Bài toán M336—M340; F348—F352

49

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 10 năm 1975 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M336, M337” hoặc “…F348”. Lời giải bài toán cho từng môn học [toán học và vật lý], cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên phong bì ghi: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi đã hứa sẽ cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. bài toán khó khăn nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Trong số này, “Vấn đề «Kvant» bao gồm bài toán tối ưu hóa mới nhất của All-Union và những khái quát hóa của chúng.

Bài toán

M336 — M340; F348—F352

M336. Trong mặt phẳng đã cho có một tập hữu hạn các đa giác, mỗi đa giác có một điểm chung. Chứng minh rằng luôn có một đường thẳng có điểm chung với mỗi đa giác này. (10 lớp)

S. V. Fomin

M337. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh 1. Người chơi thứ nhất chọn điểm X trên cạnh AB, người chơi thứ hai chọn điểm Y trên cạnh BC, sau đó người chơi thứ nhất chọn điểm Z trên cạnh AC.

a) Mục tiêu của người chơi thứ nhất là có được hình tam giác XYZ có diện tích lớn nhất, người chơi thứ hai - có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất mà cái đầu tiên có thể cung cấp là bao nhiêu?

b) Mục tiêu của người chơi thứ nhất là lấy được tam giác XYZ có chu vi lớn nhất, người chơi thứ hai - có chu vi lớn nhất. Chu vi nhỏ nhất mà cái đầu tiên có thể cung cấp là bao nhiêu? (lớp 8-9)

MD Bronstein

M338. Một số số không, số một và số hai được viết trên bảng. Được phép xóa hai số không bằng nhau và viết một số khác với số đã xóa (2 gộp 0 và 1, 1 gộp 0 và 2, 0 gộp 1 và 2). Chứng minh rằng nếu kết quả của một số thao tác như vậy mà chỉ còn lại một số trên bảng thì nó không phụ thuộc vào thứ tự xóa. (lớp 8 và lớp 10)

S. V. Fomin

M339. Cho một dải nằm ngang trên một mặt phẳng, các cạnh của nó là các đường thẳng song song và n đường thẳng cắt dải này. Hai đường thẳng nào trong số n đường thẳng này cắt nhau trong?

50

ba sọc và không có ba sọc nào đi qua cùng một điểm. Khoảng cách là tất cả các đường đi bắt đầu từ mép dưới của dải, đi dọc theo các đường thẳng này và kết thúc ở mép trên, có tính chất sau: đi dọc theo đường này, chúng ta luôn đi lên: khi đến điểm giao nhau của các đường thẳng, chúng ta phải di chuyển đến một đường thẳng khác. Chứng minh rằng trong số những con đường đó

a) có một đường dẫn bao gồm ít nhất $n$ đoạn;
b) có một đường đi qua nhiều nhất $\frac{n}{2} + 1$ đường thẳng;
b) có một đường đi đi qua tất cả các đường thẳng $n$. (lớp 8-9)

A. V. Karzanov

M340. Mỗi ô của bảng hình chữ nhật chứa một số thực. Một số ô trong bảng được gọi là ô saddle nếu số trong đó không nhỏ hơn các số khác trong dòng của nó.

a) Cho biết bảng $T$ bất kỳ bảng $2 \times 2$ nào nhận bảng $T$ tại giao điểm của hai hàng và hai cột đều có một ô yên ngựa. Chứng minh rằng bảng $T$ cũng có ô yên ngựa.

b) Gọi $a_1, a_2, \dots, a_m, b_1, b_2, \dots, b_n$ là số tùy ý, $p_1, p_2, \dots, p_m, q_1, q_2, \dots, q_n$ là số dương. Chứng minh rằng bảng $m \times n$, tại giao điểm của hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ chứa số $\frac{a_i + b_j}{p_i + q_j}$, có một ô yên ngựa.

Một trong lời giải bài toán 6) có thể đạt được bằng cách sử dụng a). Tuy nhiên, hãy nghĩ cách giải quyết bài toán này theo cách khác. (10 lớp)

V. P. Gribere

F348. Tàu vũ trụ tiếp cận Mặt trăng theo quỹ đạo parabol, gần như chạm vào bề mặt Mặt trăng. Để chuyển sang quỹ đạo tròn dần dần (tức là quỹ đạo tròn rất gần bề mặt Mặt trăng), tại thời điểm gần Mặt trăng nhất, động cơ giảm tốc sẽ được bật. Xác định tốc độ của tàu sẽ thay đổi bao nhiêu khi thực hiện thao tác này. Gia tốc trọng trường trên bề mặt Mặt trăng $g_{\perp} \approx 1,7 \text{ m/c}^2$, bán kính Mặt trăng $R_{\perp} \approx 1,7 \cdot 10^6 \text{ m}$.

Câu hỏi bổ sung. Hãy thử ước tính phần khối lượng đầu tiên của con tàu sẽ được dự trữ nhiên liệu nếu động cơ phun ra các sản phẩm có tốc độ tương đối $v = 4 \cdot 10^3 \text{ m/c}$. (10 lớp)

F349. Một kilomol khí đơn nguyên tử lý tưởng trong điều kiện bình thường được chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 theo hai cách: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$ và $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ (xem Hình 1). Tìm tỉ số nhiệt lượng cần truyền cho khí trong hai quá trình này. (9 lớp)

F350. Tìm sự phụ thuộc của độ giảm áp suất vào điện trở $R$ trong mạch như hình 2 vào giá trị của điện trở này. E.m.f. tất cả các nguồn đều bằng $\mathcal{E}$, điện trở trong của chúng là $r$. Hãy xem xét diode lý tưởng (điện trở của nó