Henri Lebesgue

2

Henri Lebesgue
(kỷ niệm 100 năm ngày sinh của ông)

Henri Lebesgue sinh cách đây nhiều năm, vào ngày 28 tháng 6 năm 1875, tại thị trấn nhỏ Beauvais của Pháp. Sau khi tốt nghiệp ra trường thành công, Lebesgue vào trường Paris Ecole Normale Supérieure, nơi anh tham dự các bài giảng của J. Tannery, C. Jordan và các nhà toán học xuất sắc khác. Sau khi tốt nghiệp, ông làm giáo viên toán tại Lyceum ở Nancy, tiếp tục công việc khoa học bắt đầu ở Paris. Sau khi hoàn thành luận án tiến sĩ vào năm 1902, Lebesgue chuyển đến khoa toán tại trường đại học tỉnh Rennes, từ đó ông chuyển đến Poitiers, và chỉ đến năm 1910, ông mới quay trở lại Paris, nơi ông trở thành giáo sư tại Sorbonne và từ năm 1921 tại Collec de France.

Vì thành tích khoa học của mình, Lebesgue được bầu làm thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Pháp năm 1922, thành viên danh dự của Hiệp hội Toán học Luân Đôn năm 1924, và thành viên của Hiệp hội Hoàng gia (Viện Hàn lâm Khoa học Anh) năm 1930. Ông bốn lần nhận được giải thưởng học thuật, viết nhiều sách và nhiều bài báo khoa học. Sau một trận bạo bệnh, Lebesgue qua đời vào ngày 26 tháng 7 năm 1941.

Cuộc sống bình lặng, nhàn nhã của một nhà khoa học ngồi ghế bành! Nhưng cho dù những sự kiện bên ngoài trong cuộc đời Lebet có khiêm tốn đến đâu thì những thành tựu khoa học của ông hóa ra lại rất sáng sủa và sâu sắc. Nếu bạn ngẫu nhiên mở bất kỳ trang nào của bất kỳ cuốn sách nào về lý thuyết hàm số thực (hoặc, như người ta cũng nói, biến số thực), về phân tích hàm hoặc lý thuyết xác suất, bạn gần như chắc chắn sẽ bắt gặp những từ “độ đo Lebet”, “điểm Lebet”, “tích phân Lebet” hoặc các khái niệm do ông giới thiệu “hàm tổng hợp”, “gần như ở mọi nơi” và đôi khi tên của Lebet hóa ra là một ký hiệu được mã hóa $L^p$: xét cho cùng thì $L$ là chữ cái đầu tiên của họ của anh ấy là Lebesque, và $L^p$ là không gian của các hàm có lũy thừa thứ $p$ là khả năng tính tổng của Lebes. Hầu như tất cả các khái niệm liên quan đến thước đo hiện đại và lý thuyết tích phân đều có nguồn gốc từ công trình của Lebet, và việc đưa ra những khái niệm này theo một nghĩa nào đó hóa ra lại là một bước ngoặt trong quá trình chuyển đổi từ toán học thế kỷ 19 sang khoa học thế kỷ 20.

Trong sự phát triển của khoa học có những thời kỳ dài gợi nhớ đến dòng chảy xiết của một con sông lớn. Trong những giai đoạn này, dựa trên kho khái niệm và ý tưởng có sẵn, các nhà khoa học thu được kết quả khoa học mới và mở rộng phạm vi áp dụng các phương pháp đã biết. Nhưng dần dần các vấn đề khoa học tích tụ lại, lời giải trong số đó là không thể thực hiện được trong khuôn khổ các ý tưởng khoa học hiện có.

4

dễ hiểu không đặt quá nhiều vào những gì quen thuộc.

Chẳng hạn, hóa ra là có những đường thẳng liên tục đi qua bất kỳ điểm nào của hình vuông, những đường cong không thể tìm thấy tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào, những vùng không thể gán giá trị diện tích. Vấn đề là khái niệm về hình hình học bắt đầu được sử dụng theo một nghĩa khác với những gì các nhà toán học thế hệ trước đã làm. Sau khi Cantor tạo ra lý thuyết về tập hợp vô hạn, các nhà toán học bắt đầu coi bất kỳ tập hợp chính xác nào cũng là hình vẽ, bao gồm cả những tập hợp được xác định bằng các quá trình vô hạn. Dưới đây là một số ví dụ về những con số như vậy.

Lấy hình vuông cạnh 1 và chia nó thành 9 hình vuông. Sau đó, chúng ta sẽ loại bỏ “chữ thập” được tạo thành bởi năm hình vuông, giữ nguyên ranh giới của các hình vuông còn lại. Kết quả là một hình gồm bốn hình vuông (Hình 1). Chúng tôi sẽ thực hiện thao tác tương tự với từng người trong số họ và tiếp tục quá trình này đến vô tận. Chúng ta sẽ nhận được các số liệu bao gồm số lượng hình vuông ngày càng lớn hơn, kích thước của chúng không ngừng giảm. Các số liệu thu được ở mỗi bước của quá trình này
Quá trình này rất chung chung, nhưng nếu chúng ta lấy giao điểm của tất cả các số liệu thu được, thì chúng ta có toàn bộ tập hợp trước mặt.

Bạn sẽ nhận được một bộ khác nếu bạn vứt bỏ không phải các thánh giá mà chỉ các ô vuông trung tâm, để lại đường viền của chúng (Hình 2).

Các nghiên cứu về các tập hợp như vậy, cũng như các hình có trọng lượng trang thuộc tính (ví dụ: hoàn toàn không liên tục hoặc liên tục ở tất cả các điểm vô tỷ và không liên tục ở tất cả các điểm hữu tỷ, các hình có đồ thị không có hướng cụ thể tại bất kỳ điểm nào), bắt đầu xuất hiện ngày càng thường xuyên hơn vào nửa sau thế kỷ 19. Những nghiên cứu này không được tất cả các nhà khoa học hoan nghênh!

Các nhà toán học cổ điển tin rằng khoa học nên giải quyết những vật thể phản ánh trực tiếp các đặc tính của thế giới thực. Ý kiến ​​​​của họ về nghiên cứu như vậy đã được bày tỏ rõ ràng bởi một trong những nhà khoa học vĩ đại nhất thời bấy giờ, Ani Poincaré. Anh ấy nói: “Trước đây, khi một tính năng mới được phát minh ra, họ đã nghĩ đến mục đích thực tế nào đó; bây giờ anh ấy đã phát minh ra chúng, không thu được lợi ích gì từ chúng mà chỉ để phát hiện ra những khiếm khuyết

5

tatki trong lý luận của cha ông chúng ta."
Người đứng đầu thang đo toán học của Pháp, Charles Hermite, thậm chí còn tỏ ra gay gắt hơn về chủ đề này. Trong bức thư gửi nhà toán học nổi tiếng người Hà Lan T. Stilses, ông viết: “Tôi kinh hoàng và ghê tởm thứ ngôn ngữ đang mở rộng không có đạo hàm này”. Các tác phẩm kinh điển gọi toán học mới là “teratorogy” (khoa học về sự biến dạng) của hàm số.

Nhưng giới trẻ lại bị cuốn hút vào những lĩnh vực khoa học mới mà không chú ý đến những câu hỏi của các nhà toán học thuộc thế hệ trước. Ở Pháp, họ lấy cảm hứng từ các bài giảng của Jules Tannery và Camille Jordan, trong đó phân tích toán học được xây dựng trên cơ sở sáng tạo của các định nghĩa chính xác, bằng chứng hoàn hảo và logic sắt đá. Họ nhấn mạnh trong các bài giảng này rằng mặc dù các hàm gián đoạn không gặp phải trong các ứng dụng tồn tại vào thời điểm đó, nhưng chúng nên được nghiên cứu trên cơ sở bình đẳng với các hàm liên tục, vì điều này đòi hỏi sự hiểu biết chính xác về các giao điểm của toán học; họ đã học được rằng các định nghĩa về độ dài, diện tích và thể tích, chỉ phù hợp với các đường thẳng và bề mặt, quá hẹp và cần phải tìm kiếm những định nghĩa tổng quát hơn. Những ý tưởng này được tích lũy, biến thành niềm tin và trở thành động lực cho công việc khoa học. Năm 1898, nhà khoa học trẻ người Pháp R. Barashchit đã viết một luận văn trong đó ông đưa ra sự phân loại sâu sắc về các hàm gián đoạn. Cùng năm đó, một cuốn sách của một trong những nhà lãnh đạo sáng giá nhất của giới trẻ, nhà toán học 27 chân Emile Borel, xuất hiện, đề cập đến lý thuyết mới về hàm số. Anira Lebesgue, người đang bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình vào thời điểm đó, đã gia nhập trường khoa học này.

Một trong những tác phẩm đầu tiên của Lebesgue là ghi chú “Trên các bề mặt không thể phát triển bằng phim”. Công việc này khiến các nhà toán học cổ điển tức giận. Một trong những nhà lãnh đạo của thời gian hình học, Gaston Darboux, đặc biệt phẫn nộ. Tiêu đề của tác phẩm dường như phản trực giác đối với anh ta. Thực tế là các bề mặt có thể phát triển được gọi là các bề mặt, một bề mặt đủ nhỏ có thể thu được bằng cách uốn cong một mảnh của mặt phẳng. Nhưng tất cả các bề mặt đang phát triển được biết đến vào thời điểm đó - hình trụ, hình nón và những bề mặt khác - đều được tạo thành từ các đường sinh thẳng. Như người ta nói, chúng tuyến tính. Vì vậy, nói về các bề mặt tráng phim không có màng dường như hoàn toàn vô lý. Nhưng mấu chốt là tác giả trẻ hiểu các bề mặt đang phát triển khác với các nhà hình học cổ điển. Anh ấy coi đây không chỉ là những bề mặt thu được bằng cách uốn cong cẩn thận một tờ giấy mà còn cả những bề mặt thu được nếu tờ giấy này bị nhàu nát (giải thích công việc này cho bạn bè, anh ấy nói: “Hãy tưởng tượng một chiếc khăn tay nhàu nát”). Hóa ra là có thể “làm nhàu nát” một mảnh máy bay theo cách mà sau đó không còn một đoạn thẳng nào trên đó nữa. Tất nhiên, bề mặt đang phát triển thu được không có mặt phẳng tiếp tuyến; nó luôn được tạo thành từ những nếp gấp và đường gấp khúc. Và rõ ràng là tại sao các nhà hình học lại bỏ qua nó khi phân loại các bề mặt đang phát triển - họ chỉ xử lý các bề mặt nhẵn.

Sự quan tâm của Lebesgue đến các bề mặt có thể phát triển được không phải là ngẫu nhiên. Ông quan tâm đến một câu hỏi chung do Camille Jordan đặt ra: làm thế nào để xác định diện tích của một bề mặt mà không giả sử độ nhẵn của nó. Thật dễ dàng để tìm thấy diện tích của bề mặt đang phát triển bị nhàu nát - chỉ cần trải nó ra trên một mặt phẳng. Nhưng không thể tính diện tích của một bề mặt như vậy bằng các công thức, chúng tôi cung cấp toán học cổ điển - chúng bao gồm các công thức tùy ý và chúng chỉ tồn tại đối với các bề mặt nhẵn.

Tất nhiên, cùng với các mặt phẳng tiếp tuyến, bạn có thể thử

Cơm. 3.

tính diện tích bề mặt theo một cách khác, bằng cách ghi các khối đa diện vào đó và di chuyển đến giới hạn khi tất cả kích thước của các mặt đều giảm. Nhưng nhà toán học người Đức G. Schwartz đã chứng minh rằng bằng cách này không thể tìm ra diện tích của hình trụ thông thường nhất - một khối đa diện có các mặt nhỏ tùy ý và có diện tích lớn tùy ý có thể được ghi vào đó. Một khối đa diện như vậy bao gồm toàn bộ các nếp gấp nhỏ.

Sau nhiều suy nghĩ, Lebesgue đã tìm ra được định nghĩa về diện tích bề mặt không yêu cầu vẽ các mặt phẳng tiếp tuyến, nhưng đồng thời tránh được mọi khó khăn liên quan đến ví dụ của Schwartz. Giải được bài toán đặc biệt này, Lebesgue đã đi đến những ý tưởng chung về số đo của một tập hợp là gì, cách đo chiều dài, diện tích và thể tích của những hình kỳ lạ nhất. Nhiều nhà toán học trước ông quan tâm đến câu hỏi này. Định nghĩa của Jordan hóa ra là thành công nhất.

Ý tưởng chính của Jordan như sau. Có những hình rõ ràng có diện tích, ví dụ như đa giác. Bây giờ, giả sử rằng hình $\Phi$ có thuộc tính sau: bất kỳ số dương nhỏ nào $\varepsilon$ chúng ta lấy,

có hai diện tích đa giác*) $\Phi_\varepsilon$ và $\Phi_\varepsilon^*$, sao cho $\Phi_\varepsilon$ nằm hoàn toàn trong hình $\Phi$, và $\Phi_\varepsilon^*$ chứa toàn bộ diện tích đó và chênh lệch giữa diện tích $\Phi_\varepsilon^*$ và $\Phi_\varepsilon$ nhỏ hơn $\varepsilon$. Khi đó diện tích của hình $\Phi$ phải được lấy số nằm giữa các vùng $\Phi_\varepsilon$ và $\Phi_\varepsilon^*$ cho tất cả $\Phi_\varepsilon$ và $\Phi_\varepsilon^*$. Theo cách khác, định nghĩa tương tự có thể được xây dựng như sau: một hình $\Phi$ là Jordan có thể đo được nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, nó có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của vùng đa giác $\Phi_\varepsilon$ và phần còn lại, được bao phủ bởi một vùng đa giác có diện tích nhỏ hơn $\varepsilon$. Số đo $m\,(\Phi)$ của một hình như vậy được chứa giữa các số có dạng $m\,(\Phi_\varepsilon)$ và các số có dạng $m\,(\Phi_\varepsilon) + \varepsilon$, trong đó $m\,(\Phi_\varepsilon)$ là diện tích của $\Phi_\varepsilon$.

Định nghĩa này tương ứng với quy trình đo diện tích thông thường của các hình. Chúng tôi sử dụng nó ở trường khi đo diện tích hình tròn - các đa giác nội tiếp đều đóng vai trò là đa giác bên trong và phần còn lại bao gồm các đoạn của hình tròn bị cắt bởi các cạnh của đa giác này. Các đoạn này có thể được bao bọc trong các hình tam giác được hình thành bởi các dây và tiếp tuyến (Hình 3) và có thể chỉ ra rằng với số cạnh của đa giác đủ lớn thì tổng diện tích của các hình tam giác này nhỏ tùy ý.

Độ đo Jordan có nhiều đặc tính tốt, đặc biệt, như lẽ ra, hợp của một số hữu hạn các tập hợp đo lường được Jordan rời rạc theo cặp là có thể đo lường được và độ đo của nó bằng tổng số đo của các phần. Sử dụng thước đo này, có thể ấn định diện tích cho các tập hợp mà các nhà toán học cổ điển không coi là số thực. Ví dụ, hãy nhớ

---

*) Vùng đa giác là vùng có thể chia thành nhiều đa giác không có điểm chung bên trong.

6

7

hình của anh ta, mà chúng ta có được bằng cách ném ra các hình chữ thập từ hình vuông ở cạnh 1. Sau khi ném ra $n$, vẫn còn lại $4^n$ hình vuông, mỗi hình vuông có diện tích $1/9^n$. Do đó, tất cả các bộ khác có thể được bao phủ bởi các hình vuông có tổng diện tích $\left(\frac{4}{9}\right)^n$. Nhưng $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n = 0$, có nghĩa là đối với $n$ đủ lớn thì tổng diện tích của các ô vuông che phủ là nhỏ tùy ý và do đó số đo của toàn bộ tập hợp còn lại bằng 0.

Việc bộ mô tả ở trên có số đo Jordan bằng 0 không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì nó hoàn toàn là sản phẩm của những cây thánh giá bị loại bỏ và không có “không gian sống”. Điều đáng ngạc nhiên là các bàn khác có lỗ trong các bộ hóa ra lại không thể thay đổi theo Jordan. Một bộ như vậy có thể được xây dựng bằng cách loại bỏ các hình chữ thập tiết kiệm hơn, cụ thể là chọn hình chữ thập đầu tiên có diện tích $1/4$, sau đó chọn bốn hình chữ thập có tổng diện tích $1/8$, v.v. Các hình vuông còn lại có tổng diện tích liên tiếp là $3/4$, $5/8$, $9/16$, v.v. Tất cả các số này đều lớn hơn $1/2$ và do đó, bất kỳ đa giác nào chứa tập hợp còn lại sau vô số lần loại bỏ có diện tích không nhỏ hơn $1/2$. Đồng thời, tập hợp này không chứa một hình vuông nguyên và do đó diện tích của nó không thể lớn hơn 0. Mâu thuẫn thu được cho thấy tập này không có độ đo Jordan. Vì vậy, một số thước đo của Jordan không bao gồm nhiều con số thú vị.

Một lối thoát khỏi tình trạng hiện tại cho Borel của chúng tôi. Bằng cách cộng diện tích của tất cả các hình chữ thập bị loại bỏ, anh ta thu được một cấp số nhân giảm vô hạn

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}} + \dots,$$

có tổng là $1/2$. Borel lấy con số này làm khu vực phóng.
của phần giảm và diện tích của phần còn lại - chênh lệch $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Tất nhiên, đáp số như vậy hóa ra là một trọng số không có đặc quyền - không có một bộ phận nào trong bộ và diện tích của nó là dương. Nhưng Borel còn đi xa hơn nữa, thay đổi các tập hợp khác nhau bằng hai nguyên tắc:

a) Nếu tập $\Phi$ bao gồm một tập hợp đếm được *) gồm các tập con có thể thay đổi $\{\Phi_n\}$, không có hai tập hợp nào có điểm chung, thì

$$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \Phi_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(\Phi_n).$$

b) Số đo phần bù của một tập hợp biến $\Phi$ có được bằng cách trừ số đo của tập hợp con khỏi số đo của số nguyên $U$,

$$m(\Phi') = m(U) - m(\Phi).$$

Nguyên tắc đầu tiên trong số này là sự khái quát hóa sâu rộng quan điểm cổ xưa: thước đo của tổng thể bằng tổng các thước đo của bộ phận nó; thứ hai theo sau từ cùng một vị trí. Sau khi có được các nguyên tắc của mình, Borel đã tìm ra số đo của tất cả các tập hợp mà các nhà toán học cùng thời với ông xử lý. Ví dụ, từ các nguyên tắc của ông, người ta suy ra rằng bất kỳ tập hợp điểm đếm được nào đều có số đo bằng 0: xét cho cùng, mỗi điểm có số đo bằng 0, và khi đó hợp của các điểm này có số đo bằng 0.

Nhưng các công trình xây dựng của Borel có một nhược điểm - cùng một tập hợp phẳng $\Phi$ có thể được xây dựng từ các đa giác theo nhiều cách khác nhau. Và điều đó không có nghĩa là điều này sẽ mang lại kết quả tương tự cho thước đo. Một số biện pháp nhất định phải được đưa ra, bất kể lựa chọn phương pháp này hay phương pháp khác để xây dựng tập hợp.

Chính khoảng trống này đã được Lebesgue giải quyết trong các tác phẩm của mình. Lấy ý tưởng về chuỗi tổng hợp của Borel, ông đã sửa đổi một số

*) Một tập hợp vô hạn được gọi là đếm được nếu các phần tử của nó có thể thay đổi được.

9

Theo cách tương tự, để cải thiện giá trị của tích phân từ phép tính hàm không liên tục, Lebesgue đề xuất không tạo ra miền thay đổi của đối số mà là phạm vi giá trị của hàm. Nếu các số $y_k$ và $y_{k+1}$ được cho trước, thì bằng $E_k$ chúng ta biểu thị tập hợp các giá trị $x$ mà bất đẳng thức $y_k \leq f(x) < y_{k+1}$ đúng. Tổng tích phân Lebesgue là tổng $\sum_{k} y_k m(E_k)$.

Chuyển sang giới từ với sự thay đổi không giới hạn các phân đoạn của phân vùng, chúng ta thu được một số bằng tích phân Lebesgue $\int_a^b f(x) \, dx$. Nói một cách trực quan, bản chất ý tưởng của Lebesgue là đối với các hàm không liên tục, “hình thang cong” phải được cắt không song song với trục tọa độ mà song song với trục hoành.

Ngày nay, quá trình tính tích phân Lebesgue dường như là điều mà các nhà toán học coi là đương nhiên. Nhưng vào đầu thế kỷ này, ông dường như đã làm lung lay nền tảng của toán học. Và sau đó Lebesgue đã đưa ra một cách biện minh mới cho thực tế rằng phương pháp tính tích phân của ông là tự nhiên. Có lẽ ông đã bị ảnh hưởng bởi tấm gương của Hilbert, người đã đưa ra tiên đề hình học sớm hơn một chút. Tương tự, Lebesgue đã xây dựng một hệ thống các yêu cầu mà tích phân phải thỏa mãn và chứng minh rằng định nghĩa duy nhất về tích phân thỏa mãn tất cả các yêu cầu này là định nghĩa mà ông đề xuất.

Năm 1902, nhờ sự hỗ trợ của C. Jordan và E. Picard, đã vượt qua được định kiến ​​của những người phản đối thang đo toán học mới, Lebesgue đã hoàn thành xuất sắc luận án tiến sĩ của mình.

Việc tạo ra thước đo Lebesgue và tích phân giúp người ta có thể khắc phục được nhiều khó khăn tích tụ vào thời điểm đó trong phân tích toán học. Ý tưởng của Lebesgue hóa ra đặc biệt hữu ích: không cần thiết phải thỏa mãn một số thuộc tính của hàm cho tất cả các giá trị của đối số, nhưng chỉ cần nghiên cứu các thuộc tính được thỏa mãn ở hầu hết mọi nơi, nghĩa là ở mọi nơi ngoại trừ tập hợp các điểm có số đo bằng 0 là đủ. Ví dụ, hóa ra là nếu hàm $y = f(x)$ bị giới hạn và có thể giải thích được theo Lebesgue, thì hàm $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ đối với hầu hết tất cả các giá trị của $x$ là tùy ý, trùng với $f(x)$. Tích phân Lebesgue cực kỳ hữu ích trong lý thuyết chuỗi lượng giác, tức là chuỗi có dạng

$$\frac{a_n}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx).$$

Bản thân Lebesgue đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết cho lý thuyết này.

Thoạt nhìn, có vẻ như tích phân Lebesgue là một công cụ quá phức tạp và khó sử dụng trong các ứng dụng; trong thực tế, các hàm và tập hợp “hoang dã” cũng không xảy ra và tất cả các vấn đề thực tế về việc phục vụ theo số nguyên tổng quát cũng không xảy ra. Nhưng trong những năm đó, lý thuyết về không gian vô hạn chiều bắt đầu được phát triển, điều này cần thiết cho việc nghiên cứu các phương trình tích phân lời giải (các phương trình chứa hàm mong muốn dưới dấu tích phân). Các phương trình như vậy có nhiều tính chất trong vật lý toán học và các phương pháp dành cho chúng lời giải đã được phát minh, dựa trên việc xây dựng một chuỗi các hàm, theo một nghĩa nào đó tiếp cận lời giải mong muốn. Không thể chứng minh được, trong khi vẫn nằm trong khuôn khổ của toán học cổ điển, rằng một chuỗi như vậy bằng cách nào đó đang tiến đến gần. Tình trạng của sự việc ở đây không giống như nỗ lực giải phương trình $x^2 = 2$, chỉ thử với các số hữu tỷ. Tất nhiên, có thể xây dựng một dãy số hữu tỉ tiến tới nghiệm mong muốn, nhưng bản thân nghiệm đó là tích phân và dãy số này không có giới hạn trong tập hợp các số hữu tỉ. Như đã biết rằng

10

Để thoát khỏi tình trạng này, bạn cần bổ sung tập hợp số hữu tỷ bằng cách cộng các số vô tỷ vào đó.

Theo cách tương tự, chuỗi các hàm thu được với phương trình tích phân gần đúng lời giải không phải lúc nào cũng hội tụ về một hàm “tốt” nào đó. Để chắc chắn về sự tồn tại của lời giải, chúng ta cần hoàn thiện tập hợp các hàm bằng cách thêm các hàm không liên tục vào nó. Nhưng nếu bạn thêm các hàm gián đoạn ngẫu nhiên vào tập hợp các hàm liên tục thì bạn sẽ không thể xây dựng được một lý thuyết tốt. Hóa ra là chúng ta cần thêm các hàm có bình phương mà chúng ta có thể tích phân theo Lebesgue. Sau đó, chúng ta có một không gian có tính chất rất giống với không gian Euclide của chúng ta, chỉ có điều là vô hạn chiều. Không gian này được gọi là không gian Hilbert.

Chiến thắng của các ý tưởng của Lebesgue, Baer và Borel đã dẫn tới thực tế là ngay cả Darboux cũng đã thay đổi suy nghĩ của mình về toán học mới, và, phát biểu vào năm 1908 tại Đại hội Toán học ở Rome, ông đã nói về tinh thần tò mò và rực lửa của toán học thế kỷ 20, về một ngành khoa học tiến hành nghiên cứu của mình trong một lĩnh vực hoàn toàn mới với những triển vọng chưa được biết đến. Ông nhấn mạnh rằng khoa học thế kỷ 20 không ngại tấn công nền tảng của những công trình mà bấy lâu nay tưởng chừng như không thể lay chuyển.

Sau này, những ý tưởng dẫn đến việc tạo ra thước đo Lebesgue và tích phân đã cho phép A. N. Kolmogorov xây dựng tiên đề của lý thuyết xác suất và N. Wiener xác định khái niệm độ đo cho các không gian hàm. Bất cứ nơi nào ý tưởng về thước đo thâm nhập, các công trình và khái niệm có từ thời Lebesgue đều được sử dụng. Hóa ra chúng rất hữu ích trong vật lý thống kê, cho phép A. Ya. Khinchin và J. von Neumann chứng minh một số ý tưởng của nhà vật lý người Mỹ Gibbs.

Những công trình đáng chú ý trong lĩnh vực lý thuyết hàm hành động

Sự phát triển của một biến thực (là lĩnh vực toán học nghiên cứu lý thuyết tổng quát về hàm số, số đo và tích phân) được thực hiện bởi các nhà toán học Moscow D. F. Egorov và N. N. Luzin, cũng như nhiều sinh viên của họ.

Trong những năm này, bản thân Lebesgue cũng quan tâm đến cấu trúc liên kết lý thuyết tập hợp đang nổi lên vào thời điểm đó, dự đoán trong một trong những công trình của ông sẽ có nghiên cứu sau này của P. S. Uryson về lý thuyết các chiều của không gian tôpô, lý thuyết thế năng và các câu hỏi khác của toán học. Và mặc dù ông không còn tạo ra được thứ gì sánh bằng với những thành tựu toán học thời trẻ của mình, nhưng hóa ra chúng cũng khá đủ để làm nên tên tuổi của ông.

Lebesgue cống hiến hai mươi năm cuối đời mình cho các vấn đề lịch sử và giảng dạy toán học. Đương nhiên, anh chú ý nhất đến lý thuyết đo đại lượng ở trường trung học. Trong một loạt bài viết sau này được tập hợp thành cuốn sách “Về việc đo lường số lượng” (cũng đã được dịch sang tiếng Nga), ông đã hóm hỉnh phê phán những quan niệm sai lầm phổ biến trong việc giảng dạy những vấn đề này. Trong cuốn sách của mình, ông đã chỉ ra sự mâu thuẫn trong các định nghĩa phổ biến về chiều dài, diện tích và thể tích, đồng thời chỉ trích các sách giáo khoa cố gắng đạt được sự chặt chẽ ở một số chỗ trong khi lại mắc những sai lầm logic nghiêm trọng ở những chỗ khác.

75 năm đã trôi qua kể từ khi Lebesgue tạo ra lý thuyết đo lường và tích phân của mình. Những khái niệm này đã mãi mãi đi vào toán học - nếu không có chúng thì không thể nghĩ ra lý thuyết xác suất, giải tích hàm, vật lý thống kê hoặc đại số tôpô.