Cuộc trò chuyện trên xe điện

Về cơ bản thì tấm vé “may mắn” nào cũng “đẹp”. Tuy nhiên, không phải tấm vé “đẹp” nào cũng sẽ “may mắn”. Ví dụ vé 100.748 sẽ “đẹp” nhưng sẽ không “may mắn”. Vì vậy, nếu chúng ta biểu thị số vé “may mắn” bằng $C$ thì chúng ta có thể viết bất đẳng thức

$$C<111\,112.$$

“Nhưng đây vẫn chưa phải là lời giải bài toán hoàn chỉnh,” Misha nói. “Chúng tôi biết rằng có ít hơn 111.112 vé “may mắn”, nhưng chúng tôi không biết là bao nhiêu.” Có thể chỉ ra rằng có nhiều hơn một số lượng nhất định trong số chúng không? Tôi từng nghe điều này được gọi là “ước tính đáy”.

Georgy Vladimirovich trả lời: “Chúng tôi có thể đưa ra ước tính từ bên dưới, tôi chỉ sợ rằng nó sẽ khá khó khăn”. Gọi là vé “xuất sắc” là vé có số gồm hai nửa hoàn toàn giống nhau, ví dụ 287 287. Có đúng 1000 vé như vậy, cụ thể là 000 000, sau đó là 001 001, 002 002, … cho đến 999 999. Đương nhiên, số vé “xuất sắc” ít hơn vé “may mắn”, nên chúng ta có thể viết ra ước tính sau:

$$1000<C<111\,112.$$

Ở đây ước tính từ phía trên cao hơn 100 lần so với ước tính từ phía dưới, nên kết quả này khó có thể coi là nghiệm của bài toán.

“Có lẽ ước tính ở trên có thể được cải thiện phần nào,” tôi nói, “bằng cách sử dụng tiêu chí chia hết cho 11.”

-Đây là dấu hiệu gì? - Misha hỏi. “Chúng tôi đã không trải qua nó.”

• Nó rất đơn giản. Hãy cộng tất cả các số ở vị trí lẻ, sau đó cộng riêng các số ở vị trí chẵn. Vì vậy, nếu hiệu của các tổng kết quả chia hết cho 11 thì toàn bộ số đó chia hết cho 11 và ngược lại, bất kỳ số nào chia hết cho 11 đều có tính chất này.

“Dấu hiệu này có liên quan gì đến những tấm vé “may mắn”?” Misha ngạc nhiên hỏi.

— Điều trực tiếp nhất, nhưng hãy nói cho tôi biết trước, bạn đã nghe nói đến vé “may mắn kiểu Moscow” chưa?

• Ồ, vâng! Người Muscovite coi một tấm vé là “may mắn” nếu tổng các số ở vị trí chẵn bằng tổng các số ở vị trí lẻ. Đây là những kẻ lập dị!

• Thứ nhất, bạn là người lập dị nếu tin rằng những tấm vé “may mắn” có thể mang lại may mắn, thứ hai, người Muscovite gọi những tấm vé đó là “may mắn” như những người Leningrad, và những tấm vé mà chúng ta gọi là “may mắn ở Moscow” thì họ gọi là “may mắn ở Leningrad”. Đây là cách “tàu lượn siêu tốc” được gọi là “tiếng Nga” ở Mỹ. Nhưng đó không phải là vấn đề. Khá dễ dàng để kiểm tra xem số vé mà bạn gọi là “may mắn ở Moscow” có chia hết cho 11 hay không?

“Đúng vậy,” Misha trả lời.

• Và những tấm vé này không có nhiều hơn các số từ 0 đến 999.999 chia hết cho 11.

• Tức là không quá 90.910! - Georgy Vladimirovich kêu lên.

“Có loại vé nào hơn,” Misha hỏi, “may mắn” hay “hạnh phúc ở Moscow”?

“Không khó để khẳng định rằng có nhiều người trong số họ như những người khác,” tôi trả lời.

“Bạn cũng sẽ nói, “không khó,” Misha cười khúc khích, “chúng tôi không biết có bao nhiêu trong số đó.”

NGA “MOUNTAINS” = “TÀU LƯỢN LĂNG”

69

70

“Nhưng điều này là không cần thiết,” Georgy Vladimirovich lưu ý. - Đặt 3 chữ số đầu của tấm vé “may mắn” vào vị trí số chẵn, 3 chữ số cuối vào vị trí số lẻ, từ tấm vé “may mắn” bạn sẽ nhận được tấm vé “may mắn ở Mátxcơva”. Và ngược lại, nếu trên vé có chữ “hạnh phúc

Vé “Chúc mừng Polenin-Grad”
286358
Vé “Moscow hạnh phúc”
238568

“Sống ở Moscow”, thu thập tất cả các số chẵn ở nửa đầu của số và phần còn lại ở nửa số thứ hai, khi đó bạn sẽ nhận được một tấm vé “may mắn”. Vì vậy, chúng tôi đã thiết lập sự tương ứng 1-1 giữa những vé đó và những vé khác. Và theo đó số lượng của chúng là như nhau. Phải?

• Phải! - Misha kêu lên. - Tuyệt quá! Điều này có nghĩa là chúng tôi đã chứng minh được rằng có ít vé “may mắn” hơn 90.910.

— Tổng các chữ số của số đó sẽ là bao nhiêu nếu ba chữ số cuối của tấm vé “may mắn” được thay bằng hiệu giữa 9 và các chữ số này? - Georgy Vladimirovich hỏi.

“Bây giờ,” Misha nghĩ, “thật ra… ba nhân chín là hai mươi bảy… trừ… cộng… Hóa ra là 27!" Nhưng một lần nữa chúng ta lại nhận được thư từ một-một! Georgy Vladimirovich, theo đó, có nhiều vé “may mắn” như những vé có tổng các chữ số là 27.

“Đúng vậy,” anh trả lời.

• Nhưng có bao nhiêu vé “may mắn”? - Misha nhìn tôi hỏi.

• Đáp số Bây giờ tôi nói cho bạn biết: 55.252, tức là trung bình cứ vé thứ 18 là “may mắn”. Và tại sao lại có nhiều như vậy, lần sau tôi sẽ kể cho bạn nghe. Hãy tạm biệt Georgy Vladimirovich và đi thôi - đã đến lúc chúng ta phải rời đi.