6
Узел — древнейшее изобретение, наимного более древнее, чем колесо, и настолько прививное, что его трудно назвать изобретением. В течение тысяче лет тому назад. Мы расскажем о некоторых проблемах и открыях этой красной теории. Нашему читателю мы соедетем запасись достаочного длины куском белки, чтобы буквально «свойми руками» проверять утверждение и решать задачи, которые естеятся в тексте.
§ 1. Мог ли Алексадр Македонский открыть теорию узлов?
Книги античных исторков сохранили для нас легенду-притуу о том, как македонский царь Алексадр, проходя с войском его время своего победочного похода в глубины Азии через персидский город, посетил храм и увидел одну из достопримечательностей Перси — узел, сплетенный мудрецем Гордием; предание гласило, что тот, кто развяжет этот узел, станет царем Вселенной. Юный царь разрубил узел мечом.
Восхищаться ли нам находиться Алексадра или сохранить, что тем же ударом меча он лишил себя завинойвозможности стать основателем теории узлов?
Рис. 1. Небольшая коллекция морских узлов.
7
No he будем преувеличивать: даже если Алексадр хорошо знал античную математику (а это, скорее всего, так — еоспитателем Алексадра был Аристotel), он, конечно, был бы удивлен, узнал, что задача, от решения которого он так по-царски уклонился, математическая. Тем более, что решение эта задача была только в нашей время, около пятнадцати лет тому назад, когда был придуман метод, позволяющий по виду или описанию узла определять, развязывается данный узел или нет.
§ 2. Кунсткамера узлов
Знакомство с узлами мы начнем с морских узлов, изображенных на рисунке 1*). Концы узлов уходят за пределы рисунка и там крепятся. Однако при изучении узлов удобно считать, что свободные концы каждой из них соединены друг с другом; после такой операции привчийный для насвервоный узел с двумя торцашми или болташмися концами превращится в плетеное берегочное колюцо.
На рисунке 2 изображены такие «абстрактные» узлы, получающие
*) Рисунок Н. Павлинова из книги Б. Житкова «Морские истории», М., «Детская литература», 1972.
из некоторых морских узлов рисунка 1: восперка изображена на рисунке 2, а, мболовый узел — на рисунке 2, б, прямои и бабий узлы (на рисунке 1 у этих узлов по четыре конца!) превращаются либо узлы на рисунках 2, в и 2, z, либо в зацелления (рис. 2, д и 2, e).
Примеры зацелления изображены на рисунке 3.
В теории узлов зацелления изучаются наравне с узлами; к сожалению, из-за недостатка места мы не сможем о них расскадать.
Рисунок 4 пополняет нашу конструкру новыми образцами узлов вместе с их математическими вариантими.
Наши первые впечатления об узлах приводят нас к таким определеням:
Узел — это замкнутая пространственная кривая, не имеющая моек самопересечения.
Зацелление — это совокупность двух или более попарно непересеченных и самопересечающих замкнутых пространственных кривых.
Рисунки всех рассмотренных нами узлов содержат кратные точки — точки, в которых скрещиваются несколько участков линии, изображающее узел. Такие точки на рисунках узлов называют моечами скрещивания — двойными, тройными
Рис. 2. Математические двойники некоторых морских узлов.
8
Рис. 3. Небольшая коллекция зацепленей.
или -кратными, если в них встречются две, три или линей. Все точки скрещивания на рисунке 2 — двойные; это не случайно: тройных точек и точек большей кратности, а также совпадения линей и прочих «неправильностей» плоского изображения узла всегда можно избежать выбором подходящего «места», откуда мы «смотрим» на узел, когда рисунке 2).
Любое плоское изображение узла, все кратные точки компози — это двойные точки скрещивания, называется диараммой узла.
Для каждой двойной точки скрещивания на диарамме узла нужно, конечно, указыть, какая из двух пересекающихся в этой точке линей проходит «над», а какая «под» другой (obъчно «низкого» из двух линей перевыают, как это и сделано на рисунке 2).
§ 3. Об искусстве плести узоры извервоного колыца
Житейский опыт говорит нам, что любой, даже очень сложный узел может быть при некоторых терпении развязан. Но вспомним: развязывая узел, мы, как правило, манипулируем его концами. У наших же «абстрактных» узлов концов нет, и следует ожидать, что не разрывая «веревки», из которой «связан» узел, мы не смоЖем развязать большинство из уже рассмотренных нами узлов.
Рис. 4. Одинарный узел, «бантик» и свитер, связанный из одной нити.
9
Рис. 5. «Лестница Иакова» — тривиальный узел?
Согласно определению, окружность также следует считать узлом — простейшим из всех узлов, или, как еще его называют, тривиальным узлом.
Рассматривая топовый узел на рисунке 1, можно заметить, что он легко развязывается, если только его петли не охватывают деталей основки корабля.
Упражнение 1. Показите, что топовый узел на рисунке 2, 6 может быть распутан и превращен в окружность.
Узлы, которые, подобно топовому, могут быть развязаны, называют узами тривиального мира, или простого тривиальных.
Большой опыт в искусстве «плетения» тривиальных (но часто весма затейливых) узлов наоплен любителями популярной игры с веревочным колылом. Один из таких узловзоров под названием «лестница Иакова» изобразен на рисунке 5*).
Итак, топовый узел, «лестница Иакова» и окружность — это один и тот же узел в разных областях. Существуют ли другие типы узлов? И как различать узлы?
§ 4. Узлы дикие и узлы ручные
No preжде, чем пускаться в опасное плавание по неведомому нам Морю Узлов, проверим прочность нашей суденышка — определения.
Должны ли мы считать узами замкнутые кривы, изобразенные на
*) Способ плетения этого узла на пальцах двух рук и другие подробности об «игре в веревочку» можно найти в книге М. Гардира «Matematические доступи», М., «Мир», 1972, глава 22.
Рис. 6. Два диких узла. Цветные «рамочки» пригодятся позже.
Рис. 7. Узлы перед зеркалом.
рисунках 6, а, б? И кривые ли это? Не вдаваясь в детали *), мы должны признать за этими странными конструкциями право называться кривыми, а, следовательно, и узлами. Но узлами «дикими», в отличие от «ручных», похожих на обычные веревочные узлы.
Ручной узел может быть приведен к замкнутой пространственной ломаной с конечным числом звеньев и без точек самопересечения.
Все узлы, изображенные на рисунках 2 и 4, можно считать ручными: каждый из них разбивается на конечное число «почти прямолинейных» отрезков. С другой стороны, очевидно, что узлы на рисунке 6 не ручные, такие узлы и называются дикими.
Дикие узлы могут обладать неожиданными сеойствами; например, узел, изображенный на рисунке 6, б **), развязывается, но лишь после бесконечного числа последовательных операций: сначала петлю нужно вынуть из петли , потом петлю — из и так далее. Развязать же этот узел в обычном смысле невозможно.
*) Строгое определение кривой потребовало бы многих страниц (см., например, книгу А. Пархоменко «Что такое линия», М., 1954).
**) Рисунок взят из книги «Введение в теорию узлов» Р. Кроуэлла и Р. Фокса, М., «Мир», 1967.
10
§ 5. Типы узлов можно определять по-разному
Нам хотелось бы, чтобы наша теория узлов сохранила наивное представление об «одинаково завязанных» узлах, которое есть у всех нас. Так возникает п е р в о е из двух (разных) определений типа узла.
П е р в о е о п р е д е л е н и е. Говорят, что два узла изотопны, или имеют один изотопический тип, если один узел можно «перевязать» в другой, не разрезая его и не допуская самопересечений.
Практически изотопность двух узлов можно иногда доказывать либо с помощью веревочного кольца, либо на серии рисунков-диаграмм. Например, как мы уже знаем, топовый узел изотопен «лестнице Иакова» и оба они изотопны окружности. Вот еще пример: одинарный узел (см. рис. 4, а, б) изотопен (проверьте это!) простейшему после окружности узлу, изображенному на рисунке 7, а. Благодаря сходству с контуром клеверного листа, этот узел называется клеверным листом, или трилистником. Нарисуйте сами узел «двойной бантик»; уже в возрасте двух-трех лет вы умели доказывать (потянув за свободный конец веревочки), что «бантик» (см. рис. 4, в, г) и «двойной бантик» изотопны одинарному узлу, а значит, и клеверному листу.
У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что прямой узел (рис. 2, в) изотопен сквер-узлу (рис. 8, а), а бабий узел — бабушкину узлу (рис. 2, г и 8, б).
11
Рис. 8. Еще девять экспонатов из нашей кунсткамеры.
Второе определение. Говорят, что два узла эквивалентны, или имеют одинаковый тип, если они изотопны или если один из них изотопен зеркальному изображению второго.
Согласно этому определению, всякий узел эквивалентен своему зеркальному образу. А вот восьмерка даже изотопна!
Упражнение 3. Докажите это, «перевязав» узел на рисунке 7, б («левую» восьмерку) в «правую» восьмерку.
Узлы, которые, подобно восьмерке, изотопны своему зеркальному изображению, называют зеркальными. Существуют ли незеркальные узлы? Да: в 1914 году немецкий математик Ден, один из основателей теории узлов, доказал незеркальность клеверного листа (см. рисунок 7, а). Иными словами, эквивалентные узлы не всегда изотопны (изотопные же эквивалентны по определению). Хотя сквер-узел и бабушкин узел очень похожи (рис. 8, а и 8, б), они не только неизотопны, но и неэквивалентны. Строгое доказательство этого
утверждения сложнее, например, доказательства нетривиальности восьмерки (или клеверного листа). Тем не менее нетрудно указать «причину» их неэквивалентности: она состоит в незеркальности клеверного листа (обратите внимание на упражнение 9 в § 8). Не эквивалентны и узлы истинной (рис. 8, в) и ложной, (рис. 8, г) дружбы (есть и такие!), беседочный узел, турецкая чалма и китайская роза (рис. 8, д, е, ж), узел грузчика и удавка (рис. 8, з, и).
§ 6. Инварианты узла
По каким же признакам различают узлы? Одного ощущения, что два узла «похожи» или «не похожи», мало: даже такие простые узлы, как клеверный лист и восьмерка, можно изображать и завязывать по-разному (мы уже сравнивали рисунки 4, б, г и 2, а с рисунками 7, а и 7, б). Для нас важны только те признаки и свойства узлов, которые не зависят от способа их реализации или изображения и которые совпадают поэтому для всех узлов одного типа.
12
Рис. 9. Является ли этот узел замкнутой пятизвенной ломаной?
Такие признаки называют инвариантими узла *).
Большинство известных инвариантов определяется и вычисляется довольно сложно.
Найблее изученный и удобный из алгебраических инвариантов — группа узла — вычисляется по совершению точно описанным правилам, которые в принципе могут быть запомнить любой старшеклассник; однако для понимания как этих правил, так (что, конечно, важнее) и самого определения групп узла нужно знать начало топологии и вычислений алгебры. Используя именно группу узла, обычно доказывают, что узел нетривиален или что два узла неэквивалентны.
*) Инвариант (слово латинского произхождения) — неизменный, не зависящий от формы.
Тем интереснее познакомиться с простейшим числовыми инвариантими, в том числе — с минимальным числом скрещиваний и родом узла. Для достаточно простых узлов значения этих инвариантов находится сразу по диаграмме узла; но доказать, что найденное число и есть значение инварианта, как правило, очень сложно.
А. Минимальное число скрещиваний узла
Из всех диаграмм (см. § 2) узла В выберем ту, для которой число скрещивания минимально. Это число М (B) и называется минимальным числом скрещиваний узла B.
У праванте 4.1. Доказите, что М (A) = 0 тогда и только тогда, когда узел A тривален.
-
Доказите, что не существует узлов A, для которых М (A) = 1 или М (A) = 2.
-
В § 5 уже упоминалось (хотя и не доказываюсь), что окружность, kleverный лист и восемерка попарно не эквивалентны. Полъязысь этим, доказите, что равенства М (A) = 3 и М (B) = 4 выполнются тогда и только тогда, когда узел A эквивалентен kleverному листу, а узел B — восемерке. Тем самым мы получили исчерпывающие сведения об узлах с минимальным числом скрещивания, не превосходящим 4.
Б. «Изломанность» узла В соответствии с определениемручных узлов (§ 4) представим узел A
Рис. 10. Тривальный узел на сфере, kleverный лист на «бублке» и восемерка на «кренделе».
13
Рис. 11. Сферы с ручками и завязанными тор.
в виде замкнутой ломаной с наименьшим возможным числом звеньев. Наозовем это число И (А) «изломанностью» узла A.
У пряженние 5. Вычислите «изломанность» узла, изобравенно на рисунке 9 (ответ: восемь). Чему равна «изломанность» восмерки? Существуют ли узлы с «изломанностью» три, четыре и пяты?
В. «Кондитерское число» узла
Из всех узлов только окружность можно нарисовать на сфере без точек самопересечения; kleверный лист можно нарисовать на «бублике» (торе), а для восмерки нужно «крендель»; как расположить эти узлы на таких поверхностях, видно из рисунков 10, а, б, в.
И тор, и «крендель» получаются из грибной сферы, к которой приклеены полые грибные «ручки» (см. рис. 11, а, б).
Наименьшее число ручек, которые нужно приклеить к сфере, чтобы на получившейся поверхности можно было разместить узел A без точек самопересечения — исключой инвариант K (А) узла A.
У пряженние 6. Узлы, для которых K (А) = 1, называют морищеми. Постройте все торичские узлы с минимальным числом скрещиваний, равным 3, 5, 7.
У инварианта K (А) нет общеприятного назначения. Мы будем называть его «кондитерским числом» узла. Для того чтобы определение K (А) стало вполне корректным, нужно
14
Рис. 13. «Контурные узлы» сфер с ручками.
но доказать, что для любого узла существует хотя бы одна сфера с ручками, на которой можно расположить этот узел без точек самопересечения.
Упражнение 7. Придумайте какой-нибудь способ построения такой сферы с ручками по диаграмме узла (подсказка: рисунок 12).
§ 7. Род узла — важнейший из числовых инвариантов
За простой последнего определения кроется подвох: любой узел можно расположить на торе, стоит только «завязать» тор таким узлом! (Как это сделать, видно, например, из рисунков 11, 8, 2.) Следовательно, при определении «кондитерского числа» нужно условиями, что ручки сфера «не завязаны»: например, очень малы, разбросаны по поверхности сферы далеко друг от друга и имеют форму «половины бублика» (как на рисунке 11, 6).
Напротив, при построении, пожалуй, наиболее полезного из числовых инвариантов рассматривается как раз сферы с произвольным расположением ручек (ручки могут быть перевиты, завязаны и сцеплены); а ограничение накладывается на способ размещения узла на такой поверхности: требуют, чтобы после разрезания вдоль узла эта поверхность распадалась на две части. Ясно, например, что после разрезания тора и «кренделя» вдоль узлов на рисунках 10, 6, 8 (проверьте это!) получается только
Рис. 14. От перемены мест узлов их композиция не меняется.
15
Рис. 15. Разные обличия одного узла.
один «кусок» поверхности. «Кренделли» же, разрезанные вдоль узлов-контуров на рисунках 13, а, б, распадаются каждый на две части — верхнюю, обращенную к нам, и нижнюю (первый из них — это kleверный лист, а второй — восьмерка).
Род P (A) узла A — это половина наименьшего числа ручек у сферы, допускающей «разрезающее» размешение узла A.
У разженние 8. Докажите, что при разрезании как уголно заязанного тора вдоль любого узла на нем можно получить только один связный «кусок» поверхности. (Вместе с рисунками 13, а, б, это утверждение доказывает равенство рода kleверного листа и восьмерки единице.)
Нам нужно еще доказать возможность «разрезающего» расположения любого узла хотя бы на одной сфере с ручками; кроме того, определение наводит на мысль, что «наименьшее число ручек» всегда четно (это действительное так — см. упражнение 12 в § 10). Мы вернемся к этим вопросам в § 10, где доказем самое замечательное свойство рода узла.
§ 8. Арифметика узлов
Если два узла заязаны рядом на одной вервке, то получившийся узел называют произведением или композицией этих двух узлов.
Операция композиции узлов очень похожа на операцию умножения целых чисел.
-
Роль «единицы» при «умножении» двух узлов, очевидно, играет трюпальный узел — окружность. Обозначив его буквой E, а композицию двух узлов A и B через A # B, получим A = E # A = A # E (см. рис. 14, a).
-
Композиция — коммумативная операция:
A # B = B # A.
Это легко доказать, протаизив по вервке один узел «сквозь» другой (см., например, рис. 14, б—д).
У разженние 9. Сквер-узел и базушкин узел можно разложить в композицию двух узлов. Как это сделать и какая разница между этим двумя разложениями?
Коммутиативность композиции часто бывают удобно использовать для доказательства изотопности узлов; например, три узла на рисунках 15, а, б, в изотопны, так как … Но вам будет интереснее понять это самоестоящее.
Композицию узлов можно было бы определить и так, как ее понятно детя — любители заязываемых узлы покрепче, как правило, на шнурах от собственных туфель: сначала заязывается один узел, на него второй, затем третьий и так далее.
У разженние 10. Использовая идею «перемешения» узла по вервке, доказите, что такой сложный узел изотопен композиции составляющих его узлов. Инными словами, новое определение композиции по существу совпадает со старым.
- Узел B делит узел A, если найдет такой узел C, что
A = B # C.
Подобно единше, тривальный узел делится только сам на себя.
16
Иначе, никакой нетривиальный узел нельзя развязать, завязав рядом с ним другой.
Это очевидное на первый взгляд утверждение в доказательстве. Вот идея одного из возможных доказательств: предположим, что ; завязем последовательно бесконечное число пар узлов и . Мы получим дикий узел, изображенный на рисунке 6, . Он легко развязывается — для этого достаточно внутри всех красных трапеций одновременного развязать бесконечное число пар , (вспомним, что , и ). Если мы также одновременно развязем все пары , , … внутри синхтрапеций, то получим узел (= ); следовательно, он развязывается! Итак, , а значит, и .
- Узел называется простым, если он нетривиален и делится только на тривиальный узел и на узлы, изотопные ему самому.
Подобно простым числом, существуют бесконечное число простых узлов. Подробнее о простых узлах мы рассскажем в § 9.
- Как и натуральное число, любой нетривиальный узел представим в виде композиции конечного числа простых узлов, причем такое представление единственное.
Доказательства свойств 4 и 5 найдены сравнительно недавно — в 1949 году (о разложимости узла на простые узлы расссказано в следующем параграфе; единственное такое представление мы не доказываем).
§ 9. О простых узлах
Существование простых узлов было доказано более чем через двадцать лет после того, как простые из них были собраны и систематизированы; в 1926 году американские математики Алексаан держ (один из основателей теории узлов) и Бриггс опубликовали таблицу диаграмм узлов (в те времена их еще не назвали простыми), аналогичную таблицам простых чисел*) (с. 17). Место узла в таблице определяется, прежде всего, его минимальным числом скрещиваний, а среди узлов с одинаковым таким числом — прежде всего, «кондитерским числом» узла, а затем уже другими, нам пока незнакомыми инвариантами.
Уражение 11. Найдите все простые узлы на рисунках 2—8 и их диаграммы в таблице. Вычислите значения инвариантов М, И, К, и Р для этих узлов.
В основе доказательства как существование простых узлов, так и разложимости любого нетривиального узла на конечное число простых лежит заменательное свойство рода узлов: род композиции двух узлов равен сумме родов «сомножителей», то есть:
Мы рассекjem об этом свойстве в § 10, а сейчас дважды воспользовемся им.
1°. Итак, рассмотрим нетривиальный узел . Если он простой, то существование простых узлов уже доказано, как доказана и разложимость узла на конечное число простых. В противном случае разложим на композицию двух узлов, затем разложим, если это возможность, какдый из узлов «сомножителей» и так далее. Не более чем через шагов мы получим нужное нам разложение — род каждой из (нетривиальных!) «сомножителей» не меньше 1, а сумма их всех равна .
2°. Дадим теперь предельно короткое доказательство утверждения «никакой нетривиальный узел нельзя развязать, завязав рядом с ним другой» (см. § 8, свойство 3). Действительно, если , то , так что , а значит, и .
§ 10. Род и композиция
Прежде чем переходим к доказательству равенства , вернемся к замечанию, сделанному в конце § 7, и попытаемся установить пробель в определении рода узла.
Итак, показем, что для данного узла всегда найдется хотя бы одна
18
Рис. 16. Двусторонняя пленка, натянутая на kleверный лист и раскрашенная с кажной стороны в свой цвет.
сфера с ручками, на которой можно расположить этот узел так, чтобы он разбивал всю поверхность на два «куска». Возьмем наш узел и «натянем» на него двустороннюю поверхность (как мыльную пленку на проволочный каркас); один из способов такого «натягивания» описан в 9-й главе уже упоминавшейся книги М. Гарднера (см. скоку на с. 9). Как это проделать, например, для kleверного листа, видно из рисунков 16, б—ж.
Замечание е. Не всегда поверхность, край которого есть некий узел, будет двусторонней; лист Мебуса на рисунке 16, а — пример односторонней поверхности, натянутой на тривальный узел!
Будем считать, что пленка, который мы «натянули» на узел — двойная (в том смысле, в котором употребляется выражение «двойной лист бумаги»), so склеенный видольяка краями, то есть некое подобное спушеного воздушного шарика. Раздуем теперь этот «воздушный шарик»; мы получим сферу с ручками, на которой «нарисоваан» наш узел. Если разрезать «шарик» вдоль узла, то он распадется на две пленки, из которых он был склеен.
Уражнение 12. Введем понятие «окантованной сферы с ручками»: на сфере мы располагаем «кант» по экватору, на каждой ручке — по двум противоположным образушим, и приклеиваем ручки, соединяя концы каnten на сфере и на ручках (ручки могут перекручиваться, как на рис. 13, а, б). Докажите, что если узел разрезает сферу с наименьшим воздушным числом ручек, то этот узел можно реализовать как кант для нашей сферы (илистрацией могут служить рисунки 16, д—ж).
Уражнение 13. Докажите, что кант сферы с нечетным числом ручек, «разрезаюший» эту сферу на два куска, всегда будет не узлом, а зацепленем.
19
Рис. 17. Как скленвают сферы с ручками.
Из упражнения 12 и 13 следует, что род любого узла — целое число.
Устранив неясности в определении рода узла, докажем теперь равенство рода композиции двух узлов сумме родов компонент.
Нетрудно доказать неравенство Р (A ≠ B) ≤ Р (A) + Р (B): возьмите две сферы с 2Р (A) и 2Р (B) ручками и расположенными на них «разрезаются» узлами A и B, и соединим сферы в «гантель» с 2 (Р(A) + P(B)) ручками так, чтобы узлы образовали композицию A # B (см., например, рис. 17). Очевидно, что узел A # B разрезает «гантель».
Рис. 18. Как из одной поверхности с узлом A # B «скроить» две помещые с узлами A и B
2* 19