\log \left| x - \frac{1}{2} \right| (2x + 3 - x^2) \leq \log | 1 - 2x | (2x - 1).$$
8. Giải phương trình
   $$4 \sin 2x + m \cos x = \cos 3x.$$

Vật lý
Khoa Toán và Cơ học
Vé 1

1. Những điều khoản cơ bản của lý thuyết động học phân tử, chứng minh thực nghiệm của nó. Chuyển động Brown.
2. Nhận dòng điện xoay chiều. Máy phát điện. Giá trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện.

Cơm. 2

Cơm. 3:

3. Xác định công thực hiện khi di chuyển một điện tích chính xác $e$ từ điểm $A$ đến điểm $B$ trong trường được tạo bởi hai điện tích chính xác khác nhau $+q_1$ và $-q_2$, khoảng cách giữa chúng là $R$. Khoảng cách của điểm $A$ với điện tích thứ nhất là $r_1$ và khoảng cách của điểm $B$ với điện tích thứ hai là $r_2$ (Hình 1).

Vé 2

1. Chuyển động đều trong một vòng tròn. Vận tốc tuyến tính và góc. Sự kết nối giữa họ. Đơn vị vận tốc góc. Gia tốc hướng tâm.
2. Điện phân. Định luật Faraday cho điện phân.
3. Có một tải trọng đặt lên một cái nêm gỗ có góc $30^\circ$ (Hình 2). Hệ số ma sát giữa gỗ và tải trọng $k=0,8$. Cần truyền gia tốc $a$ nào trong mặt phẳng ngang cho nêm để có thể loại bỏ tải trọng khỏi nó?

Vé 3

1. Định luật vạn vật hấp dẫn. Hằng số hấp dẫn. Sức mạnh của trọng lực.
2. Điện trở dây dẫn. Điện trở suất. Sự phụ thuộc của điện trở suất vào nhiệt độ. Biến trở.
3. Có một bong bóng khí hình cầu trong nước ở độ sâu $1$ m. Ở độ sâu nào bong bóng này có một nửa bán kính? Áp suất khí quyển ở mức bình thường ($760$ mm $pm$). cm.).

Khoa Vật lý
Vé 4

1. Chuyển động thay đổi. Tốc độ trung bình và tức thời. Tăng tốc. Đồ thị vận tốc của chuyển động xen kẽ đều với vận tốc ban đầu.
2. Tương tác từ của dòng điện. Từ trường. Lực tác dụng lên dây dẫn mang dòng điện trong từ trường.
3. Trên một thanh không trọng lượng có hai quả bóng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ (Hình 3). $OA=AB=l$, góc lệch ban đầu của thanh so với phương thẳng đứng là $\alpha_0$, góc ban đầu