Bài toán M331—M335; F343—F347

40

Bài toán

M331—M335; F343—F347

M331. a) Tam giác $A_1B_1C_1$ được lấy từ tam giác $ABC$ bằng cách quay quanh tâm của đường tròn ngoại tiếp một góc nào đó nhỏ hơn 180°. Chứng minh rằng giao điểm của các đường thẳng tương ứng: $(AB)$ và $(A_1B_1)$, $(BC)$ và $(B_1C_1)$, $(CA)$ và $(C_1A_1)$ là các đỉnh của tam giác đồng dạng với tam giác $ABC$.

6. Tứ giác $A_1B_1C_1D_1$ được lấy từ tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn có tâm $O$, quay quanh tâm $O$ một góc nào đó nhỏ hơn 180°. Chứng minh rằng giao điểm của các đường thẳng tương ứng: $(AB)$ và $(A_1B_1)$, $(BC)$ và $(B_1C_1)$, $(CD)$ và $(C_1D_1)$, $(DA)$ và $(D_1A_1)$ là các đỉnh của hình bình hành. (lớp 8-10)

VÌ. thái giám

M332. Có thể xây dựng một khối có kích thước $k \times k \times k$ từ cốc trắng và đen $1 \times 1 \times 1$ sao cho với mỗi kích thước khối, hai khối lân cận của nó có cùng màu với chính nó không? (Hai hình lập phương được coi là liền kề nếu chúng có cạnh chung.) (9 ô)

A. G. Gein

M333. Khi ruồi bò dọc theo các cạnh của tam giác $ABC$ sao cho trọng tâm của tam giác giữ nguyên một chỗ. Chứng minh rằng nó trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$ nếu biết rằng một trong các con ruồi bò dọc theo toàn bộ ranh giới của tam giác. (Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến của nó.) (8 ô)

S. V. Fomin

M334. Cho một đa thức $P(x)$ với a) hệ số tự nhiên, b) * hệ số nguyên.

41

Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $a_n$ biểu thị tổng các chữ số trong ký hiệu thập phân của số $P(n)$. Chứng minh rằng bạn sẽ tìm được số xuất hiện trong dãy $a_1, a_2, a_3, \ldots$ vô số lần. (9 lớp)

I. N. Bernishtein

M335 *. a) Trong hình vuông gồm $7 \times 7$ ô, tâm của $k$ ô được căn chỉnh. Hơn nữa, không có bốn điểm offset nào là đỉnh của đường thẳng kể từ cạnh, song song với các cạnh của hình vuông. Điều này có thể đạt được ở mức tối đa $k$ là bao nhiêu?

6. Giải tương tự bài toán cho hình vuông gồm $13 \times 13$ ô. (lớp 8-10)

S. A. Gashkov và A. A. Grizdoryan

F343. Góc mà Mặt trời có thể nhìn thấy từ Trái đất (đường kính góc) là khoảng $\alpha \approx 10^{-2}$ rad. Bán kính Trái đất là $R_1 \approx 6400$ km. Gia tốc rơi tự do trên Trái đất $g \approx 10 \text{ m/c}^2$. Xác định từ những dữ liệu này tỷ lệ mật độ trung bình của Trái đất và Mặt trời, có tính đến $1 \text{ eo} \delta \approx 3 \cdot 10^7 \text{ c}$.

Ghi chú. Thể tích của quả bóng được tính theo công thức $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, trong đó $R$ là bán kính của quả bóng. (8 lớp)

F344. Điện tích $Q$ được phân bổ đồng đều. dọc theo một vòng điện môi mỏng nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Cảm ứng của từ trường vuông góc với mặt phẳng của vòng thay đổi từ 0 đến $B_0$. Vận tốc góc mà vòng thu được trong trường hợp này là bao nhiêu? Khối lượng của chiếc nhẫn là $m$. (9 lớp)

F345. Ước tính công suất động cơ cần thiết để duy trì một chiếc trực thăng có khối lượng $M = 500 \text{ kg}$ trên không với các cánh có chiều dài $l = 3 \text{ m}$.

Giả sử trọng lượng của không khí dưới các cánh quạt chuyển động theo hướng đi xuống đều. (lớp 8-9)