Московский институт электронного машиностроения

58

Вариант 3 (Ф)

1. Решить неравенство

$$5x^2 \cdot 4^{8x^2+3x} + 8x - 2^{16x^2+6x} > 10x^2 - 2 + x \cdot 4^{8x^2+3x+1}.$$

2. Какой угол составляет с плоскостью основания образующая правильного усеченного конуса, если $r$ и $r\sqrt{30}$ — соответственно радиусы шаров, вписанного в этот усеченный конус и описанного около него?

3. Решить уравнение

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\cos^2 x\right) = 1 - \cos(\pi\sin 2x).$$

4. Решить уравнение

$$\sqrt{\log_x\sqrt{2x}\,\log_2 x} = -1.$$

Вариант 4 (Ф)

1. Решить уравнение

$$(\log_2 x)^3(\log_3 x - 2\log_3 2)\log_5 2 =$$
$$= (11\log_5 x - 8\log_5 2)\log_2 x \cdot \log_3 2 -$$
$$- 16\log_3 2 \cdot \log_5 2.$$

2. В некоторой неправильной пирамиде все внутренние двугранные углы при основании равны $\alpha$. Площадь основания равна $S$, а периметр основания равен $2p$. Найти объем и полную поверхность этой пирамиды.

3. Решить уравнение

$$|\mathrm{tg}\,x + a\,\mathrm{ctg}\,x| = \frac{4}{\sqrt{3}},$$

где $a \neq \pm 1$.

4. Решить неравенство

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{(x^6-2x^3+1)^{\frac12}} < 4^{\frac{x-1}{2}}.$$

Вариант 5 (Х, Б)

1. Решить неравенство

$$\log_{0{,}25}\frac{2x-1}{x+1} < -2\cos 36^\circ\cos 72^\circ.$$

2. В прямом круговом конусе образующая равна $l$, а высота в $m$ раз больше радиуса шара, вписанного в конус. Найти отношение полной поверхности конуса к поверхности шара, описанного около этого конуса.

3. При бурении скважины каждый последующий метр проходки обходится на 4 рубля дороже, чем предыдущий. Вследствие этого проходка последнего метра и третьего от конца, взятых вместе, обходится во столько же, сколько стоила бы всей скважины, если бы каждый метр проходки независимо от глубины стоил столько же, сколько стоит первый метр проходки. Средняя стоимость одного метра проходки

равна 100 руб. Какова глубина скважины?

4. а) Доказать признак параллельности двух плоскостей.

б) Дать определение, перечислить все свойства и построить график функции $y = \mathrm{tg}\,x$.

Ю. С. Бабурин

Московский

институт электронного

машиностроения

В «Кванте», 1973, № 7 мы уже рассказывали о МИЭМе. В этом номере мы публикуем варианты вступительного письменного экзамена по математике в МИЭМ в 1974 году.

Вариант 1

1. Две бригады, работая совместно, должны были засеять поле в 234 $га$ за 117 часов. Однако, когда первая из них засеяла 39 $га$, ее производительность увеличилась на 6,25 $га/ч$. Когда вторая бригада засеяла 39 $га$, ее производительность также возросла на 1,5 $га/ч$. В результате поле было засеяно за время $T=55$ ч. Найти производительность каждой бригады. Найти все значения $T$, при которых задача имеет решение.

2. Решить уравнение

$$2(\cos x + \sin x)\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \cos 2x.$$

3. Решить неравенство

$$\log_{(x+1)^2}(x+3) > 1.$$

4. При каких значениях $a$ корни уравнения

$$x^2 - (2a+1)x + 3a = 0$$

лежат между числами 1 и 4?

5. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная противолежащей боковой грани и делящая эту грань на треугольник и трапецию, площади которых относятся, как 1:3. Определить полную поверхность пирамиды, если сторона ее основания равна $a$.

Вариант 2

1. Водитель должен был перевезти 120 станков из одного города в другой. После того, как он перевез 48 станков, ему дали другой, более мощный грузовик, берущий за один рейс на 4 станка больше. В результате общее число рейсов, сделанных водителем, уменьшилось на три. Сколько станков за один рейс брал первый грузовик?

2. Решить уравнение

$$1 - 3\cos x + \cos 2x = \frac{\mathrm{cosec}(\pi - x)}{\mathrm{ctg}\,2x - \mathrm{ctg}\,x}.$$

3. Решить неравенство

$$2x + \sqrt{a^2 - x^2} > 0.$$