Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

58

Phương án 3 (F)

1. Giải bất đẳng thức

$$5x^2 \cdot 4^{8x^2+3x} + 8x - 2^{16x^2+6x} > 10x^2 - 2 + x \cdot 4^{8x^2+3x+1}.$$

2. Đường sinh của một hình nón cụt đều tạo với mặt phẳng đáy một góc bao nhiêu, nếu $r$ và $r\sqrt{30}$ lần lượt là bán kính của các quả cầu nội tiếp trong hình nón cụt này và ngoại tiếp xung quanh nó?

3. Giải phương trình

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\cos^2 x\right) = 1 - \cos(\pi\sin 2x).$$

4. Giải phương trình

$$\sqrt{\log_x\sqrt{2x}\,\log_2 x} = -1.$$

Tùy chọn 4 (F)

1. Giải phương trình

$$(\log_2 x)^3(\log_3 x - 2\log_3 2)\log_5 2 =$$
$$= (11\log_5 x - 8\log_5 2)\log_2 x \cdot \log_3 2 -$$
$$- 16\log_3 2 \cdot \log_5 2.$$

2. Trong một số kim tự tháp không đều, tất cả các góc nhị diện bên trong ở đáy đều bằng $\alpha$. Diện tích của đáy là $S$ và chu vi của đáy là $2p$. Tìm thể tích và tổng bề mặt của kim tự tháp này.

3. Giải phương trình

$$|\mathrm{tg}\,x + a\,\mathrm{ctg}\,x| = \frac{4}{\sqrt{3}},$$

ở đâu $a \neq \pm 1$.

4. Giải bất đẳng thức

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{(x^6-2x^3+1)^{\frac12}} < 4^{\frac{x-1}{2}}.$$

Phương án 5 (X, B)

1. Giải bất đẳng thức

$$\log_{0{,}25}\frac{2x-1}{x+1} < -2\cos 36^\circ\cos 72^\circ.$$

2. Trong một hình nón tròn bên phải, đường sinh là $l$ và chiều cao bằng $m$ lần bán kính của quả cầu nội tiếp trong hình nón. Tìm tỉ số giữa tổng bề mặt của hình nón và bề mặt của hình cầu ngoại tiếp hình nón này.

3. Khi khoan giếng, mỗi mét xuyên sâu tiếp theo có giá cao hơn 4 rúp so với mét trước. Kết quả là, việc khoan mét cuối cùng và mét thứ ba tính từ cuối, gộp lại, có chi phí tương đương với chi phí của toàn bộ giếng nếu mỗi mét khoan, bất kể độ sâu, có giá bằng với mét khoan đầu tiên. Chi phí trung bình của một mét thâm nhập

tương đương 100 rúp. Độ sâu của giếng là bao nhiêu?

4. a) Chứng minh dấu hiệu hai mặt phẳng song song.

b) Đưa ra định nghĩa, liệt kê tất cả các tính chất và vẽ đồ thị của hàm $y = \mathrm{tg}\,x$.

Yu. S. Baburin

Mátxcơva

Viện điện tử

kỹ thuật cơ khí

Vào «Kvant», 1973, số 7, chúng ta đã nói về MIEM. Trong số này, chúng tôi xuất bản các phiên bản của bài thi viết đầu vào môn toán tại MIEM năm 1974.

Tùy chọn 1

1. Hai đội cùng làm việc phải gieo một cánh đồng có 234 $га$ trong 117 giờ. Tuy nhiên, khi cây đầu tiên gieo 39 $га$ thì năng suất tăng 6,25 $га/ч$. Khi đội thứ hai gieo 39 $га$, năng suất cũng tăng 1,5 $га/ч$. Kết quả là cánh đồng được gieo trong $T=55$ giờ. Tìm năng suất của mỗi lữ đoàn. Tìm tất cả các giá trị của $T$ mà bài toán có lời giải.

2. Giải phương trình

$$2(\cos x + \sin x)\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \cos 2x.$$

3. Giải bất đẳng thức

$$\log_{(x+1)^2}(x+3) > 1.$$

4. Tại những giá trị nào của $a$ là nghiệm của phương trình

$$x^2 - (2a+1)x + 3a = 0$$

nằm giữa số 1 và số 4?

5. Trong một hình chóp tứ giác đều, một mặt phẳng được vẽ qua cạnh của đáy, vuông góc với mặt đối diện và chia mặt này thành một hình tam giác và một hình thang, có diện tích theo tỷ lệ 1:3. Xác định tổng bề mặt của kim tự tháp nếu cạnh đáy của nó là $a$.

Tùy chọn 2

1. Người lái xe phải vận chuyển 120 chiếc máy từ thành phố này sang thành phố khác. Sau khi vận chuyển 48 máy, anh được cấp cho một chiếc xe tải khác mạnh hơn, tính thêm 4 máy mỗi chuyến. Kết quả là tổng số chuyến đi của tài xế đã giảm đi 3 chuyến. Chiếc xe tải đầu tiên đã chở bao nhiêu máy trong một chuyến đi?

2. Giải phương trình

$$1 - 3\cos x + \cos 2x = \frac{\mathrm{cosec}(\pi - x)}{\mathrm{ctg}\,2x - \mathrm{ctg}\,x}.$$

3. Giải bất đẳng thức

$$2x + \sqrt{a^2 - x^2} > 0.$$