Геометрические неравенства

65

co средней скоростью около 10 км/ч. Но значит ли это, что она мгновенно «выскакивает» из кристалла? Ничего подобного! Вакансия движется беспорядочно из стороны в сторону, и поэтому, хотя в течение одной секунды она 10¹⁰ раз меняет свое место, ее перемещение составляет всего 10 микрон. «Суетливость, пожалуйста, беспримерная», — замечает по этому поводу Я. Е. Гегузин. Атомы ведут себя способнее вакансии, но и они миллионы раз в секунду меняют свой места.

Человек может воздействовать на движение atomов и вакансии, может управлять диффузией в кристалле, как ему нужно: вводить примеси в кристалл, менять прочность металла, скленать и сваривать металлы и другие твердые тела и т. д. и т. п.

Диффузию в газе или в жидкости легко увидеть: дым рассеивает в воздухе, черница расплывается в воде — все это процессы диффузии. В твердых телах процессы диффузии происходит медленнее, и их нельзя увидеть непосредственно, как исчезающий в воздухе стружку дыма. Книга Я. Е. Гегузина хорошо тем, что она дает читатель возможность увидеть, почувствовать, как бы руками пошупать невидимые глаза процессы диффузии в твердом теле. Автор описывает опыты, в которых становится видимым результат движения atomов или вакансии в твердых телах. Опыты эти порой удивительны: изогнутый кристалл сам разгибается только оттого, что его нагрели; грузик на металлической проволоке полетет вверх; atoms катятся по поверхности кристалла, как перекати-поле (степенное растение, отрывалося от корня и переносимое ветром по степи); одно вещество распраняется по поверхности другого, как будто развертывается ковер; крупинки золота на поверхности кристалла каменной соли «подают» друг друга; в другом опыте крупинки золота мечут по поверхности кристалла каменной соли; кристалл течет, как жидкость, а жидкость разрушается хруплко, как стекло; движущийся в кристалле слюды atom урана как бы записьает свой путь, и по этой записи исследовать определёт возраст кристалла слюды.

Как пишет Я. Е. Гегузин, «спытые эти непременно надо видеть. Увидеть, почувствовать и прийти в восторг». Автор так увлечен своей темой, что и читатель заражается этим восторгом, этой радостью исследовать, открывающего новое.

Автор не стремится дать закономную картину описываемого явления. Первое из-заные книги вышло четыре года назад. Второе издание автор дополил новым материалом, добавил главу о квантовой диффузии (не самую удачную в книге), но и этот раз, заканчивающий подчеркивает, как много еще надо узнать, увидеть, исследовать.

Какждый из очередков — это самостояльный рассказ, но все они связаны единством темы: физическая существость процесса диффузии, возможность воздействать на этот процесс, богатство явлений диффузии в кристаллах. Множество ярких, наглядных аналогий, заполняющих образов, примеров делаются книгу интересной и увлекательной. Жаль только, что рисунки в книге не всегда столь наглядны, как их описание.

Хотя автор оговоривает, что он ограничивает тему книги только диффузей, на самом деле ее содержание шире: из этой книги можно почепить многоство сведения и о строении кристаллов, и он новых эксperиментальных фактах, и о методах физической статистики и кинетики. Книга написана ярко, живо, увлекательно; несомненно, она доставит удобольствие читателю.

M. П. Шаскольская

Геометрические неравенства

1. Обозначим через $m_a$, $m_b$, $m_c$ длины медиан, проведенных к сторонам $a$, $b$, $c$ треугольника. Доказите, что

$$\frac{3}{8}(ab + bc + ca) \leq m_a m_b + m_c m_a \leq \frac{5}{4}(ab + bc + ca).$$

Существует недоказанное предположение, что коэффициент 3/8 можно заменить на 9/20.

2. Обозначим через $h_a$, $h_b$, $h_c$ длины высот, проведенных к сторонам $a$, $b$, $c$ треугольника ABC. Доказите, что

$$\left( a^2 + b^2 - h_c^2 \right)^{\frac{1}{2}} + \left( b^2 + c^2 - h_a^2 \right)^{\frac{1}{2}} + \left( c^2 + a^2 - h_b^2 \right)^{\frac{1}{2}} \leq 6R,$$

где $R$ радиус окружности описанной вокруг кристалла ABC.

3. Обозначим через $w_a$, $w_b$, $w_c$ длины биссертрис, проведенных к сторонам $a$, $b$, $c$ треугольника. Доказите, что

$$\frac{a}{w_b + w_c} + \frac{b}{w_c + w_a} + \frac{c}{w_a + w_b} \geq \sqrt{3},$$

$$\frac{w_a}{b + c} + \frac{w_b}{c + a} + \frac{w_c}{a + b} \leq \frac{3}{4} \sqrt{3}.$$

H. B.