Lời giải bài toán M301— M303

51

theo hướng thuận nó bằng 0 và theo hướng ngược lại nó lớn vô cùng).
(lớp 9-10)

Cơm. 2.

F351. Khi một quả bóng đá chạm nhẹ vào tường, nó sẽ bị biến dạng, như trong Hình 3. Trong trường hợp này, độ biến dạng $x$ của quả bóng nhỏ hơn nhiều so với bán kính của nó, và chúng ta có thể, với một xấp xỉ tốt, giả sử rằng áp suất $p$ của tác động lên quả bóng không thay đổi trong quá trình va chạm.

Bỏ qua độ đàn hồi của lốp, ước tính thời gian quả bóng va vào tường. Tiến hành tính toán số cho trường hợp khối lượng của quả bóng là $m=0,5$ kg, áp suất trong nó là $p=2$ atm và bán kính là $R=12,5$ cm. (10 ô)

Cơm. 3.

F352. Để điều chỉnh điện áp trên tải, một mạch điện được lắp ráp như hình 4. Điện trở của tải và điện trở điều chỉnh bằng $R$. Tải được kết nối với điện trở polyvin. Điện áp $U_{bx}$ ở đầu vào của mạch tăng gấp đôi. Làm thế nào để thay đổi vị trí của điện trở sao cho điện áp trên tải không đổi? (8 lớp)

Cơm. 4.

Lời giải bài toán
M301—M303

M301. Có 2n thùy trên mặt phẳng - n xanh và n đỏ và không có ba thùy nào nằm trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng có thể kiểm tra được n đoạn thẳng, mỗi đoạn có một đầu đi vào lỗ đỏ, đầu kia vào lỗ xanh và không có hai đoạn thẳng nào có điểm chung.

Chúng ta hãy gọi hệ thống này là phần mở của các đoạn $n$ sao cho mỗi đoạn có một đầu ở đoạn màu đỏ, đầu kia ở đoạn màu xanh lam và không có hai đoạn nào kéo dài từ cùng một điểm. Để xây dựng một hệ thống, bằng cách nào đó, chúng ta cần chia 2n điểm thành các cặp $n$ - một màu đỏ và một màu xanh lam trong mỗi cặp - và nối các điểm của mỗi cặp bằng một đoạn.

Chúng ta cần tìm một hệ thống có các đoạn không có điểm chung với nhau. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng một hệ thống phù hợp mà tổng độ dài của các đoạn là nhỏ nhất có thể (với 2n điểm đã cho). Thật vậy, chúng ta hãy có một hệ thống như vậy với tổng chiều dài tối thiểu của đoạn -

52

cov. Hãy chứng minh rằng tất cả các đoạn thẳng của nó không có điểm chung. Giả sử điều ngược lại: giả sử hai đoạn $K_1C_1$ và $K_2C_2$ của nó có một điểm chung $O(K_1, K_2)$ là màu đỏ, $C_1, C_2$ là các điểm màu xanh lam, Hình 1). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng khi đó tổng độ dài các đoạn của hệ thống này có thể giảm.

Theo điều kiện, ba điểm dưới cùng tính từ điểm $K_1, K_2, C_1, C_2$ không nằm trên cùng một đường thẳng. Khi đó các điểm $K_1, K_2, C_1, C_2$ là các đỉnh của một tứ giác lồi. Tất nhiên, tổng độ dài của hai cạnh đối diện của nó nhỏ hơn tổng độ dài của các đường chéo, ví dụ: $|K_1C_2| + |K_2C_1| < |K_1C_1| + |K_2C_2|$ (xem Hình 1).

Bằng cách thay thế các đoạn $K_1C_1$ và $K_2C_2$ trong hệ thống của chúng tôi bằng các đoạn $K_1C_2$ và $K_2C_1$, chúng tôi sẽ giảm tổng độ dài của các đoạn, điều này mâu thuẫn với giả định.

Hãy để chúng tôi trình bày một lời giải bài toán khác, do tác giả S. Ohimny (Orenburg) đề xuất, cũng như một số độc giả.

Trước tiên chúng ta chứng minh bổ đề sau:

đối với bất kỳ tập hợp $n$ đồng bộ và $n$ điểm đỏ nào được đề cập trong các điều kiện, bạn có thể kiểm tra đường thẳng $l$马克 rằng trong mỗi nửa mặt phẳng mà chúng ta leo lên mặt phẳng, có số lượng điểm đồng bộ và điểm đỏ bằng nhau và không phải tất cả các điểm $2n$ đều nằm trong cùng một nửa mặt phẳng và điểm dưới không thuộc về $l$.

Hãy xem xét bao lồi của tập hợp các điểm $2n$ của chúng ta: đa giác lồi nhỏ nhất chứa chúng. Một số điểm $2n$ này đóng vai trò là đỉnh của nó. Chúng ta hãy xem xét hai trường hợp.

a) Trong số các đỉnh có cả điểm đỏ và điểm xanh. Trong trường hợp này, nó sẽ tìm thấy hai đỉnh lân cận có màu khác nhau: $K_0$ và $C_0$. Hãy vẽ một đường thẳng $l$ song song với đoạn $K_0C_0$ sao cho tất cả các điểm $2n-2$ còn lại nằm ở phía bên kia của $l$. Đây là đường thẳng mong muốn (Hình 2).

b) Tất cả các đỉnh đều có cùng màu, chẳng hạn như màu xanh. Hãy chọn một số hướng sao cho không có đường thẳng nào theo hướng này đi qua các điểm trong tập hợp của chúng ta. Chúng ta có thể giả định rằng hướng này là thẳng đứng (Hình 3). Chúng ta sẽ di chuyển một đường thẳng đứng đều (từ trái sang phải) và đánh dấu những khoảnh khắc thời gian $t_1, \dots, t_{2n}$ khi nó đi qua các điểm trong tập hợp của chúng ta. Chúng ta hãy biểu thị bằng $f(t)$ sự khác biệt giữa số điểm đồng bộ và điểm đỏ của nửa mặt phẳng bên trái của đường thẳng của chúng ta tại thời điểm $t$. Trên mỗi đoạn mà các điểm $t_1, t_2, \dots, t_{2n}$ được chia cho trục $-\infty < t < +\infty$, hàm $t \rightarrow f(t)$ được xây dựng một phần, $f(t) = 1$ cho $t_1 < t < t_2$ (ở bên trái của đường thẳng có một điểm màu xanh và 0 điểm màu đỏ), $f(t) = -1$ cho $t_{2n-1} < t < t_{2n}$ và đối với mỗi lần chuyển đổi qua $f(t)$ chuyển sang thực phẩm và không có gì. Rõ ràng là trên một số phân đoạn $]t_h, t_{h+1}$ giá trị $f(t)$ phải bằng 0.

Bất kỳ đường thẳng đứng nào tương ứng với thời điểm $t$ giữa $t_h$ và $t_{h+1}$ đều có thể được lấy là $l$. Bổ đề đã được chứng minh.

Bây giờ khẳng định bài toán dễ dàng được chứng minh bằng quy nạp trên $n$. Đối với $n = 1$ (các điểm đã cho có màu xanh lam và đỏ) thì điều đó là hiển nhiên. Giả sử rằng với tất cả các tập hợp $2k$ điểm ($k$ xanh và $k$ đỏ), trong đó $k < n$, câu phát biểu là đúng. Khi đó, điều đó cũng đúng với một tập hợp các điểm $2n$: sử dụng bổ đề, chúng ta có thể chia một tập hợp như vậy thành hai, mỗi tập hợp đó áp dụng giả thuyết quy nạp. Tất nhiên, các đoạn nằm trong nửa mặt phẳng này và nửa mặt phẳng kia sẽ không giao nhau.

A. L. Toom, N. B. Vasiliev

53

M302. Gọi $O$ là giao điểm của các đường chéo của ranh giới $ABCD$ (($AB$)||(CD)), $A'$ và $B'$ các điểm đối xứng với các điểm $A$ và $B$ đối với phân giác của nút $AOB$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $\triangle ACA' \cong \triangle BDB'$ (Hình 4).

Cơm. 4.

M303. Hình chữ nhật $300 \times 1000$ được cắt thành hình vuông $1 \times 1$ và các ký hiệu giống hệt nhau được đặt ở khoảng 30 góc của hình vuông. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có thể chọn hai nhóm đực giống không giao nhau - mỗi nhóm không quá 10 con - sao cho trọng tâm của chúng trùng nhau.

Vì $ABCD$ là hình thang nên $\frac{|OB|}{|OA|} = \frac{|OD|}{|OC|}$.

Chúng ta hãy biểu thị mối quan hệ này bằng $k$. Giả sử $F$ là thành phần của hai phép biến đổi: đối xứng theo phân giác của góc $AOB$ và horothetine (một phép biến đổi tương tự) có tâm $O$ và hệ số $k$. Không khó để nhận ra điều đó

$$F(A) = B, F(C) = D, F(A') = B'$$

tức là

$$F(\triangle ACA') = \triangle BDB'$$

có thể tạo dáng được $\triangle ACA' \cong \triangle BDB'$.

Kế hoạch của cái còn lại lời giải: vì $|OB| \cdot |OC| = |OA| \cdot |OD|$, rồi $|OB'| \cdot |OC| = |OA'| \cdot |OD|$,

và các điểm $C, D, B'$ và $A'$ nằm trên cùng một vòng tròn.

Hãy giới thiệu hệ tọa độ $Oxy$ sao cho các đỉnh của người trượt thẳng nhận được tọa độ $(0, 0), (0; 300), (1000; 300), (1000; 0)$. Nếu khoảng 10 quả nặng đặt tại các điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_{10}, y_{10})$ thì tọa độ trọng tâm của chúng là $\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{10}}{10}, \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_{10}}{10}$.

Do đó, tọa độ trọng tâm của 10 trọng lượng bất kỳ nằm tại các “điểm nguyên” của người trượt thẳng - tại các đỉnh của các ô vuông của lưới được xây dựng - nhất thiết phải có dạng $(k/10, l/10)$, trong đó $k$ và $l$ là số nguyên và $0 \leq k \leq 1000$ và $0 \leq l \leq 3000$. Loại điểm này tồn tại.

$$1001 \cdot 3001 = 30013001$$

(1)

Mặt khác, có thể chọn 10 trọng số từ 30 trọng số đã cho

$$C_{10}^{10} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} =$$

$$= 29 \cdot 23 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3^2 = 30015 \cdot 1001 = 30045015$$

cách *). Vì (1) nhỏ hơn (2) nên trọng tâm của hai nhóm 10 quả cân khác nhau phải rơi vào cùng một điểm.

Vấn đề lẽ ra đã được giải quyết nếu các điều kiện không yêu cầu các nhóm trọng số không giao nhau, sao cho các trọng số $C'$, $C''$ tạo thành trọng số của chúng từ các trọng số $k$ và $(10-k)$, đồng thời chia đoạn này thành phần tương đối $(10-k)/k$. Vì trọng tâm của cả hai nhóm 10 quả nặng trùng nhau nên trọng tâm của cả hai quả nặng $(10-k)$ cũng trùng nhau.

N. B. Vasiliev

*) Xem bài viết của N. Ya. Vilenkin “Combinatorics” năm «Kvant», 1971, số 1, hoặc sách giáo khoa lớp 9 của B. E. Weizza và I. T. Demidov, ch. TÔI.