Задачи М331—М335; Ф343—Ф347

40

Задачи

M331—M335; Ф343—Ф347

M331. a) Треугольник $A_1B_1C_1$ получился из треугольника $ABC$ поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший 180°. Доказите, что точки пересечения соответствующих прямых: $(AB)$ и $(A_1B_1)$, $(BC)$ и $(B_1C_1)$, $(CA)$ и $(C_1A_1)$ — являются вершинами треугольника, подобного треугольнику $ABC$.

6. Четыреугольник $A_1B_1C_1D_1$ получился из четырехугольника $ABCD$ описанного в окружность с центром $O$, поворотом вокруг центра $O$ на некоторый угол, меньший 180°. Доказите, что точки пересечения соответствующих прямых: $(AB)$ и $(A_1B_1)$, $(BC)$ и $(B_1C_1)$, $(CD)$ и $(C_1D_1)$, $(DA)$ и $(D_1A_1)$ — являются вершинами параллелограмма. (8—10 кл.)

З.А. Скопец

M332. Можно ли составить куб размерми $k \times k \times k$ из белых и черных кубков $1 \times 1 \times 1$ так, чтобы для каждой кубикаровно два из его соседей имели бы тот же цвет, что и он сам? (Два кубика считаются соседними, если они имеют общую грань.) (9 кл.)

A. Г. Гейн

M333. При мухи ползают по сторонам треугольника $ABC$ так, что центр тяжести образуется треугольника остается на одном месте. Доказите, что он совпадает с центром тяжести треугольника $ABC$, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центром тяжести треугольника называется точка пересечения его медиан.) (8 кл.)

C. В. Фомин

M334. Дан многочлен $P(x)$ с a) натуральными коэффициентами, b) * целыми коэффициентами.

41

Для каждого натурального числа $n$ через $a_n$ обозначим сумму цифр в десятичной записи числа $P(n)$. Докажите, что найдет число, которое встречается в последовательности $a_1, a_2, a_3, \ldots$ бесконечное число раз. (9 кл.)

И. Н. Берништейн

М335 *. a) В квадрате $7 \times 7$ клеток отмещены центры $k$ клеток. При этом никакие четыре отмещенные точки не являются вершинами прямого лыния со стороны, параллельными сторонам квадрата. При каком наиболее $k$ это возможно?

6. Решите ту же задачу для квадрата $13 \times 13$ клеток. (8—10 кл.)

С. А. Гашков и А. А. Гриzdорян

Ф343. Угол, под квадрат видно Солнце с Земли (угловой диаметр), равен приблизительно $\alpha \approx 10^{-2}$ рад. Радиус Земли $R_1 \approx 6400$ км. Ускорение свободного падения на Земле $g \approx 10 \text{ m/c}^2$. Определите из этих данных отношение средних плотностей Земли и Солнца, принимая во внимание, что $1 \text{ eo} \delta \approx 3 \cdot 10^7 \text{ c}$.

Примечние. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ — радиус шара. (8 кл.)

Ф344. Заряд $Q$ равномерно распределен. по тонкому диэлектрическому кольцу, которое лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Индукция магнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца, меняется от 0 до $B_0$. Какую угловую скорость braшения прибретает при этом кольцо? Масса кольца равна $m$. (9 кл.)

Ф345. Оцените мощность двигателя, необходимую для поддержания в воздухе вертолет массы $M = 500 \text{ kg}$ с лопастями длиной $l = 3 \text{ m}$.

Считать, что вес воздуха под braшащимся лопастями движется однородным потоком вниз. (8—9 кл.)