Nút thắt trên bàn toán

6

Nút thắt là một phát minh cổ xưa, thậm chí còn cổ xưa hơn cả bánh xe, và sáng tạo đến mức khó có thể gọi là một phát minh. Trong một ngàn năm trước. Chúng ta sẽ nói về một số vấn đề và khám phá của lý thuyết màu đỏ này. Chúng tôi khuyên người đọc nên tích trữ một đoạn sóc có độ dài vừa đủ để “bằng chính đôi tay của mình” kiểm tra câu lệnh và giải bài toán xuất hiện trong văn bản theo đúng nghĩa đen.

§ 1. Alexander Đại đế có thể khám phá ra lý thuyết về nút thắt không?

Sách của các nhà sử học cổ đại đã lưu giữ cho chúng ta một truyền thuyết về việc vua Alexander của Macedonia, đi cùng quân đội của mình trong chiến dịch thắng lợi vào sâu trong châu Á qua thành phố Ba Tư, đã đến thăm ngôi đền và nhìn thấy một trong những điểm thu hút của Percy - một nút thắt được dệt bởi nhà hiền triết Gordius; Truyền thuyết kể rằng ai cởi được nút thắt này sẽ trở thành vua của vũ trụ. Vị vua trẻ cắt đứt mối quan hệ bằng một thanh kiếm.

Chúng ta nên ngưỡng mộ Alexander hay nên nhớ rằng với cùng một nhát kiếm, ông đã tự tước đi cơ hội trở thành người sáng lập ra lý thuyết về nút thắt, do cảm thấy tội lỗi?

Hình 1. Một bộ sưu tập nhỏ các nút thắt biển.

7

Nhưng chúng ta sẽ phóng đại: ngay cả khi Alexander biết rõ về toán học cổ đại (và rất có thể trường hợp này xảy ra - giáo viên của Alexander là Aristotle), tất nhiên, ông ấy sẽ ngạc nhiên khi biết rằng bài toán, từ lời giải mà ông ấy hết sức tránh né, là toán học. Hơn nữa, lời giải điều này bài toán chỉ có ở thời đại chúng ta, khoảng mười lăm năm trước, khi một phương pháp được phát minh ra giúp người ta có thể xác định bằng hình thức hoặc mô tả của một nút thắt xem nút thắt đó đã được cởi trói hay chưa.

§ 2. Kunstkamera của nút thắt

Chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với các nút thắt có nút biển như trong Hình 1*). Các đầu của nút vượt ra ngoài ranh giới của hình ảnh và được gắn vào đó. Tuy nhiên, khi nghiên cứu các nút thắt, sẽ thuận tiện khi xem xét rằng các đầu tự do của mỗi nút được kết nối với nhau; Sau thao tác như vậy, một nút thắt thông thường có hai đầu hoặc hai đầu lủng lẳng sẽ biến thành một chiếc vòng dệt.

Hình 2 cho thấy các nút “trừu tượng” như vậy đang nhận

*) Tranh của N. Pavlinov trong cuốn “Chuyện biển” của B. Zhitkov, M., “Văn học thiếu nhi”, 1972.

Từ một số nút thắt hàng hải trong Hình 1: nút vosperka được thể hiện trong Hình 2, a, nút mbol được thể hiện trong Hình 2, b, các nút thắt thẳng và nút thắt nữ (trong Hình 1, các nút thắt này có bốn đầu!) biến thành các nút thắt trong Hình 2, c và 2, z, hoặc thành móc (Hình 2, e và 2, e).

Ví dụ về nhắm mục tiêu được hiển thị trong Hình 3.

Trong lý thuyết về nút thắt, sự gắn kết được nghiên cứu ngang bằng với nút thắt; Thật không may, do thiếu không gian nên chúng tôi sẽ không thể nói về họ.

Hình 4 bổ sung cho thiết kế của chúng tôi các mẫu nút mới cùng với các biến thể toán học của chúng.

Ấn tượng đầu tiên của chúng ta về nút thắt dẫn chúng ta đến những định nghĩa sau:

Nút là một đường cong không gian khép kín không có đường tự giao nhau.

Căn chỉnh là một tập hợp gồm hai hoặc nhiều đường cong không gian khép kín rời rạc theo cặp và tự giao nhau.

Hình vẽ của tất cả các nút thắt mà chúng tôi đã kiểm tra đều chứa nhiều điểm – những điểm mà tại đó một số đoạn của đường biểu thị nút thắt giao nhau. Những điểm như vậy trong hình vẽ các nút thắt được gọi là điểm giao nhau - gấp đôi, gấp ba

Hình 2. Phép nhân đôi toán học của một số hải lý.

8

Hình 3. Một bộ sưu tập nhỏ các bánh răng.

hoặc $n$-gấp nếu chúng chứa hai, ba hoặc $n$ dòng. Tất cả các điểm giao nhau trong Hình 2 đều là gấp đôi; Điều này không phải ngẫu nhiên: luôn có thể tránh được ba điểm và các điểm có bội số cao hơn, cũng như sự trùng khớp của các đường và những “sự bất thường” khác của hình ảnh phẳng của một nút bằng cách chọn một “vị trí” thích hợp từ nơi chúng ta “nhìn” vào nút khi Hình 2).

Bất kỳ hình ảnh phẳng nào của một nút, tất cả nhiều điểm của bố cục đều là các điểm giao nhau kép, được gọi là nút diramm.

Tất nhiên, đối với mỗi điểm giao nhau trên sơ đồ nút, cần phải chỉ ra đường nào trong hai đường giao nhau tại điểm này vượt qua “trên” và đường nào “dưới” đường kia (thường là “điểm thấp” của hai đường đi qua, như được thực hiện trong Hình 2).

§ 3. Về nghệ thuật dệt hoa văn nhẫn quái vật

Kinh nghiệm hàng ngày cho chúng ta biết rằng bất kỳ nút thắt nào, thậm chí là nút thắt rất phức tạp, đều có thể được tháo gỡ bằng một chút kiên nhẫn. Nhưng hãy nhớ: khi tháo một nút thắt, theo quy luật, chúng ta sẽ thao túng các đầu của nó. Các nút thắt “trừu tượng” của chúng ta không có điểm kết thúc, và chúng ta nên kỳ vọng rằng nếu không bẻ “sợi dây” mà nút thắt được “kết nối”, chúng ta sẽ không thể tháo hầu hết các nút thắt mà chúng ta đã xem xét.

Hình 4. Nút thắt đơn, nơ và áo len được dệt từ một sợi.

9

Hình 5. Chiếc thang của Jacob có phải là một nút thắt tầm thường?

Theo định nghĩa, một vòng tròn cũng phải được coi là một nút - nút đơn giản nhất trong tất cả các nút, hay còn được gọi là nút tầm thường.

Nhìn vào nút thắt trên cùng trong Hình 1, bạn sẽ nhận thấy rằng nó có thể dễ dàng được cởi ra, trừ khi các vòng của nó che đi các bộ phận của đế tàu.

Bài tập 1. Chứng minh rằng nút trên ở Hình 2, 6 có thể gỡ rối và biến thành hình tròn.

Những nút thắt, giống như nút trên cùng, có thể được cởi trói được gọi là những mối ràng buộc của thế giới tầm thường, hoặc đơn giản là tầm thường.

Những người hâm mộ trò chơi nổi tiếng dùng cọc dây có được kinh nghiệm sâu rộng về nghệ thuật “dệt” những nút thắt tầm thường (nhưng thường rất phức tạp). Một trong những nút thắt này được gọi là “Cái thang của Jacob” được hiển thị trong Hình 5*).

Vì vậy, nút trên cùng, bậc thang của Jacob và vòng tròn là cùng một nút ở các khu vực khác nhau. Có các loại nút khác không? Và làm thế nào để phân biệt các nút?

§ 4. Nút thắt hoang dã và nút thắt thuần hóa

Nhưng trước khi bắt đầu chuyến hành trình nguy hiểm qua Biển Knots vô danh, hãy kiểm tra sức mạnh của con thuyền nhỏ của chúng ta - định nghĩa.

Chúng ta có nên xem xét các đường cong khép kín được mô tả trong

*) Phương pháp thắt nút này trên các ngón tay của hai bàn tay và các chi tiết khác về “trò chơi xâu dây” có thể được tìm thấy trong cuốn sách “Truy cập toán học” của M. Gardir, M., “Mir”, 1972, chương 22.

Hình 6. Hai nút thắt hoang dã. “Khung” màu sẽ có ích sau này.

Hình 7. Thắt nút trước gương.

Hình 6, a, b? Và chúng có phải là đường cong không? Không đi sâu vào chi tiết *), chúng ta phải nhận ra những cấu trúc kỳ lạ này có quyền được gọi là các đường cong và do đó là các nút. Nhưng với những nút thắt “hoang dã”, trái ngược với những nút thắt “thủ công”, tương tự như những nút thắt dây thông thường.

Một nút thắt tay có thể được rút gọn thành một đường đa tuyến không gian khép kín với số lượng liên kết hữu hạn và không có điểm tự giao nhau.

Tất cả các nút được hiển thị trong Hình 2 và 4 có thể được coi là thủ công: mỗi nút được chia thành một số hữu hạn các đoạn “gần như thẳng”. Mặt khác, rõ ràng là các nút trong Hình 6 không được thuần hóa, các nút như vậy được gọi là wild.

Các nút hoang dã có thể có các thuộc tính không mong muốn; ví dụ: nút thắt trong Hình 6, b **) được cởi trói, nhưng chỉ sau vô số thao tác liên tiếp: đầu tiên, vòng lặp $A_1$ phải được xóa khỏi vòng lặp $A_2$, sau đó là vòng lặp $A_2$ từ $A_3$, v.v. Không thể tháo nút thắt này theo nghĩa thông thường.

---

*) Một định nghĩa chặt chẽ về đường cong sẽ cần nhiều trang (ví dụ, xem cuốn sách của A. Parkhomenko “Đường thẳng là gì”, M., 1954).

**) Hình vẽ được lấy từ cuốn sách “Giới thiệu về lý thuyết nút thắt” của R. Crowell và R. Fox, M., “Mir”, 1967.

10

§ 5. Các loại nút có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau

Chúng tôi muốn lý thuyết nút thắt của mình bảo tồn ý tưởng ngây thơ về các nút thắt “buộc ngang nhau” mà tất cả chúng ta đều có. Điều này dẫn đến định nghĩa đầu tiên trong số hai định nghĩa (khác nhau) về loại của một nút.

Định nghĩa đầu tiên: Hai nút được cho là đồng vị hoặc có cùng một loại đồng vị, nếu một nút có thể được “gắn” vào một nút khác mà không cần cắt nó hoặc cho phép tự giao nhau.

Trong thực tế, tính đồng vị của hai nút thắt đôi khi có thể được chứng minh bằng cách sử dụng vòng dây hoặc một loạt sơ đồ hình vẽ. Ví dụ, như chúng ta đã biết, nút trên cùng là đồng vị với thang Jacob và cả hai đều đồng vị với vòng tròn. Đây là một ví dụ khác: một nút đơn (xem Hình 4, a, b) là đồng vị (kiểm tra nó!) của nút thắt đơn giản nhất sau một vòng tròn, như trong Hình 7, a. Do nó giống với đường viền của lá cỏ ba lá nên nút thắt này được gọi là cloverleaf hoặc shamrock. Hãy tự vẽ nút thắt “nơ đôi”; Khi được hai hoặc ba tuổi, bạn đã có thể chứng minh (bằng cách kéo đầu tự do của sợi dây) rằng “cung” (xem Hình 4, c, d) và “cung đôi” là đồng vị với một nút thắt duy nhất, và do đó với một chiếc lá cỏ ba lá.

Bài tập 2. Chứng minh rằng nút thắt thẳng (Hình 2, c) là đồng vị với nút vuông (Hình 8, a), và nút thắt của người phụ nữ là đồng vị với nút thắt của bà (Hình 2, d và 8, b).

11

Hình 8. Chín cuộc triển lãm nữa từ Kunstkamera của chúng tôi.

Định nghĩa thứ hai. Hai nút được cho là tương đương hoặc cùng loại nếu chúng đồng vị hoặc nếu một trong số chúng đồng vị với ảnh phản chiếu của nút kia.

Theo định nghĩa này, mỗi nút tương đương với hình ảnh phản chiếu của nó. Nhưng hình số tám thậm chí còn là đồng vị!

Bài tập 3. Chứng minh điều này bằng cách “buộc” nút thắt trong Hình 7, b (số 8 “trái”) thành số 8 “phải”.

Các nút, giống như hình 8, đồng vị với ảnh phản chiếu của chúng được gọi là nút phản chiếu. Có nút không nhân bản không? Đúng: vào năm 1914, nhà toán học người Đức Dehn, một trong những người sáng lập lý thuyết nút thắt, đã chứng minh bản chất không phản chiếu của lá cỏ ba lá (xem Hình 7, a). Nói cách khác, các nút tương đương không phải lúc nào cũng đồng vị (theo định nghĩa, các nút đồng vị là tương đương). Mặc dù nút vuông và nút granny rất giống nhau (Hình 8a và 8b), chúng không những không đồng vị mà còn không tương đương. Bằng chứng chặt chẽ về điều này

các phát biểu phức tạp hơn, ví dụ, chứng minh tính không tầm thường của số tám (hoặc lá cỏ ba lá). Tuy nhiên, không khó để chỉ ra “lý do” cho sự không tương đương của chúng: nó nằm ở bản chất không phản chiếu của lá cỏ ba lá (chú ý đến Bài tập 9 ở § 8). Các nút thắt của tình bạn thật (Hình 8, c) và giả (Hình 8, d) (có như vậy!), nút thắt nơ, khăn xếp kiểu Thổ Nhĩ Kỳ và hoa hồng Trung Quốc (Hình 8, e, f, g), nút thắt của người tải và thòng lọng (Hình 8, h, i) cũng không tương đương nhau.

§ 6. Bất biến nút thắt

Các nút được phân biệt theo tiêu chí nào? Chỉ cảm nhận rằng hai nút thắt là “tương tự” hoặc “không giống nhau” là chưa đủ: ngay cả những nút thắt đơn giản như lá cỏ ba lá và hình số 8 cũng có thể được mô tả và buộc theo nhiều cách khác nhau (chúng ta đã so sánh Hình 4, b, d và 2, a với Hình 7, a và 7, b). Đối với chúng tôi, chỉ những đặc điểm và thuộc tính của các nút là quan trọng, không phụ thuộc vào phương pháp triển khai hoặc biểu diễn của chúng và do đó trùng khớp với tất cả các nút cùng loại.

12

Hình 9. Nút này có phải là một đường gãy năm liên kết khép kín không?

Những đặc điểm như vậy được gọi là bất biến nút *).

Hầu hết các bất biến đã biết đều khá khó xác định và tính toán.

Bất biến đại số được nghiên cứu và thuận tiện nhất - nhóm nút - được tính theo các quy tắc được mô tả chính xác, về nguyên tắc, bất kỳ học sinh trung học nào cũng có thể ghi nhớ; tuy nhiên, để hiểu cả những quy tắc này và (tất nhiên là quan trọng hơn) định nghĩa của các nhóm nút, bạn cần biết phần đầu của cấu trúc liên kết và các phép tính đại số. Sử dụng nhóm nút, người ta thường chứng minh rằng một nút là không tầm thường hoặc hai nút không tương đương.

*) Bất biến (một từ có nguồn gốc Latin) - không thay đổi, không phụ thuộc vào hình thức.

Sẽ thú vị hơn nhiều khi làm quen với các bất biến số đơn giản nhất, bao gồm số lần giao nhau tối thiểu và loại nút thắt. Đối với các nút khá đơn giản, giá trị của các bất biến này có thể được tìm thấy ngay từ sơ đồ nút; nhưng thường rất khó chứng minh số tìm được là giá trị của bất biến.

A. Số lần đi qua nút tối thiểu

Từ tất cả các sơ đồ (xem § 2) của nút B, chúng tôi chọn sơ đồ có số lượng giao cắt là tối thiểu. Số M (B) này được gọi là số lần giao nhau tối thiểu của nút B.

Pravante có 4.1. Chứng minh rằng M(A) = 0 khi và chỉ nếu nút A là hóa trị ba.

2. Chứng minh rằng không có nút A nào mà M(A) = 1 hoặc M(A) = 2.

3. Trong § 5, người ta đã đề cập (mặc dù tôi không chứng minh điều đó) rằng hình tròn, lá cỏ ba lá và số tám không tương đương theo từng cặp. Sử dụng điều này, chứng minh rằng các đẳng thức M (A) = 3 và M (B) = 4 được thỏa mãn khi và chỉ nếu nút A tương đương với lá klever và nút B tương đương với lá 8. Do đó, chúng tôi đã thu được thông tin toàn diện về các nút có số lần giao cắt tối thiểu không vượt quá 4.

B. “Độ đứt” của nút Theo định nghĩa về nút thắt tay (§ 4), chúng ta hãy tưởng tượng nút A

Hình 10. Nút thắt nhỏ trên quả cầu, lá klever trên chiếc bánh rán và hình số tám trên chiếc bánh quy xoắn.

13

Hình 11. Quả cầu có tay cầm và dây tori.

ở dạng một đường đứt nét khép kín với số lượng liên kết nhỏ nhất có thể. Hãy gọi số này là I (A) là “độ hỏng” của nút A.

Độ căng 5. Tính toán độ “độ đứt” của nút thắt, như trong Hình 9 (đáp số: tám). “Độ gãy” của hình số tám là gì? Có ba, bốn nút thắt và gót chân bị “gãy” không?

B. “Số bánh kẹo” của nút

Trong số tất cả các nút, chỉ có thể vẽ một vòng tròn trên một hình cầu không có điểm tự giao nhau; Một chiếc lá kleve có thể được vẽ trên một chiếc bánh rán (hình xuyến) và đối với hình số tám, bạn cần một chiếc bánh quy xoắn; cách đặt các nút này trên các bề mặt như vậy có thể được xem trong Hình 10, a, b, c.

Cả hình xuyến và “bánh quy xoắn” đều được lấy từ một quả cầu hình nấm, trên đó các “tay cầm” hình nấm rỗng được dán vào đó (xem Hình 11, a, b).

Số lượng tay cầm nhỏ nhất cần được dán vào hình cầu để trên bề mặt thu được có thể đặt nút A mà không có điểm tự giao nhau - ngoại trừ bất biến K (A) của nút A.

Lực căng 6. Những nút thắt có K (A) = 1 được gọi là nếp nhăn. Xây dựng tất cả các nút Toric với số giao điểm tối thiểu bằng 3, 5, 7.

Bất biến K(A) không có mục đích chung. Chúng tôi sẽ gọi đây là “số bánh kẹo” của nút. Để định nghĩa K(A) trở nên hoàn toàn chính xác, cần phải

14

Hình 13. “Nút viền” của hình cầu có tay cầm.

nhưng hãy chứng minh rằng đối với bất kỳ nút nào cũng có ít nhất một hình cầu có tay cầm mà trên đó nút này có thể được đặt mà không có điểm tự giao nhau.

Bài tập 7. Hãy nghĩ cách xây dựng một hình cầu như vậy có tay cầm bằng sơ đồ nút (gợi ý: Hình 12).

§ 7. Loại của một nút là bất biến số quan trọng nhất

Đằng sau sự đơn giản của định nghĩa cuối cùng là một nhược điểm: bất kỳ nút thắt nào cũng có thể được đặt trên một hình xuyến, bạn chỉ cần “buộc” hình xuyến bằng một nút thắt như vậy! (Có thể xem cách thực hiện, ví dụ, từ Hình 11, 8, 2.) Do đó, khi xác định “số bánh kẹo”, cần đảm bảo rằng các tay cầm của quả cầu “không bị trói”: ví dụ, chúng rất nhỏ, nằm rải rác trên bề mặt của quả cầu cách xa nhau và có hình dạng “nửa chiếc bánh rán” (như trong Hình 11, 6).

Ngược lại, khi xây dựng, có lẽ, hữu ích nhất trong số các bất biến số, chúng ta xem xét chính xác các hình cầu với sự sắp xếp tùy ý của các tay cầm (các tay cầm có thể đan xen, buộc và khóa liên động); và một hạn chế được áp đặt đối với phương pháp đặt một nút trên một bề mặt như vậy: họ yêu cầu rằng sau khi cắt dọc theo nút, bề mặt này sẽ vỡ thành hai phần. Ví dụ, rõ ràng là sau khi cắt hình xuyến và “bánh quy xoắn” dọc theo các nút trong Hình 10, 6, 8 (hãy kiểm tra xem!) bạn chỉ nhận được

Hình 14. Việc thay đổi vị trí của các nút không làm thay đổi thành phần của chúng.

15

Hình 15. Các dạng khác nhau của một nút.

một “mảnh” bề mặt. Những chiếc bánh quy xoắn, được cắt dọc theo các đường viền nút trong Hình 13, a, b, mỗi phần chia thành hai phần - phần trên, hướng về phía chúng ta và phần dưới (phần đầu tiên là lá kleve và phần thứ hai là hình số tám).

Loại P (A) của nút A là một nửa số tay cầm nhỏ nhất trên một hình cầu cho phép “cắt” vị trí của nút A.

8. Chứng minh rằng khi cắt dưới dạng một hình xuyến được kết nối góc dọc theo bất kỳ nút nào trên đó, bạn chỉ có thể nhận được một “mảnh” được kết nối của bề mặt. (Cùng với các hình 13, a, b, khẳng định này chứng tỏ chi của lá và số 8 bằng một.)

Chúng ta vẫn cần chứng minh khả năng sắp xếp “cắt” bất kỳ nút nào trên ít nhất một hình cầu có tay cầm; Ngoài ra, định nghĩa gợi ý rằng “số lượng tay cầm ít nhất” luôn là số chẵn (điều này thực sự đúng - xem bài tập 12 trong § 10). Chúng ta sẽ quay lại những câu hỏi này trong § 10, nơi chúng ta sẽ chứng minh tính chất đáng chú ý nhất của loại nút thắt.

§ 8. Số học về nút thắt

Nếu hai nút thắt được buộc cạnh nhau trên cùng một sợi dây thì nút thắt đó được gọi là sản phẩm hoặc thành phần của hai nút thắt này.

Hoạt động của thành phần nút rất giống với hoạt động nhân các số nguyên.

1. Vai trò của “đơn vị” trong “phép nhân” của hai nút thắt rõ ràng là do nút trupal – hình tròn. Ký hiệu nó bằng chữ E và thành phần của hai nút A và B bằng A # B, chúng ta thu được A = E # A = A # E (xem Hình 14, a).

2. Thành phần là một phép toán giao hoán:

A # B = B # A.

Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng cách chạy một nút thắt “xuyên qua” nút thắt khác dọc theo sợi dây (ví dụ, xem Hình 14, b-d).

Khi nới lỏng 9. Nút thắt vuông và nút babushkin có thể được phân tách thành hai nút thắt. Làm thế nào để thực hiện điều này và sự khác biệt giữa hai cách phân tách này là gì?

Tính giao hoán của các chế phẩm thường được sử dụng thuận tiện để chứng minh tính đồng vị của các nút; ví dụ, ba nút trong Hình 15, a, b, c là đồng vị, vì… Nhưng sẽ thú vị hơn nếu bạn hiểu được điều thực tế này.

Thành phần của các nút thắt cũng có thể được xác định theo cách dễ hiểu đối với trẻ em - những người yêu thích các nút thắt chắc chắn hơn, thường là trên dây giày của chính chúng: nút đầu tiên được buộc, sau đó là nút thứ hai, rồi nút thứ ba, v.v.

U nới lỏng 10. Sử dụng ý tưởng “di chuyển” một nút dọc theo sợi dây, chứng minh rằng nút thắt phức tạp như vậy là đồng vị với thành phần các nút cấu thành của nó. Nói cách khác, định nghĩa mới về bố cục về cơ bản trùng khớp với định nghĩa cũ.

3. Nút B chia nút A nếu nó tìm thấy nút C sao cho

A = B # C.

Giống như sự thống nhất, nút ba chỉ phân chia thành chính nó.

16

Nếu không, không một nút thắt tầm thường nào có thể được tháo ra bằng cách buộc một nút khác bên cạnh nó.

Đây là một tuyên bố rõ ràng trong bằng chứng thoạt nhìn. Đây là ý tưởng cho một bằng chứng khả thi: giả sử rằng $A \# B = E$; Chúng ta hãy buộc tuần tự vô số cặp nút thắt $A$ và $B$. Chúng ta nhận được nút hoang dã như trong Hình 6, $a$. Nó có thể được cởi trói dễ dàng - để làm được điều này, chỉ cần đồng thời cởi vô số cặp $A_k$, $B_k$ bên trong tất cả các hình thang màu đỏ là đủ (hãy nhớ rằng $A_k = A$, $B_k = B$ và $A \# B = E$). Nếu chúng ta cũng đồng thời tháo tất cả các cặp $(B_1, A_2)$, $(B_2, A_3)$, … bên trong các hình thang đồng bộ, chúng ta thu được nút thắt $A_1$ (= $A$); do đó, nó được hoàn tác! Vì vậy, $A = E$, và do đó, $B = E$.

4. Một nút được gọi là đơn giản nếu nó không tầm thường và chỉ được chia thành một nút tầm thường và thành các nút đồng vị với chính nó.

Giống như số nguyên tố, có vô số nút nguyên tố. Chúng tôi sẽ cho bạn biết thêm về các nút đơn giản trong § 9.

5. Giống như một số tự nhiên, bất kỳ nút không tầm thường nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của một số hữu hạn các nút đơn giản và cách biểu diễn như vậy là duy nhất.

Bằng chứng về tính chất 4 và 5 được tìm thấy tương đối gần đây - vào năm 1949 (khả năng phân tách một nút thành các nút đơn giản sẽ được thảo luận trong đoạn tiếp theo; chúng tôi không chứng minh cách biểu diễn duy nhất như vậy).

§ 9. Về những nút thắt đơn giản

Sự tồn tại của những nút thắt đơn giản đã được chứng minh hơn hai mươi năm sau khi những nút thắt đơn giản được thu thập và hệ thống hóa; vào năm 1926, nhà toán học người Mỹ Alexaan Holder (một trong những người sáng lập lý thuyết nút thắt) và Briggs đã xuất bản một bảng biểu đồ nút thắt (lúc đó chúng chưa được gọi là đơn giản), tương tự như bảng số nguyên tố*) (tr. 17). Vị trí của một nút trong bảng trước hết được xác định bởi số lần giao nhau tối thiểu của nó và giữa các nút có cùng số - trước hết là bởi “số bánh kẹo” của nút, sau đó là bởi các bất biến khác vẫn còn xa lạ với chúng ta.

Bài tập 11. Tìm tất cả các nút đơn giản trong Hình 2-8 và sơ đồ của chúng trong bảng. Tính giá trị các bất biến M, I, K, P cho các nút này.

Bằng chứng về cả sự tồn tại của các nút đơn giản và khả năng phân tách của bất kỳ nút không tầm thường nào thành một số hữu hạn các nút đơn giản đều dựa trên tính chất thay thế của loại nút: loại thành phần của hai nút bằng tổng của loại “yếu tố”, đó là:

$$P(A \# B) = P(A) + P(B).$$

Chúng ta đã nói về thuộc tính này trong § 10 và bây giờ chúng ta sẽ sử dụng nó hai lần.

1°. Vì vậy, hãy xem xét nút không tầm thường $A$. Nếu nó đơn giản thì sự tồn tại của các nút đơn giản đã được chứng minh, cũng như khả năng phân tách của nút $A$ thành một số hữu hạn các nút đơn giản. Mặt khác, chúng tôi phân tách $A$ thành một tập hợp gồm hai nút, sau đó, nếu có thể, chúng tôi phân tách nút nào trong số các nút “yếu tố”, v.v. Không quá $(P(A) - 1)$ bước, chúng ta sẽ có được bản mở rộng mà chúng ta cần - loại của mỗi “nhân tố” (không tầm thường!) Ít nhất là 1 và tổng của tất cả chúng là $P(A)$.

2°. Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một bằng chứng cực kỳ ngắn gọn về nhận định “không có nút thắt tầm thường nào có thể được cởi bằng cách buộc một nút khác bên cạnh nó” (xem § 8, tính chất 3). Thật vậy, nếu $A \# B = E$, thì $P(A \# B) = P(A) + P(B) = 0$, vậy $P(A) = P(B) = 0$, và do đó $A = B = E$.

§ 10. Giới tính và thành phần

Trước khi chuyển sang chứng minh đẳng thức $P(A \# B) = P(A) + P(B)$, chúng ta quay lại nhận xét ở cuối § 7 và cố gắng thiết lập một lỗ hổng trong định nghĩa về loại nút thắt.

Vì vậy, hãy chứng minh rằng đối với một nút nhất định luôn có ít nhất một

18

Hình 16. Phim hai mặt, căng trên một tờ keo và sơn mỗi mặt bằng một màu khác nhau.

một quả cầu có tay cầm trên đó có thể đặt nút này để nó chia toàn bộ bề mặt thành hai “mảnh”. Hãy lấy nút thắt của chúng ta và “kéo” một bề mặt hai mặt lên trên nó (giống như màng xà phòng trên khung dây); một trong những phương pháp “kéo” như vậy được mô tả trong chương 9 của cuốn sách đã được đề cập bởi M. Gardner (xem skoku ở trang 9). Cách thực hiện điều này, ví dụ, đối với lá kleve, có thể được xem trong Hình 16, b-g.

Nhận xét e. Một bề mặt có cạnh là một nút nhất định sẽ không phải lúc nào cũng có hai mặt; Lá Moebus trong Hình 16, a là một ví dụ về bề mặt một mặt được kéo căng trên một nút thắt nhỏ!

Chúng tôi sẽ giả định rằng màng mà chúng tôi “kéo dài” lên nút thắt là gấp đôi (theo nghĩa mà cụm từ “tờ giấy đôi” được sử dụng), do đó được dán lại với nhau ở các cạnh, nghĩa là, một thứ tương tự như một quả bóng bay xì hơi. Bây giờ chúng ta hãy thổi phồng “quả bóng bay” này; chúng ta sẽ có một hình cầu có tay cầm mà nút của chúng ta được “vẽ”. Nếu bạn cắt “quả bóng” dọc theo nút thắt, nó sẽ tách thành hai màng và dán lại với nhau.

Bài tập 12. Hãy giới thiệu khái niệm “hình cầu có cạnh có tay cầm”: trên hình cầu chúng ta đặt một “cạnh” dọc theo đường xích đạo, trên mỗi tay cầm - hai hình ảnh đối diện nhau và dán các tay cầm, nối các đầu của kanten trên quả cầu và trên tay cầm (tay cầm có thể xoắn, như trong Hình 13, a, b). Chứng minh rằng nếu một nút thắt cắt một hình cầu có số tay cầm không khí nhỏ nhất thì nút thắt này có thể được thực hiện như một đường viền cho hình cầu của chúng ta (Hình 16, ví dụ có thể dùng làm minh họa).

Bài tập 13. Chứng minh rằng cạnh của một hình cầu có số tay cầm lẻ “cắt” hình cầu này thành hai mảnh sẽ luôn không phải là một nút thắt mà là một cái móc.

19

Hình 17. Quả cầu có tay cầm được uốn cong như thế nào?

Từ bài tập 12 và 13, có thể thấy rằng loại của bất kỳ nút nào cũng là một số nguyên.

Sau khi loại bỏ sự mơ hồ trong định nghĩa về loại của một nút, giờ đây chúng tôi chứng minh rằng loại của thành phần của hai nút bằng tổng của loại của các thành phần.

Không khó để chứng minh bất đẳng thức P (A ≠ B) ≤ P (A) + P (B): lấy hai quả cầu có tay cầm 2P (A) và 2P (B) và các nút A và B nằm trên chúng được “cắt”, và nối các quả cầu thành một “quả tạ” có 2 tay cầm (P(A) + P(B)) sao cho các nút tạo thành bố cục A # B (xem hình 17 chẳng hạn). Rõ ràng, nút A#B cắt “quả tạ”.

Hình 18. Cách “điều chỉnh” hai bề mặt có nút A và B từ một bề mặt có nút A#B

2* 19