вательно, каждый «счастливый» билет является «красивым». Однако не всякий «красивый» билет будет «счастливым». Например, билет 100 748 будет «красивым», но не будет «счастливым». Итак, если обозначить число «счастливых» билетов через , то можно написать неравенство
— Но это все-таки не полное решение задачи,— сказал Миша.— Мы получаем, что «счастливых» билетов меньше 111 112, но не знаем, насколько. А можно ли показать, что их больше какого-то числа? Я слышал, что это называется «оценкой снизу».
— Можно дать и оценку снизу,— ответил Георгий Владимирович,— боюсь только, что она будет довольно грубой. Назовем «прекрасными» билетами такие, у которых номер состоит из двух совершенно одинаковых половинок, например 287 287. Таких билетов ровно 1000, а именно, 000 000, далее 001 001, 002 002, … до 999 999. «Прекрасных» билетов, естественно, меньше, чем «счастливых», поэтому мы можем записать такую оценку:
Здесь оценка сверху более чем в 100 раз превышает оценку снизу, так что вряд ли такой результат можно считать решением поставленной задачи.
— Пожалуй, оценку сверху можно несколько улучшить,— сказал я,— используя признак делимости на 11.
— Что это за признак? — спросил Миша.— Мы его не проходили.
— Он очень прост. Сложим все цифры, стоящие в нечетных разрядах, потом отдельно сложим числа, стоящие в четных разрядах. Так вот, если разность полученных сумм делится на 11, то и все число делится на 11, и наоборот, любое число, делящееся на 11, обладает этим свойством.
— Какое же отношение этот признак имеет к «счастливым» билетам?— удивленно спросил Миша.
— Самое прямое, но скажи сначала, слышал ли ты о билетах, «счастливых по-московски»?
— Ах, да! Москвичи считают билет «счастливым», если сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Вот чудаки!
— Во-первых, чудаком являешься ты, если веришь, что «счастливые» билеты могут приносить удачу, а во-вторых, москвичи называют «счастливыми» те же самые билеты, что и ленинградцы, а билеты, которые мы называем «счастливыми по-московски», они называют «счастливыми по-ленинградски». Так «американские горки» в Америке называют «русскими». Но не в этом дело. Совсем легко проверить, что номера билетов, которые ты называешь «счастливыми по-московски», делятся на 11. Верно?
— Верно,— ответил Миша.
— И этих билетов не больше, чем чисел от 0 до 999 999, делящихся на 11.
— То есть не больше 90 910! — воскликнул Георгий Владимирович.
— А каких билетов больше,— спросил Миша,— «счастливых» или «счастливых по-московски»?
— Совсем нетрудно установить, что одних столько же, сколько и других,— ответил я.
— Скажете тоже, «нетрудно»,— хмыкнул Миша,— мы же не знаем, сколько тех и других.
RUSSIAN “MOUNTAINS” = “АМЕРИКАНСКИЕ ГОРКИ”
69