Алгебраические задачи

20

Упражнение 14. Доказите подобным образом неравенства
$$M(A \# B) \leq M(A) + M(B),$$
$$K(A \# B) \leq K(A) + K(B).$$

Неравенство же $P(A \# B) \geq P(A) + P(B)$ доказать сложнее (для инвариантов $M$ и $K$ аналогичное неравенство выполняется не всегда).

Рассмотрим сферу с 2Р ($A \# B$) ручками и «разрезающим» узлом $A \# B$ на ней.

По определению композиции, мы всегда можем «растащить» узлы $A$ и $B$ на значительное расстояние друг от друга, например, так, чтобы они объединались в композицию по средством двух соединяющих их параллельных отрезков ($KL$ и $MN$ на рисунке 18, а); одновременно нам придется «растануть» и исходную сферу с ручками.

Проведем теперь плоскость, разделяющего узлы $A$ и $B$. Эта плоскость рассекает сферу с ручками, во-первых, по «трубке», вдоль которой проходят два отрезка, связывающих узлы (доказите, что эти отрезки действительно проходят по одной трубке, а не по двум разным!); заклеим образованшиеся два отверстия «заплатами» с нарисованным на них дугами, замыкающим каждый из узлов (дуги $PQ$ и $RS$ на рисунке 18, б). Во-вторых, плоскость может «случайно» вырезать «дыры» в тех частях сферы с ручками, которые не содержат линей узла; заклеим «заплатами» (на этот раз без нарисованных дуг) и эти «дыры».

Очевидно, что каждый из получшихся узлов $A$ и $B$ расположен на своей сфере с ручками и разрезает ее, причем сумма чисел ручек каждой из этих сфера не больше числа ручек исходной сферы, то есть $P(A \# B) = P(A) + P(B)$, что и требовалось.

Уражнение 15. Попытайте тем же способом доказать неравенство $K(A \# B) \geq K(A) + K(B)$.

Вот мы и закончили наше нелегкое путешествие. Если вы хотите продолжить его — путешеителем вам послужит интересная (хотя и трудная) книга Кроуэлла и Фокса.

Алгебраические задачи

1. Доказать, что $x^{13} - 1 = (x - 1)(x^6 - ax^5 + 2x^4 + bx^3 + 2x^2 - ax + 1) \times (x^6 - bx^5 + 2x^4 + ax^3 + 2x^2 - bx + 1)$, где $a$ и $b$ корни квадратного уравнения $z^2 + z - 3 = 0$. Найти аналогичное разложение для $x^{17} - 1$, выбрав в качестве $a$ и $b$ корни квадратного уравнения $z^2 + z - 4 = 0$.

2. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ корни кубического уравнения $x^3 + bx + c = 0$. Составить уравнение, имеющее корни $\alpha(\beta - \gamma)^2, \beta(\gamma - \alpha)^2, \gamma(\alpha - \beta)^2$.

3. Доказать, что при любом натуральном значении $r$ числа
   $$N_1 = r^{r+1} - 2r^r + 1,$$
   $$N_2 = 2r^{r-2} - r^{r-3} - 1$$
   $(r > 2),$$$$N_3 = r^{r+1} - 2r + 1,$$$$N_4 = r^{r-2} + r - 2$$делятся на целое на$(r - 1)^2$, а числа$N_1$и$N_2$делятся на целое на$(r - 1)^3$, если$r$четно. 4. Доказать, что если$(x + y)(x + z) = bcyz, (y + z)(y + x) = acxz, (z + x)(z + y) = abxy, то $a + b + c = abc + 2$ или $a + b + c = abc - 2$.

4. Доказать, что если $x + y + z = 0, \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} + \frac{z^2}{c} = 0, ayz + bzx + cxy = 0$, то $(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) = abc$.

5. Пусть натуральное число $D$ такое, что при обращении дроби $\frac{1}{D}$ в десятиную получается число перiodического дробь, имеющая $p$ цифр в периоде. Обозначим через $N(n, m)$ натуральное число, десятичная запись которого состоит из $m$ групп вида 00…01, причем в каждой группе $n - 1$ нуль (в самом левой группе нулы опускаются). Доказать, что если $n$ делится на $p$, то $N(n, m)$ делится на $D$ в том и только том случae, когда $m$ делится на $D$.

H. B.