Задачи наших читателей

70

— А это и не нужно, — заметил Георгий Владимирович. — Расставь первые три цифры «счастливого» билета на четные места, последние три цифры на нечетные места, и ты получишь из «счастливого» билета билет, «счастливый по-московски». И обратно, если у билета, «счаст-

„Счастливый поленин-градски" билет
286358
„Счастливый по-мос-ковски" билет
238568

ливого по-московски», собрать все цифры, стоящие на четных местах, в первой половине номера, а остальные — во второй, то ты получишь «счастливый» билет. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между теми и другими билетами. А отсюда следует, что их одинаковое количество. Верно?

— Верно! — воскликнул Миша.— Вот здорово! Значит, мы доказали, что «счастливых» билетов меньше, чем 90 910.

— А какова будет сумма цифр у номера, если в «счастливом» билете заменить три последние цифры на разности между 9 и этими цифрами? — спросил Георгий Владимирович.

— Сейчас, — задумался Миша, — та-а-к, … трижды девять — двадцать семь…минус…плюс… Получается 27! А ведь опять получается взаимно однозначное соответствие! Георгий Владимирович, отсюда следует, что «счастливых» билетов столько же, сколько билетов с суммой цифр 27.

— Правильно, —ответил он.

— Но сколько же все-таки «счастливых» билетов? — взглянув на меня, спросил Миша.

— Ответ я тебе скажу сейчас: 55 252, то есть в среднем каждый 18-й билет «счастливый». А почему их столько, я расскажу тебе как-нибудь в следующий раз. Прощайся с Георгием Владимировичем и пойдем — нам пора выходить.

Задачи наших читателей

1..Найти углы прямоугольного треугольника, если известно, что отношение высоты, опущенной на гипотенузу, к медиане, проведенной к катету, имеет наибольшее возможное значение.

Е. А. Боков

2. На листе бумаги нарисована окружность, центр ее не указан. При помощи двусторонней линейки вписать в эту окружность квадрат.

А. В. Аляев

3. Без помощи. таблиц доказать, что

$$\mathrm{tg}\ 50°>\frac{13}{11}.$$

С. И. Майзус

4. Доказать неравенство

$$\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{9}\right)\cdots\times\left(1+\frac{1}{n^2}\right)<2.$$

С. Т. Берколайко

5. Доказать, что угол в $n°$, где $n$ — произвольное натуральное число, не делящееся на 3, можно разделить на $n$ равных частей с помощью циркуля и линейки.

Л. М. Земсков

6. Сумма углов, лежащих при основании трапеции, равна 90°. Докажите, что расстояние между серединами оснований трапеции равно расстоянию между серединами ее диагоналей.

Б. И. Алейников

7. В каких пределах заключено отношение медиан, проведенных к катетам прямоугольного треугольника?

Ф. Гайнуллин

8. Дан треугольник $ABC$, в котором угол $A$ вдвое больше угла $B$. Определить высоту $CK$, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$, если известно, что $|AC|=3$ см, $|AB|=5$ см.

А. В. Хусаинов